泛函分析中的概念和命题.docx
- 文档编号:11488501
- 上传时间:2023-06-01
- 格式:DOCX
- 页数:13
- 大小:29.02KB
泛函分析中的概念和命题.docx
《泛函分析中的概念和命题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《泛函分析中的概念和命题.docx(13页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
泛函分析中的概念和命题
泛函分析中的概念和命题
定理:
赋范线性空间是有限维的当且仅当它的单位球是列紧的:
有限维赋范线性空间上的任两个范数是等价的:
有限维赋范线性空间是Banach空间.
定理:
M是赋范线性空间(X』・ll)的一个真闭线性子空间,则Vw>OdywX,llyll=l,使得:
IIy-xlb>l-^VxeM
定理:
设X是赋范线性空间,/是X上的线性泛函,则
1./eX•oN(f)={xeXI/(A-)=0}是X的闭线性子空间
2.非零线性泛函/⑴是不连续的o中稠密
定理:
X,焜赋范空间,XH{&},则Y是Banach空间oB(X,Y)是Banach空间
X,Y,Z是赋范空间,AeB(XyY\Be(Y,Z),则ABeB(X,Z),fillABll Z/(0,l”P(l Hahn-Banach泛函延拓定理 设X为线性空间,p是定义在X上的实值函数,若: (1)P(x+y)心)+P(y),(Vx,ywX),则称〃为次可加泛函 (2)"(aQ=ap{x\(Va>0,VxeX).则称p为正齐性泛函 (3)p(ax)=1«I/? (x),(VaeK,VxeX),则称p为对称泛函 实Hahn-Banach泛函定理: 设X是实线性空间,〃(兀)是泄义在X上的次可加正齐性泛函,X。 是X的线性子空间,人是左义在X。 上的实线性泛函且满足/。 ⑴“心汎也飞人),则必存在一个泄义在X上的实线性泛函/,且满足: 1-/心也已X) 2-f(x)=f()(x^xeX{)) 复Hahn-Banach泛函定理: 设X是复线性空间,“(X)是左义在X上的次可加对称泛函,X。 是X的线性子空间,人是泄义在X。 上的线性泛函且满^l/0(A: )l7(4VxeX()),则必存在一个泄义在X上的线性泛函/,且满足: 1.l/0(x)l? (xXVxeX) 2.f(x)=f0(x^/xeX0) 定理: 设X是线性空间,若Xh{。 },则在X上必存在非零线性泛函。 Hahn-Banach延拓定理: 设X是赋范线性空间,X。 是X的线性子空间,九是泄义在X。 上的有界线性泛函,则必存在一个左义在X上的有界线性泛函/,满足: 1.11/11=11/°%。 2.f(x)=f0(x)yxeX0) 定理: 设X是赋范线性空间,M是X的线性子空间,x()eX,Q(x(”M)=〃>0,则必有feX\满足: (l)/(.r)=0,VxGAY; (2)/(x0)=J: (3)IIf11=1 定理: 设X是賦范空间,-{&},必m/eX•,便/■(心)=11X。 II,11/11=1 定理: 设X是赋范空间,Va-()eX,必有IIx0ll=sup{l/(x0)l: /eX\ll/ll=l) 凸集分离定理 极大线性子空间: 一个线性空间的子空间,真包含它的线性空间是全空间 超平面: 它是线性空间中某个极大线性子空间对某个向量的平移,也称极大线性流形 承托超平面: 凸集E在点心的承托超平而厶是指E在厶的一侧,且与厶有公共点勺 Minkowski泛函: 设X是线性空间,M是X的含有&点的凸子集,在X上作一个 取值于[0,+s]的函数: p(x)=inf{2>01-eM},(VxeX) A 与M对应,称函数〃为M的Minkowski泛函 定理: L是赋范空间X的(闭)超平面O存在X上的非零(连续)线性泛函/及 其中H;={xeXlf(x)=r} Hahn-Banach定理的几何形式: 设X是赋范空间,E是X的具有内点的真凸子集,又设心eX-E、则必存在一个超平面分离E与 定理: 设X是赋范空间,E和F是X的两个非空凸集,E具有内点,且EfF*则 35eR及feX*-{0,使得超平而分离E和F Ascoli定理;设X是赋范空间,E是X的真闭凸子集,则Vx()eX-F,3/eX\aeR适合f(x)<a</(心).