高中数学必修一函数知识点和练习doc.docx
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高中数学必修一函数知识点和练习doc
函数的有关概念
1.函数的概念:
设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:
A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:
y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
2.定义域:
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(5)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
3.相同函数的判断方法:
(满足以下两个条件)①定义域一致(化简前)
②表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);
4.值域:
先考虑其定义域
(1)图像观察法(掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、
yaxb(a,b0)三角函数等的图像,利用函数单调性)
x
(2)基本不等式
(3)换元法
(4)判别式法
5.函数图象知识归纳
(1)定义:
在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标,函数值
y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.C上每一点
的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数
对x、y为坐标的点(x,y)均在C上.
(2)画法
描点法
图象变换法:
常用变换方法有三种:
平移变换伸缩变换对称变换
6.区间的概念
(1)区间的分类:
开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示.
7.映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于
集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那
么就称对应f:
AB为从集合A到集合B的一个映射。
记作“f(对应关系):
A(原象)B(象)”
对于映射f:
A→B来说,则应满足:
(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;
(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
8.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.
9.复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数。
函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
(1)增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1 (2)减函数 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1 注意: 函数的单调性是函数的局部性质; (3)图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的。 (4)函数单调区间与单调性的判定方法 (A)定义法: ○1任取x1,x2∈D,且x1 ○2作差f(x1)-f(x2); ○3变形(通常是因式分解和配方); ○4定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); ○5下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性). (B)图象法(从图象上看升降) (C)导数法 (C)复合函数的单调性 复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性相关,规律: “同增异减” 注意: 函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间写成其并集. 2.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数。 (2)奇函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)叫做奇函数。 注: 如果奇函数在x=0处有定义,则f(0)=0 (3)具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称; 奇函数的图象关于原点对称. (4)函数奇偶性判定方法: (A)定义法 ○1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; ○2求出f(-x),与f(x)进行比较; ○3作结论: 若 f(-x)=f(x) ,则 f(x) 是偶函数;若 f(-x)=-f(x) ,则 f(x) 是 奇函数. 注意: 函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,再根据定义判定。 (B)借助函数的图象判定. 3、函数的解析表达式 (1)函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 凑配法、待定系数法、换元法、构造法 4、函数最大(小)值 (1)一般的,设函数yf(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 (a)对于任意的xI,都有f(x)M;(b)存在x0I,使得f(x0)M 那么称M为yf(x)的最大值。 (2)求函数最值的方法 ○1利用二次函数的性质(配方法) ○2利用图象求函数的最大(小)值 ○3利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x) 在x=b处有最大值f(b); 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b); 函数的概念 一、选择题 1.集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不表示从A到B的函数是() A.fx y 1x . 1 . 2 .f: xyx : f: xyx f: x yx D 2 B C 3 3 2.某物体一天中的温度是时间 t的函数: T(t) t3 3t 60,时间单位是小时,温度单位 为℃,t 0表示12: 00,其后t的取值为正,则上午 8时的温度为( ) A.8℃B.112℃C.58℃D.18℃ 3.函数y=x+1+1x的定义域是 A.(-1,1)B.[0,1]C.[-1,1]D.(-,-1)(1,+) 4.函数yf(x)的图象与直线xa的交点个数有() A.必有一个B.一个或两个C.至多一个D.可能两个以上 5.函数f(x) 1 R,则实数a的取值范围是() 2 的定义域为 ax 4ax3 A.R B.[0,3] C.[3 ) D.[0,3) 4 4 4 二、填空题 6.某种茶杯,每个2.5元,把买茶杯的钱数y(元)表示为茶杯个数x(个)的函数,则y= ________,其定义域为________. 1 7.函数y=x+1+2-x的定义域是(用区间表示)________. 三、解答题 1 8.求函数y=x+x2-4的定义域. 9.