高中数学第一单元常用逻辑用语132命题的四种形式教学案新人教B版选修1.docx
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高中数学第一单元常用逻辑用语132命题的四种形式教学案新人教B版选修1
2019-2020年高中数学第一单元常用逻辑用语1.3.2命题的四种形式教学案新人教B版选修1
学习目标 1.了解四种命题的概念,会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题.
知识点一 四种命题的概念
思考 给出以下四个命题:
(1)当x=2时,x2-3x+2=0;
(2)若x2-3x+2=0,则x=2;
(3)若x≠2,则x2-3x+2≠0;
(4)若x2-3x+2≠0,则x≠2.
你能说出命题
(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗?
梳理 对命题的条件和结论进行“换位”和“换质”(否定)后,可以构成四种不同形式的命题:
(1)原命题:
________________;
(2)逆命题:
________________(“换位”);
(3)否命题:
________________(“换质”);
(4)逆否命题:
________________(“换位”又“换质”).
知识点二 命题的四种形式之间的关系
思考1 为了书写方便常把p与q的否定分别记作“綈p”和“綈q”,如果原命题是“如果p,则q”,那么它的逆命题、否命题、逆否命题该如何表示?
思考2 原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系?
原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系?
原命题的逆命题与其否命题呢?
梳理 四种命题间的相互关系
知识点三 四种命题的真假关系
思考1 知识点一的“思考”中四个命题的真假性是怎样的?
思考2 如果原命题是真命题,它的逆命题是真命题吗?
它的否命题呢?
它的逆否命题呢?
梳理
(1)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中,一定与原命题真假性相同的是________________.
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题时,它们的真假性________________.
类型一 四种命题及其相互关系
命题角度1 四种命题的概念
例1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题.
(1)若x∈A,则x∈A∪B;
(2)若a,b都是偶数,则a+b是偶数;
(3)在△ABC中,若a>b,则A>B.
反思与感悟 四种命题的转换方法
(1)交换原命题的条件和结论,所得命题是原命题的逆命题.
(2)同时否定原命题的条件和结论,所得命题是原命题的否命题.
(3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得命题是原命题的逆否命题.
跟踪训练1 命题“若函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数,则loga2<0”的逆否命题是( )
A.若loga2<0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数
B.若loga2≥0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数
C.若loga2<0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数
D.若loga2≥0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数
命题角度2 四种命题的相互关系
例2 若命题p:
“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题为q,命题q的逆命题为r,则r与p的逆命题的关系是( )
A.互为逆命题
B.互为否命题
C.互为逆否命题
D.同一命题
反思与感悟 判断四种命题之间四种关系的两种方法
(1)利用四种命题的定义判断;
(2)巧用“逆、否”两字进行判断,如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字,是互否关系;而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字,其关系为逆否关系.
跟踪训练2 已知命题p的逆命题是“若实数a,b满足a=1且b=2,则a+b<4”,则命题p的否命题是__________________________________.
类型二 四种命题的真假判断
例3 有以下命题:
①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;②“面积相等的三角形全等”的否命题;③“若m≤1,则x2-2x+m=0有实数解”的逆否命题;④“若A∩B=B,则A⊆B”的逆否命题,其中真命题为( )
A.①②B.②③
C.④D.①②③
反思与感悟 原命题与逆否命题总是具有相同的真假性,与逆命题或否命题的真假性没有关系.逆命题与否命题也总是具有相同的真假性.
跟踪训练3 命题“若a>b,则ac2>bc2(a,b,c∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )
A.0B.2C.3D.4
类型三 等价命题的应用
例4 判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,则a≥1”的逆否命题的真假.
引申探究
判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2>0的解集为R,则a<
”的逆否命题的真假.
反思与感悟 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性,即互为逆否命题的两个命题具有等价性,所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时,可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题.
跟踪训练4 证明:
若a2-4b2-2a+1≠0,则a≠2b+1.