(VxeE) Mazur定理: 设X是赋范空间,£是X的一个有内点的凸子集,F是X的一个线性流形,又设EfF=e、则存在一个包含F的闭超平面L,使E在厶的i侧 定理: 设X是赋范空间,E是X的一个含有内点的闭凸集,则通过E的每个边界点都可以作出E的一个承托超平面 基本定理 定理: 设X,焜Banach空间,TeB(X,Y堤满射,则玉>0,使得7B(&,l)nO(&,£) 开映射定理: 设X,焜Banach空间,TeB(X,y)S满射,则T是开映射 I Banach逆算子定理: 设X』是Banach空间,TwB(X,Y)是双射,贝! j厂 等价范数定理: 设X是线性空间,11・11|和Il・ll2是X上的两个范数,若X关于这两个范数 都成为Banach空间,而且II强于II*II,,贝011•II)也强于II•%,从而II•们和II•孔等价 闭算子: 设X,Y是赋范空间,T是D(T)uX到邢映射,若T的图像{(xSjlxwDV)}是赋范线性空间XxY中的闭集,则称了是闭映射或闭算子 闭算子判别定理: 设X"是赋范空间,卩是D『)uX到丫的映射,则T是闭映射o V{xJuD(T\若心T心eX,Txn儿eY,则勺eD(T),且儿=Tx0 闭图像定理: 设XV是Banach空间,T是D(T)uX到巾勺线性映射,而且是闭算子,若 D(T)是X的闭线性子空间,则丁是连续的 定理: 设X"是Banach空间"是X到巾勺线性算子,则T连续OT是闭算子 共鸣定理: 设X是Banach空间,丫是赋范空间,TAeB(X,/),Ae果VxwX,都有supll7^xlk+oo5则{II巧II: 2eA)有界 自反空间与共辘算子 除声明外下面的X,丫都是一般的赋范线性空间 共純空间: (Zf)”=芒,(/")»=八,,c*=(C。 )•=/',(C[讪=Vo[a,b](lSpvco,p,q共辘)伴随算子: 化B(X,"厂(x)=/(7k)>Ty=f\T*eB(y\X*)llT*IMTil 1.TeB(X),iaT■=(T)\若将X看成的子空间则厂"是Ttl勺延拓且\\T'IHITII 2.TeB(X,r)则7有有界逆o厂有有界逆,且此H、J(厂丁=(厂厂 3.映射A一"是rt! B(X,y倒8(厂,X•加保范线性算子 4.若AeB(X,Y),BeB(y,Z),贝咻町=B*A* 定理: 若X•可分,则X可分。 (=>小r不自反);X是Banach空间,X•自反U>X自反 自反空间的闭线性子空间是自反空间 ■ 自然嵌入映射r: a-^x"是賦范空间X到X巒的保范的有界线性算子,即: IIx**IHIxII Riesz表示定理: 设X是局部紧空间,/eC,(Xpf,ll/ll=sup{l/(x)l: xeX],贝lj (1)若卩是C,(X)上的正线性泛函,则存在X上一个正则Borel测度",使得对任feC£.(X)都有讽/)=]>" (2)若0wC,(X)”,贝I]存在X上一个广义正则Borel测度",使讽/)=J/d" (3)若Ct.(X)是X上具有紧支集的复连续函数空间,则对C<-(X)上任一有界复线性泛函0,存在复正则Borel测度u,使(p(f)=^fdu 弱收敛和弱列紧 基本概念: 弱收敛: 算子列的一致收敛,强收敛,弱收敛;泛函列的*弱收敛: 弱列紧;局部弱列紧: *弱列紧: 局部*弱列紧 定理: 设X#是Banach空间,{7;)uB(X,丫燧收敛于某个TeB(X,丫丹且仅当: 1.