已知函数 f(x)的定义域为[0,1],求函数f(xa) f(x a)的定义域(其中 0a 1 ). 2 10.已知函数 f(x)x2 x1 (1)求f (2) (2) 求f( 1 1)(3) 若f(x)5,求x的值. x 函数相等、函数的值域 1.下列各题中两个函数是否表示同一函数? (1)f(x)1,g(x)x0() (2)f(x) x2 4 x g(x)x2() 2 (3)f(x) x2 2x,g(t)t2 2t() x 1(x 1) (4)f(x)|x1|,g(x) x(x () 1 1) 2.下列函数中值域是(0,+)的是 A.y2x1(x 0) B. 2 . 1 . 2 yx y D (x0) C 1 x2 x 3.设函数f(x) x2 3x 1,则f(a) f(a) A.0B.6aC.2a22D.2a26a2 4.已知f(x)满足2f(x)f(x) 3x2,且f (2) 16 则f (2) 3 5.已知函数 x2 f(x) 1x2 (1)计算f (2)与f (1) (2) 计算f(3)与f (1) 2 3 (3)计算f (1)f (2)f(3)...f(2011)f (1) f (1) f (1)... f( 1) 2 3 4 2011 6.求下列函数的值域: (1)y 2x 4 (2)yx2 4x6,x[1,5)(3)y1x2,x{2,1,0,1,2} x 3 7.求函数f(x)2x3134x的定义域和值域.(提示: 设t134x) 函数的表示法 1.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程.在下图中纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下图四个图形中较符合该学生走 法的是() 2.已知f(2x)2x,则f(x) A.2xB.xC.xD.4x 2 3.已知函数f(x)=x2+px+q满足f (1)=f(0)=0,则f(4)的值是() A.5 B.-5 C.12 D.20 4.已知f(x)是一次函数,若2f (2)3f (1) 5,2f(0)f (1) 1,则f(x)的解析式为 A.f(x)3x2 B.f(x)3x2 C.f(x)2x3 D.f(x)2x3 5.定义域为 R 的函数 f ( x )满足 ,则 f(x) =() f(x)2f(x)2x1 1 1 A.-2x+1 B.2x-3 C .2x-1 D.-2x+3 6. 若g(x) 1 x2 1 )的值是 12x,f(g(x)) 2,则f( x 2 A.1 B.15 C.4 D.30 7. 函数f(x)的图象经过点(1,1), 则函数 f(x 4)的图象过点 8. 已知f(x)是二次函数, f(0) 0,f(x 1) f(x)x1,求f(x). 9.若f(f(f(x)))27x26,求一次函数f(x)的解析式. 分段函数与映射 x2+3 (x>0), .已知 f(x) =1 (x=0), 则 f(f(f( - 4))) = () 1 x+4 (x<0). A.-4B.4C.3D.-3 2x 1(x 1) 2已知函数f(x) 2x(x x2 1) (1)试比较f(f(3))与f(f(3))的大小. (2)若f(a)3,求a的值. 3.画出下列函数的图象,并写出值域. (1)f(x)|x| (2)f(x)|x22x|(3)f(x)|x5||x3| 函数的单调性 1. 在区间(0,+∞)上不是增函数的是 ( ) A.y=2x-1 B.y=3x 2-1 C.y= 2 D.y=2x 2+x+1 x 2. 设函数f(x) (2a1)x b是(-∞,+∞)上的减函数,若 a∈R,则 ( ) 1 B. 1 C. a 1 a 1 A.a a D. 2 2 2 2 3. 函数y=4x2-mx+5在区间 2, 上是增函数,在区间 ,2 上是减函数,则m=________; 4. 根据图象写出函数y=f(x) 的单调区间: 增区间 ;减区间: y -30-13x 5.函数f(x)=ax2-(5a-2)x-4在2,上是增函数,则a的取值范围是______________. 6.判断函数yx 4 2, 上的单调性,并用定义证明. 在在 x 7.已知函数f(x)是定义在[1,1]上的增函数,且f(x1)f(13x),求x的取值范围. 函数的最大(小)值与值域 1.当x[0,5]时,函数f(x)3x24x1的值域为 A. [f(0), f(5)] B. [f(0), f (2)]C. [f (2),f(5)]D.(f(0),f(5)] 3 3 2.函数f(x) 1 在区间[2,6]上的最大值和最小值分别是 x 1 A. 1,1 B. 1,1 C. 1,1 D.1,1 5 5 7 7 3.函数f(x)2x1x的值域是 A.[1 ) B. (,1 ] C. (0,) D. [1,) 2 2 2x,0 x 1 4.f(x)2,1 x 2的值域是 3,x 2 A.RB.[0,3]C.[0,)D.[0,2]{3} 5.若0t1,则代数式1t的最小值是 4t A. 2 15 C.2 D.0 B. 4 6.函数y f(x)的定义域为[ 4,6],且在区间[ 4, 2]上递减,在区间( 2,6]上递增,且 f( 4) f(6),则函数y f(x)的最小值是 最大值是 7.函数y2x21,xN*的最小值为 8.已知函数yx22x3在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,求m的取值范围. 函数的奇偶性 1.下面说法正确的选项() A.函数的单调区间可以是函数的定义域 B.函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 C.具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称 D.关于原点对称的图象一定是奇函数的图象 2.函数f(x)x2x是 A.偶函数B.奇函数C.既奇且偶函数D.非奇非偶函数 3.函数yx|x|px,xR是() A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数D.与p有关 4.如果偶函数在[a,b]具有最大值,那么该函数在[b,a]有() A.最大值B.最小值C.没有最大值D.没有最小值 5.如果函数f(x),xR是奇函数,且f (1)f (2),则必有 A.f (1)f (2)B.f (1)f (2)C.f (1)f (1)D.f (1)f (2) 6.函数f(x)在R上为奇函数,且f(x)x1,x0,则当x0, f(x). 7.(12分)判断下列函数的奇偶性 ①f(x) x3 1 ; ②f(x) 2x 1 12x ; x ③f(x)x4 ④f(x) 1x2 x; |x2|2。 8.(12分)已知f(x)x2005ax3b8,f (2)10,求f (2). x 单元测试 1.设集合P=x0x4,Q=y0 y2,由以下列对应 f中不能构成A到B的映射的是 .. ( ) 1 B. 1 C. 2 D.y 1 A.yx yx yx x 2 3 3 8 2.下列四个函数: (1)y=x+1; (2)y=x+1;(3)y=x 2-1;(4)y= 1,其中定义域与值域相同 x 的是( ) A. (1) (2)B. (1) (2)(3)C.2)(3)D. (2)(3)(4) 3.已知函数 f(x) 7 bx c 10,则f(2006)的值为( ) ax 2,若f(2006) x A.10 B .-10 C .-14 D .无法确定 4.设函数f(x) 1(x 0) ,则(a b) (ab) f(a b) (a b)的值为( ) 1(x 0) 2 A.a B .b C.a、b中较小的数 D .a、b中较大的数 5.已知函数y=x2-2x+3在[0,a](a>0) 上最大值是3,最小值是 2,则实数a的取值范围是( ) A.0 B
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