湖南湘潭中考数学试题解析版doc.docx

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湖南湘潭中考数学试题解析版doc

湖南省湘潭市2011年中考数学试卷

一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分）

1、（2011•湘潭）下列等式成立是（　　）

A、|﹣2|=2B、﹣（﹣1）=﹣1C、1÷

D、﹣2×3=6

考点：

有理数的混合运算。

分析：

A，﹣2的绝对值为2，正确；B，负负得正，得数应为1，故错误；C，正负乘除得正，错误；D，同选项C，故错误．

解答：

解：

A、﹣2的绝对值为2，故本选项正确；

B、负负得正，得数应为1，故本选项错误；

C、正负乘除得正，故本选项错误；

D、同选项C，故本选项错误．

故选A．

点评：

本题考查了有理数的混合运算，选项A，负数的绝对值为正数，正确；B，负负得正，得数应为1，故错误；C，正负乘除得正，错误；D，同选项C，故错误．本题很容易选得A．

2、（2011•湘潭）数据：

1，3，5的平均数与极差分别是（　　）

A、3，3B、3，4

C、2，3D、2，4

考点：

极差；算术平均数。

专题：

计算题。

分析：

根据极差和平均数的定义即可求得．

解答：

解：

=

=3，

由题意可知，极差为5﹣1=4．

故选B．

点评：

极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．注意：

①极差的单位与原数据单位一致．

②如果数据的平均数、中位数、极差都完全相同，此时用极差来反映数据的离散程度就显得不准确．

3、（2011•湘潭）不等式组

的解集在数轴上表示为（　　）

A、

B、

C、

D、

考点：

在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组。

专题：

存在型。

分析：

先根据在数轴上表示不等式组解集的方法表示出不等式组的解集，再找出符合条件的选项即可．

解答：

解：

不等式组

在数轴上表示为：

故选A．

点评：

本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．

4、（2011•湘潭）一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体是（　　）

A、球B、圆柱C、长方体D、圆锥

考点：

由三视图判断几何体。

专题：

几何图形问题。

分析：

由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．

解答：

解：

根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，

根据俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆柱．

故选B．

点评：

本题考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体，俯视图为圆形就是圆柱．

5、（2011•湘潭）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（　　）

A、平行四边形B、正方形C、等腰梯形D、矩形

考点：

等腰梯形的性质；平行四边形的性质；矩形的性质；正方形的性质。

专题：

常规题型。

分析：

利用对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形作出判断即可．

解答：

解：

对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，

故选B．

点评：

本题考查了等腰梯形、平行四边形、正方形及矩形的对角线的性质，牢记特殊的四边形的判定定理是解决此类问题的关键．

6、（2011•湘潭）在平面直角坐标系中，点A（2，3）与点B关于x轴对称，则点B的坐标为（　　）

A、（3，2）B、（﹣2，﹣3）C、（﹣2，3）D、（2，﹣3）

考点：

关于x轴、y轴对称的点的坐标。

专题：

应用题。

分析：

平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），据此即可求得点（2，3）关于x轴对称的点的坐标．

解答：

解：

∵点（2，3）关于x轴对称；

∴对称的点的坐标是（2，﹣3）．

故选D．

点评：

本题主要考查了直角坐标系点的对称性质，比较简单．

7、（2011•湘潭）一元二次方程（x﹣3）（x﹣5）=0的两根分别为（　　）

A、3，﹣5B、﹣3，﹣5C、﹣3，5D、3，5

考点：

解一元二次方程-因式分解法。

专题：

计算题。

分析：

由（x﹣3）（x﹣5）=0得，两个一元一次方程，从而得出x的值．

解答：

解：

∵（x﹣3）（x﹣5）=0，

∴x﹣3=0或x﹣5=0，

解得x1=3，x2=5．

故选D．

点评：

本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

8、（2011•湘潭）在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是（　　）

A、

B、

C、

D、

考点：

二次函数的图象；一次函数的图象。

专题：

应用题；数形结合。

分析：

本题可先由一次函数y=ax+1图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=x2+a的图象相比较看是否一致．

解答：

解：

A、由抛物线可知，a＜0，，由直线可知，a＞0，错误；

B、由抛物线可知，a＞0，二次项系数为负数，与二次函数y=x2+a矛盾，错误；

C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，正确；

D、由直线可知，直线经过（0，1），错误，

故选C．

点评：

本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中．

二、填空题（本大题共8个小题，请将答案写在答题卡的相应位置上，每小题3分，满分24分）

9、（2011•湘潭）因式分解：

x2﹣1=　（x+1）（x﹣1）　．

考点：

因式分解-运用公式法。

分析：

利用平方差公式分解即可求得答案．

解答：

解：

x2﹣1=（x+1）（x﹣1）．

故答案为：

（x+1）（x﹣1）．

点评：

此题考查了平方差公式分解因式的知识．题目比较简单，解题需细心．

10、（2011•湘潭）为改善湘潭河东地区路网结构，优化环境，增强城市功能，湘潭市河东风光带于2010年7月18日正式开工，总投资为880000000元，用科学记数法表示这一数字为　8.8×108元．