(117;,II)有界,即有M>0,使II7;115M(n=1,2,3,…) 2.存在X中的稠集D使\fx&D,{Tnx}收敛 定理: 设X是Banach空间,{/„}c=X\则{fn]*弱收敛于某个feX•当且仅当: 1-{»f„11}有界; 2.存在X中的稠集D,使乞eD,{/”(x)}收敛 定理: 设X是赋范空间,则{兀}uX弱收敛于某个xeX当且仅当: 1.{11耳11}有界; 2.存在X冲的稠集D,使V/eD,有收敛于/⑴ 定理: 设X是赋范空间,{xjuX弱收敛于某个xwX,则存在由{£}的凸组合构成的点列使其 强收敛到x,且11x115血II兀II 定理: 可分赋范空间的共轨空间是局部♦弱列紧的: 自反空间是局部弱列紧的 HilbertSpace 基本概念: 除声明外下而所涉及的空间都是RealorComplexHilbertSpaceX 内积: 一个(数域K上)线性空间X上的内积指的是共馳双线性泛函: XxXtK,它满足正泄性和共辄对称性。 内积空间: 左义了内积的线性空间。 泄义了内积的复(实懺性空间称为复(实)内积空间。 内积导出的范数满足平行四边形公式。 内积(按内枳导出的范数)是XxX上的连续函数若由内积导出的范数是完备的,这样的内积空间称为Hilbert空间 定理: 设(X,(•,•))是内积空间,11・11是由内积(•,)导岀的范数,贝川・11与(•,•)满足如下关系: 当X是实线性空间时,(x,y)=扌(IIx+y『-llx-yll2),Vx,yeX当X是复线性空间时,(1刃=丄(llx+yll2-llx-yll2+/llx+/yll2-/IIx-/vll2leX 4 极化恒等式: ⑷;y)=;[A(x+y)_A(x_y)+/A(x+iy)_iA(x_/>)],A(x)=(Ax.x) 4 定理: 为了在赋范线性空间(X,ll・ll)中引入内积(・,・),使得由(・,・)导出的范数就是ll・ll,当且 仅当II・II满足平行四边形公式: llx+yll2+llx-yll2=2(llxll2+IIyll2) 定理: 设(X,(•,))是内积空间,M是X的非空子集,x,y,y”S=l,2,...)eX,则 1・兀丄y=>llx+yII2=11xII2+IIyII22.x丄儿(〃=儿-»y=>x丄y 3.x丄M=>x丄spanM4.Mu(M丄丄=M= < 5.M在X中稠=>M丄={0} 6.M-是X的闭线性子空间,刖丄=(帀而 定理: 设X是希尔伯特空间,M是X的非空闭凸子集,则VxeX,3唯一•的儿eA7,使得IIx-儿11=p(x、M)=inf{IIx-yll: yeM} 正交分解定理: 设A/是希尔伯特空间X的一个闭线性子空间,VxeX,存在唯一的正交分解: x=x0+«¥],(“)eA/"wM丄),即: X=M㊉M丄 定理: 设(x,(•,•))是希尔伯特空间,M是X的线性子空间,贝IJ: l.(M丄)丄=而2.M在X中稠oM丄={&} 定理: Mlbert空间H{&})中必存在完备标准正交系 定理: 假左S={ea\aeA)是Hlbert空间H中的标准正交系,那么VxwH.有Parseval不等式: llxlPxXHeII2 QGAa 定理: S={ea\cteA}是HilbeH空间H中的完备标准正交系,OVxwH.有Fourier展开式和Parseval等式: x=工ce,11x11? =工IIcII? aaol aeA 其中: ca=(x'ea\aeA)称为X的Fourier系数。 若S丄={&},则称S完备 定理: S={ea\aeA}是Hilbeit空间H中的完备标准正交系,O色,有: ( (3)=工("Xy’s) aeA 定理: 标准正交系S={ea\aeA|完备oPai^eval等式(色eH)成立 定理: 可分Hilbert空间H中的完备标准正交系一定是可数的。 