1.命题“若a∉A,则b∈B”的否命题是( )
A.若a∉A,则b∉BB.若a∈A,则b∉B
C.若b∈B,则a∉AD.若b∉B,则a∉A
2.命题“如果x2<1,则-1 A.如果x2≥1,则x≥1,或x≤-1 B.如果-1 C.如果x>1或x<-1,则x2>1 D.如果x≥1或x≤-1,则x2≥1 3.如果一个命题的否命题是真命题,那么这个命题的逆命题是( ) A.真命题 B.假命题 C.不一定是真命题 D.不一定是假命题 4.下列命题: ①“全等三角形的面积相等”的逆命题; ②“正三角形的三个内角均为60°”的否命题; ③“若k<0,则方程x2+(2k+1)x+k=0必有两相异实数根”的逆否命题. 其中真命题的个数是( ) A.0B.1C.2D.3 5.已知命题“若m-1 1.写四种命题时,可以按下列步骤进行: (1)找出命题的条件p和结论q; (2)写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q; (3)按照四种命题的结构写出所有命题. 2.一个命题都有条件和结论,要分清条件和结论. 3.判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断,这也是反证法的理论基础. 学习目标 1.理解命题及四种命题的概念,掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分、必要条件的概念,掌握充分、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义,会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义,会判断全称命题、存在性命题的真假,会求含有一个量词的命题的否定. 知识点一 全称命题与存在性命题 1.全称命题与存在性命题真假的判断方法 (1)判断全称命题为真命题,需严格的逻辑推理证明,判断全称命题为假命题,只需举出反例. (2)判断存在性命题为真命题,需要举出正例,而判断存在性命题为假命题时,要有严格的逻辑证明. 2.含有一个量词的命题否定的关注点 全称命题的否定是存在性命题,存在性命题的否定是全称命题.否定时既要改写量词,又要否定结论. 知识点二 简易逻辑联结词“且、或、非”命题的真假判断 可以概括为口诀: “p与綈p”一真一假,“p∨q”一真即真,“p∧q”一假就假. p q 綈p p∨q p∧q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 知识点三 充分条件、必要条件的判断方法 1.直接利用定义判断: 即若p⇒q成立,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.(条件与结论是相对的) 2.利用等价命题的关系判断: p⇒q的等价命题是綈q⇒綈p,即若綈q⇒綈p成立,则p是q的充分条件,q是p的必要条件. 3.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件 若A⊆B,则p是q的充分条件,若AB,则p是q的充分不必要条件 若B⊆A,则p是q的必要条件,若BA,则p是q的必要不充分条件 若A=B,则p,q互为充要条件 若A⊈B且B⊈A,则p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件 其中p: A={x|p(x)成立},q: B={x|q(x)成立}. 知识点四 四种命题的关系 原命题与逆否命题为等价命题,逆命题与否命题为等价命题. 类型一 命题的关系及真假的判断 例1 将下列命题改写成“如果p,则q”的形式,并写出它的逆命题、否命题和逆否命题以及它们的真假. (1)垂直于同一平面的两条直线平行; (2)当mn<0时,方程mx2-x+n=0有实数根. 反思与感悟 (1)四种命题的改写步骤 ①确定原命题的条件和结论. ②逆命题: 把原命题的条件和结论交换. 否命题: 把原命题中条件和结论分别否定. 逆否命题: 把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论. (2)命题真假的判断方法 跟踪训练1 下列四个结论: ①已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是“若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3”;②命题“若x-sinx=0,则x=0”的逆命题为“若x≠0,则x-sinx≠0”;③命题p的否命题和命题p的逆命题同真同假;④若|C|>0,则C>0. 其中正确结论的个数是( ) A.1B.2 C.3D.4 类型二 逻辑联结词与量词的综合应用 例2 已知p: ∃x∈R,mx2+2≤0.q: ∀x∈R,x2-2mx+1>0,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围是( ) A.[1,+∞)B.(-∞,-1] C.(-∞,-2]D.[-1,1] 反思与感悟 解决此类问题首先理解逻辑联结词的含义,掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系.其次要善于利用等价关系,如: p真与綈p假等价,p假与綈p真等价,将问题转化,从而谋得最佳解决途径. 跟踪训练2 已知命题p: 方程2x2+ax-a2=0在[-1,1]上有解;命题q: 只有一个实数x0满足不等式x +2ax0+2a≤0.若命题“p或q”是假命题,求a的取值范围. 类型三 充分条件与必要条件 命题角度1 充分条件与必要条件的判断 例3 (1)设x∈R,则“x2-3x>0”是“x>4”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 反思与感悟 条件的充要关系的常用判断方法 (1)定义法: 直接判断若p则q,若q则p的真假. (2)等价法: 利用A⇒B与綈B⇒綈A,B⇒A与綈A⇒綈B,A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法. (3)利用集合间的包含关系判断: 若A⊆B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件. 跟踪训练3 使a>b>0成立的一个充分不必要条件是( ) A.a2>b2>0B.