考点：

科学记数法—表示较大的数。

专题：

常规题型。

分析：

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

解答：

解：

将880000000用科学记数法表示为8.8×108．

故答案为：

8.8×108．

点评：

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

11、（2011•湘潭）如图，a∥b，若∠2=130°，则∠1=　50　度．

考点：

平行线的性质。

分析：

由a∥b，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠1的度数．

解答：

解：

a∥b，

∴∠1+∠2=180°，

又∵∠2=130°，

∴∠1=50°．

故答案为：

50．

点评：

此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同旁内角互补．

12、（2011•湘潭）函数

中，自变量x的取值范围是　x≠1的一切实数　．

考点：

函数自变量的取值范围；分式有意义的条件。

分析：

分式的意义可知分母：

就可以求出x的范围．

解答：

解：

根据题意得：

x﹣1≠0，解得：

x≠1的一切实数．

点评：

主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

13、（2011•湘潭）湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”．李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元，设每个莲蓬的价格为x元，根据题意，列出方程为　8x+38=50　．

考点：

由实际问题抽象出一元一次方程。

专题：

应用题。

分析：

等量关系为：

买8个莲蓬的钱数+38=50，依此列方程求解即可．

解答：

解：

设每个莲蓬的价格为x元，根据题意得

8x+38=50．

故答案为：

8x+38=50．

点评：

考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据单价，数量，总价之间的关系列出方程是解题的关键．

14、（2011•湘潭）端午节吃粽子是中华民族的习惯．今年农历五月初五早餐时，小明妈妈端上一盘粽子，其中有3个肉馅粽子和7个豆沙馅粽子，小明从中任意拿出一个，恰好拿到肉馅粽子的概率是

．

考点：

概率公式。

专题：

应用题。

分析：

先求出所有粽子的个数，再根据概率公式解答即可．

解答：

解：

∵共有10个粽子，其中肉馅粽子有3个，

∴拿到肉馅粽子的概率为

，

故答案为

．

点评：

本题考查了概率的求法：

如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=

，难度适中．

15、（2011•湘潭）如图，已知：

△ABC中，DE∥BC，AD=3，DB=6，AE=2，则EC=　4　．

考点：

平行线分线段成比例。

专题：

计算题。

分析：

△ABC中，DE∥BC，应用平行线分线段成比例的性质，可解答；

解答：

解：

∵△ABC中，DE∥BC，

∴

，

∵AD=3，DB=6，AE=2，

∴

，

∴EC=4．

故答案为：

4．

点评：

本题主要考查平行线分线段分线段成比例定理的理解及运用；找准对应关系，避免错选其他答案．

16、（2011•湘潭）规定一种新的运算：

，则1⊗2=　1

．

考点：

代数式求值。

专题：

新定义。

分析：

把a=1，b=2代入式子计算即可．

解答：

解：

∵

，

∴1⊗2=1+

=1

．

故答案为：

1

．

点评：

本题是一个新定义的题目，考查了代数式求值，是基础知识比较简单．

三、解答题（本大题共10个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应的位置上，满分72分）

17、（2011•湘潭）计算：

．

考点：

特殊角的三角函数值；零指数幂；负整数指数幂。

分析：

本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂三个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

解答：

解：

原式=

﹣1+

×

，

=

﹣1+1，

=

．

点评：

此题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂等考点的运算．

18、（2011•湘潭）先化简，再求值：

，其中

．

考点：

分式的化简求值。

分析：

先根据分式混合运算的法则把式子化简，再把x=

﹣1代入求解即可．

解答：

解：

原式=x•

，

=x•

，

=

，

当x=

﹣1时，原式=

=

=

．

故答案为：

．

点评：

本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

19、（2011•湘潭）莲城中学九年级数学兴趣小组为测量校内旗杆高度，如图，在C点测得旗杆顶端A的仰角为30°，向前走了6米到达D点，在D点测得旗杆顶端A的仰角为60°（测角器的高度不计）．