定理: 无穷维可分Hilbert空间与Hilbert空间厂同构: 实(复)有穷维可分Hilbert空间都与Hilbert空间Rn(Cn)同构 Ries: 表示定理: 设(X,(•,•))是希尔伯特空间,/是X上的连续线性泛函,则必有唯一的 yeX,使得: /(a)=(x,必VxeX.而且IIf11=11yII 有界双线性泛函: y)=(Ar,y)=(x,A'y),人被0唯一确肚 Hermite双线性泛函: (p(x,>•)=(p(y,x)<=>A=A* 命题: 若C>0,使双线性泛函0(x,x) HilbertSpace屮的算子 常见算子(除声明外卜而所涉及的空间都是RealorComplexHilbertSpaceX) 0.正规算子: AA=A^Ao酉算子: 等距满射算子。 自伴算子: (加,Vx,>-eX IIAII2=11AII2=11AAII: A是西算了oAAa=A*A=I=>(Av,Ay)=(x,y),Vx,yeX 1.VAeB(X),有唯一分解A=Al+iA2,其中州自伴,亠勺=^^-,A2=^^- VAeB(X),有分解A=仲,(称为A的极分解),其中为部分等距算子,P为正算子 A正规=>llA211=11All2;A是有界线性算子,则Va,0wR,严A+护"是正规算子 A正规o在A的极分解A=UP中,U和P可交换,且"可取为酉算子 A正规o对VxeX,有IIAv11=11AbIIo在直角坐标分解人=£+込中,£,生可换 A正规0日酉算子S使才=%: A2=A,±U正规nA自伴 2.当考虑复空间时,有结论: A自伴,即A="o对川X,(Ar,x堤实数 设43是自伴骰影璋子,则A3自伴(投影)oAB=BA 设{A”: neN}^X±的自伴算子序列,若IIA”-AI—0,则A是自伴算子 设A是自伴算子,则它的特征值是实数(Ax=Zr),且不同的特征值对应的特征向量正交 设A是自伴算子,则Ker(A)=Rang(A)1. 设人是自伴算子,贝ijllAII=sup{l(Ar,x)l;xeX,11x11=1} 3•设AeB(X)为自伴算子,若对DxwX,都有(At,a)>0,贝必称为正算子,记作: A>0 (当考虑复空间时,自伴算子的条件可去掉,极化恒等式) 设自伴算子7;>T2,5,>S2,常数c>0,则7;+S|>T2+S2.cTx>cT2 设人是正算子,则A"也是正算子,苴中n是正整数;且有性质: l(Ax』)|2s(Ar,x)(4y,y) 设{A”}为一致有界的单调自伴算子列,则存在唯一的自伴算子&,使{A”}强收敛到人 $ 丄1 设4是正算子,则存在唯一的正算子S,使S2=A,称S为&的正平方根,记为4耳人空是 1 &的某一多项式序列按强算子拓扑收敛的极限,与&可换的算子必与人亍可换. 设A是正算子,若xeX,(A¥,x)=0,则7\=8 设自伴算子£,力2与正算子4可换,且A巴仏,贝1仏£巴A42 4.P是投影算子OP是自共轨算子,P2=P<=>VxeX\Px,x)=11PxII2P是正算子 投影算子心4的投影子空间分别是是厶,厶2,则: 片+巴是投影算子oP\P[=Pf\=8o厶丄厶,此时人+4的投影子空间是厶㊉L2 P*是投影算子OR4可撫此时P*的投影子空间是厶 R—4是投影算子o乙u厶o斥马==角oBSR;此时P\_P? 的投影子空间 是厶2在厶中的正交余空间 定理: A是正规算子,则2eb(A)o对Vw>0,%H&,llAv-Zvll<£IIxII A是自伴算子,则b⑷u[―IIAII,IIAII]并且IIAll=sup{UI: 2eb(A)} A是U算子,则b(A)u{兄: I几1=1} 定理: 设A是Hilbert空间H上的对称紧算子,则必有XoGHJIx011=1,使得: I(Av0,x0)l=sup{l(Ar,x)l: IIx11=1},MAv0=Ar。 