>>0 C.lna>lnb>0D.xa>xb且x>0.5 命题角度2 充分条件与必要条件的应用 例4 设命题p: x2-5x+6≤0;命题q: (x-m)(x-m-2)≤0,若綈p是綈q的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 反思与感悟 利用条件的充要性求参数的范围 (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解. (2)注意利用转化的方法理解充分必要条件: 若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)条件,则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件. 跟踪训练4 已知p: 2x2-9x+a<0,q: 2 1.已知命题p: ∀x>0,总有(x+1)ex>1,则綈p为( ) A.∃x≤0,使得(x+1)ex≤1 B.∃x>0,使得(x+1)ex≤1 C.∀x>0,总有(x+1)ex≤1 D.∀x≤0,总有(x+1)ex≤1 2.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.“若x,y全为零,则xy=0”的否命题为______________. 4.已知命题p: 若x>y,则-x<-y;命题q: 若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(綈q);④(綈p)∨q中,真命题是________. 5.对任意x∈[-1,2],x2-a≥0恒成立,则实数a的取值范围是________. 1.否命题和命题的否定是两个不同的概念 (1)否命题是将原命题的条件否定作为条件,将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题. (2)命题的否定只是否定命题的结论,常用于反证法.若命题为“如果p,则q”,则该命题的否命题是“如果綈p,则綈q”;命题的否定为“如果p,则綈q”. 2.四种命题的三种关系,互否关系,互逆关系,互为逆否关系,只有互为逆否关系的命题是等价命题. 3.判断p与q之间的关系时,要注意p与q之间关系的方向性,充分条件与必要条件方向正好相反,不要混淆. 4.注意常见逻辑联结词的否定 一些常见逻辑联结词的否定要记住,如: “都是”的否定“不都是”,“全是”的否定“不全是”,“至少有一个”的否定“一个也没有”,“至多有一个”的否定“至少有两个”. 答案精析 问题导学 知识点一 思考 命题 (1)的条件和结论与命题 (2)的条件和结论恰好互换了.命题 (1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定.命题 (1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定. 梳理 (1)如果p,则q (2)如果q,则p (3)如果綈p,则綈q (4)如果綈q,则綈p 知识点二 思考1 逆命题: 如果q,则p.否命题: 如果綈p,则綈q.逆否命题: 如果綈q,则綈p. 思考2 互逆、互否、互为逆否. 梳理 如果p,则q 如果q,则p 如果綈p,则綈q 如果綈q,则綈p 知识点三 思考1 (1)真命题, (2)假命题,(3)假命题,(4)真命题. 思考2 原命题为真,其逆命题不一定为真,其否命题不一定为真,其逆否命题一定是真命题. 梳理 (1)逆否命题 (2)没有关系 题型探究 例1 解 (1)逆命题: 若x∈A∪B, 则x∈A. 否命题: 若x∉A,则x∉A∪B. 逆否命题: 若x∉A∪B,则x∉A. (2)逆命题: 若a+b是偶数,则a,b都是偶数. 否命题: a,b不都是偶数,则a+b不是偶数. 逆否命题: 若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数. (3)逆命题: 在△ABC中,若A>B,则a>b. 否命题: 在△ABC中,若a≤b,则A≤B. 逆否命题: 在△ABC中,若A≤B, 则a≤b. 跟踪训练1 B 例2 B [已知命题p: 若x+y=0, 则x,y互为相反数. 命题p的否命题q为: 若x+y≠0, 则x,y不互为相反数, 命题q的逆命题r为: 若x,y不互为相反数,则x+y≠0, ∴r是p的逆否命题, ∴r是p的逆命题的否命题,故选B.] 跟踪训练2 若实数a,b满足a+b≥4,则a≠1或b≠2 解析 由命题p的逆命题与其否命题互为逆否命题可得. 例3 D [①②③显然正确;对于④,若A∩B=B,则B⊆A, 所以原命题为假,故它的逆否命题也为假.] 跟踪训练3 B [命题“若a>b, 则ac2>bc2(a,b,c∈R)”是假命题, 则其逆否命题是假命题. 该命题的逆命题为“若ac2>bc2, 则a>b(a,b,c∈R)”是真命题, 则其否命题是真命题.故选B.] 例4 解 方法一 原命题的逆否命题: 已知a,x为实数,若a<1,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为∅,判断如下: 抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2的开口向上, 令x2+(2a+1)x+a2+2=0, 则Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7. 因为a<1,所以4a-7<0, 即关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为∅.故此命题为真命题. 方法二 利用原命题的真假去判断逆否命题的真假. 因为关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空, 所以(2a+1)2-4(a2+2)≥0, 即4a-7≥0,解得a≥ ≥1, 所以原命题为真,故其逆否命题为真. 引申探究 解 先判断原命题的真假如下: 因为a,x为实数,关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2>0的解集为R,且抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2的开口向上, 所以Δ=(2a+1)2-4(a2+2) =4a-7<0, 所以a< .所以原命题是真命题. 因为互为逆否命题的两个命题同真同假, 所以原命题的逆否命题为真命题. 跟踪训练4 证明 “若a2-4b2-2a+1≠0,则a≠2b+1”的逆否命题为“若a=2b+1,则a2-4b2-2a+1=0”. ∵a=2b+1, ∴a2-4b2-2a+1=(2b+1)2-4b2-2(2b+1)+1 =4b2+1+4b-4b2-4b-2+1=0. ∴命题“若a=2b+1, 则a2-4b2-2a+1=0”为真命题. 由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知,结论正确. 当堂训练 1.B 2.D 3.A 4.C 5.[1,2]
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