（1）AD=　6　米；

（2）求旗杆AB的高度（

）．

考点：

解直角三角形的应用-仰角俯角问题。

分析：

（1）根据BD=x，AB=

x，得出tan30°=

，即可得出x的值，进而得出AD的长度；

（2）根据BD=3，AD=6，利用勾股定理得出AB=

=3

≈5.20，即可得出答案．

解答：

解：

（1）设

BD=x，AB=

x，

∴tan30°=

，

=

，

解得：

x=3，

BD=3，

∴AD=6，

故答案为：

6；

（2）∵BD=3，AD=6，

∴AB=

=3

≈5.20米．

点评：

此题主要考查了解直角三角形的应用，根据tan30°=

求出x的值是解决问题的关键．

20、（2011•湘潭）2011年我市体卫站对某校九年级学生体育测试情况进行调研，从该校360名九年级学生中抽取了部分学生的成绩（成绩分为A、B、C三个层次）进行分析，绘制了频数分布表与频数分布直方图（如图），请根据图表信息解答下列问题：

分组

频数

频率

C

10

0.10

B

0.50

A

40

合计

1.00

（1）补全频数分布表与频数分布直方图；

（2）如果成绩为A等级的同学属于优秀，请你估计该校九年级约有多少人达到优秀水平？

考点：

频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表。

专题：

图表型。

分析：

（1）首先利用C组的数据可以求出抽取了部分学生的总人数，然后利用频率或频数即可补全频数分布表与频数分布直方图；

（2）根据

（1）的几个可以得到A等级的同学的频率，然后乘以360即可得到该校九年级约有多少人达到优秀水平．

解答：

解：

（1）如图

分组

频数

频率

C

10

0.10

B

50

0.50

A

40

0.40

合计

100

1.00

（2）A等级的同学人数为40人，频率为0.40，

∴估计该校九年级约有0.4×360=144人达到优秀水平．

点评：

本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

21、（2011•湘潭）某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边长为x米，求x的整数解．

考点：

一元一次不等式组的应用。

专题：

应用题；图表型。

分析：

根据矩形的周长公式及面积的计算方法，结合不等关系：

面积大于48平方米，周长小于34米列出不等式组求解即可．

解答：

解：

∵面积大于48平方米，周长小于34米，

∴

解得6＜x＜9．

∵x为整数解，

∴x为7，8．

故x的整数解为7，8．

点评：

考查了一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，掌握矩形的有关性质，进而列出正确的不等式．

22、（2011•湘潭）九年级某班组织班团活动，班委会准备买一些奖品．班长王倩拿15元钱去商店全部用来购买钢笔和笔记本两种奖品，已知钢笔2元/支，笔记本1元/本，且每样东西至少买一件．

（1）有多少种购买方案？

请列举所有可能的结果；

（2）从上述方案中任选一种方案购买，求买到的钢笔与笔记本数量相等的概率．

考点：

二元一次方程的应用；概率公式。

专题：

应用题。

分析：

（1）应设出两种奖品的件数，由钢笔和笔记本两种奖品的价格为15元列出方程，根据整数值来确定购买方案；

（2）根据概率公式P（A）=

，求解即可．

解答：

解：

（1）设钢笔和笔记本两种奖品各a，b件

则a≥1，b≥1，

2a+b=15

当a=1时，b=13；

当a=2时，b=11；

当a=3时，b=9；

当a=4时，b=7；

当a=5时，b=5；

当a=6时，b=3；

当a=7时，b=1．

故有7种购买方案；

（2）买到的钢笔与笔记本数量相等的购买方案有1种，共有7种购买方案．

∵1÷7=

，

∴买到的钢笔与笔记本数量相等的概率为

．

点评：

考查了二元一次方程的应用和概率公式．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．注意根据整数值来确定购买方案．

23、（2011•湘潭）如图，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A（1，0）、B（0，﹣1）两点，且又与反比例函数