其中I21=1(A¥(),x0)l 定理: 设A是Hilbert空间H上的对称紧算子,则有至多可数个非零的,只可能以0为聚点的实数{心},它们是算子A的本征值,并对应一组正交规范基{©}(不一立可数),使得: V=为(兀,©X-,Ax=工&G,©k 线性算子的谱 概念: 正则值,点谱,连续谱,剩余谱,预解式,谱半径,q(“cr(T)=o-/1(7')^o-((T)^o-r(T) 定理: 设T,T^T2eB(X),X^巴拿赫空间,贝I] 1.如开,b(T)非空,b(T)=b『) 2.心(n-R“(T)=(“-兄)心(T)心(T): 心(£)-磯亿)=⑺-切心⑺)心亿) ( 3兄(T旌续可导,且特心(7>(_1)宅了严 GA 4.121>11r11=>2e°(7),且(M—丁广=£丄 11 5.rT=lim\\TnIP=inf\\TnIP=max{l21: 2e “Toen 紧算子 除声明外下而的X,Y都是一般的赋范线性空间 PeB(X,Y)是紧算子: P将X中的有界集映成丫中的列紧集 PeB(XV)是紧算于,则P是连续的,且P的值域可分 PeB(X,Y)是紧算于,则P将X中的弱收敛点列映成Y中的收敛点列 PwB(X,Y)是紧算于,则P已3(八XJ也是紧算子 若PeB(X,Y),SeB(Y,Z冲有一个是是紧算于,则SP是紧算子 PeB(X,Y)是紧算子,X#中至少有一个是无穷维的,则P没有有界逆算子 P„eB(X,Y)是紧算子,焜巴拿赫空间,II代-PIItO,则P是紧算子 X是具有可数基的巴拿赫空间,则PwB(X)是紧算子o存在有限秩算子人eB(X){吏II几-PIItO Fredholm结论: AeB(X)是紧算子,令T=AI-A,则T是闭值域算子,且: 1./V(7')={6»}<^>/? (T)=X,BP: 单o满 2.o-(T)=b(TJdimN(T)=dimN(厂)voc,codiin/? (T)=dimN(T) 3.R(T)=尸,R『卜丄N(T) 紧算子的谱: AwB(X)是紧算子,贝q: 1.diinX=QO=>0e 2.b(A)\{0}=bp(A)\{0}: 3.bp(A)至多以0为聚点; 4.若dimXA2,则A必有非平凡的闭不变子空间 Fredholm算子 定义: 设X,焜Banach空间,T^B(X.Y)称为一个Fredholm算子,是指 (1)R(T)是闭的 (2)dimN(T)vs⑶codinJ? (T) 定义;设X,丫是Banach空间,TeB(X^Y)是一个Fredholm算子,令 ind(T)=dimN(T)—codimR(T),并称其为T的指标 定理: 若TeB(X.Y)是Fredholm算子,则必有5eB(Y,X>以及紧算子A,eB(X)和紧 算子人2eB(Y),使得ST=乙-州,75=IY-A2,Ix和厶分别表示X,丫上的恒同算子 定理: TeB(X,r),又有呂,/? 2wB(Y,X),以及紧算子州訂(X)和紧算子A2eB(Y), 使得RJ=IX-\JR2=Iy-4,则丁是Fredholm算子 上而两个泄理中X,焜Banach空间 定理: 设X,Y,Z是Banach空间,T;eB(X,r),T2eB(K,Z)是Fwdholm算子,则有: T2T}eB(X,Z)是Fwdholm算子,且: ind(7;7;)=ind(7;)+ind(7;) 定理: 若TwB(X,Y堤Fredholm算子,则必有£>0,使得当SeB(X、丫)且IISIk£时,右T+SwB(X,Y)是Frcdholm算子,而且ind(T+S)=ind^) 参考书目: 泛函分析讲义(上册)张恭庆,林源渠 实变函数与泛函分析概要(下册)郑维行,王声望 实变函数与泛函分析(下册)薛昌兴 巴拿赫空间引论定光桂
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 分析 中的 概念 命题
![提示](https://static.bingdoc.com/images/bang_tan.gif)