的图象在第一象限交于C点，C点的横坐标为2．

（1）求一次函数的解析式；

（2）求C点坐标及反比例函数的解析式．

考点：

反比例函数与一次函数的交点问题。

专题：

计算题。

分析：

（1）将A（1，0）、B（0，﹣1）两点，代入y=kx+b，求得k，b，即可得出一次函数的解析式；

（2）将x=2代入一次函数的解析式，求得点C的纵坐标，再代入y=

，求得m，即可得出反比例函数的解析式．

解答：

解：

（1）∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A（1，0）、B（0，﹣1）两点，

∴

，

解得k=1，b=﹣1，

∴一次函数的解析式为y=x﹣1；

（2）∵C点的横坐标为2，

∴y=2﹣1=1；

则C（2，1），

∴m=2，

∴反比例函数的解析式为y=

．

点评：

本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，以及用待定系数法求一次函数和反比例的解析式．

24、（2011•湘潭）两个全等的直角三角形重叠放在直线l上，如图

（1），AB=6cm，BC=8cm，∠ABC=90°，将Rt△ABC在直线l上左右平移，如图

（2）所示．

（1）求证：

四边形ACFD是平行四边形；

（2）怎样移动Rt△ABC，使得四边形ACFD为菱形；

（3）将Rt△ABC向左平移4cm，求四边形DHCF的面积．

考点：

相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的性质；平移的性质。

专题：

计算题；证明题。

分析：

（1）四边形ACFD为Rt△ABC平移形成的，即可求得四边形ACFD是平行四边形；

（2）要使得四边形ACFD为菱形，即使AD=AC即可；

（3）将Rt△ABC向左平移4cm，则EH为Rt△ABC的中位线，即可求得△ADH和△CEH的面积，即可解题．

解答：

（1）证明：

四边形ACFD为Rt△ABC平移形成的，

即AD∥CF，AC∥DF，故四边形ACFD为平行四边形．

（2）解：

要使得四边形ACFD为菱形，即使AD=AC即可，

在Rt△ABC中，AB=6cm，BC=8cm，∠ABC=90°，

根据勾股定理求得AC=10cm，

故将Rt△ABC向左、右平移10cm均可使得四边形ACFD为菱形；

（3）将Rt△ABC向左平移4cm，即BE=4cm，

即EH为Rt△ABC的中位线，

即H为DE的中点，

故△CEH的面积均为6cm2，

故四边形DHCF的面积为24﹣6=18（cm2）

答：

四边形DHCF的面积为18cm2．

点评：

本题考查了三角形面积的计算，考查了相似三角形的判定，考查了中位线定理，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中求证△CEH的面积是解题的关键．

25、（2011•湘潭）如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？

若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

考点：

二次函数综合题。

分析：

（1）由直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，即可求得点A与B的坐标，又由过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0），利用两点式法即可求得抛物线的解析式；

（2）分别从AB=BQ，AQ=BQ，AB=AQ三方面去分析，注意抓住线段的求解方法，借助于方程求解即可求得答案．

解答：

解：

（1）∵当x=0时，y=3，

当y=0时，x=﹣1，

∴A（﹣1，0），B（0，3），

∵C（3，0），

设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），

∴3=a×1×（﹣3），

∴a=﹣1，

∴此抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3；

（2）存在．

①∵抛物线的对称轴为：

x=

=1，

∴如图对称轴与x轴的交点即为Q1，

∵OA=OQ1，BO⊥AQ1，

∴“当Q1B=AB时，设Q（1，q），

∴1+（q﹣3）2=10，

∴q=0，或q=6，

∴Q（1，0）或Q（1，6）．

当Q2A=Q2B时，设Q2的坐标为（1，m），

∴22+m2=12+（3﹣m）2，

∴m=1，

∴Q2（1，1）；

当Q3A=AB时，设Q3（1，n），

∴22+n2=12+32，

∴n=±

，

∴Q3（1，

），Q4（1，﹣

）．

∴符合条件的Q点坐标为Q1（1，0），Q2（1，1），Q3（1，

），Q4（1，﹣

），Q5（1，6）．．

点评：

此题考查了待定系数法求二次函数的解析式与等腰三角形的性质等知识．此题难度适中，注意分类讨论思想，方程思想与数形结合思想的应用是解此题的关键，还要注意别漏解．

26、（2011•湘潭）已知，AB是⊙O的直径，AB=8，点C在⊙O的半径OA上运动，PC⊥AB，垂足为C，PC=5，PT为⊙O的切线，切点为T．

（1）如图

（1），当C点运动到O点时，求PT的长；

（2）如图

（2），当C点运动到A点时，连接PO、BT，求证：

PO∥BT；

（3）如图（3），设PT2=y，AC=x，求y与x的函数关系式及y的最小值．

考点：

切线的性质；二次函数的最值；勾股定理。

专题：

计算题。

分析：

（1）连接OT，根据题意，由勾股定理可得出PT的长；

（2）连接OT，则OP平分劣弧AT，则∠AOP=∠B，从而证出结论；

（3）设PC交⊙O于点D，延长线交⊙O于点E，由相交线定理，可得出CD的长，再由切割线定理可得出y与x之间的关系式，进而求得y的最小值．

解答：

解：

（1）连接OT

∵PC=5，OT=4，

∴由勾股定理得，PT=

=

=3；

（2）证明：

连接OT，∵PT，PC为⊙O的切线，

∴OP平分劣弧AT，

∴∠POA=∠POT，

∵∠AOT=2∠B，

∴∠AOP=∠B，

∴PO∥BT；

（3）设PC交⊙O于点D，延长线交⊙O于点E，

由相交线定理，得CD2=AC•BC，

∵AC=x，∴BC=8﹣x，

∴CD=

，

∴由切割线定理，得PT2=PD•PE，

∵PT2=y，PC﹣5，

∴y=[5﹣

][5+

]，

∴y=25﹣x（8﹣x）=x2﹣8x+25，

∴y最小=

=9．

点评：

本题是一道综合题，考查了切线的性质、二次函数的最值以及勾股定理的内容，是中考压轴题，难度较大．