电路分析(胡翔俊)第11、12章.pdf
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第十一章正弦稳态的功率三相电路第十一章正弦稳态的功率三相电路本章先讨论正弦稳态单口网络的瞬时功率、平均功率和功率因数。
再讨论正弦稳态单口网络向可变负载传输最大功率的问题以及非正弦稳态平均功率的计算。
最后介绍三相电路的基本概念。
本章先讨论正弦稳态单口网络的瞬时功率、平均功率和功率因数。
再讨论正弦稳态单口网络向可变负载传输最大功率的问题以及非正弦稳态平均功率的计算。
最后介绍三相电路的基本概念。
111瞬时功率和平均功率瞬时功率和平均功率)111()()()(titutp一、瞬时功率和平均功率一、瞬时功率和平均功率图示单口网络,在端口电压和电流采用关联参考方向的条件下,它吸收的功率为图示单口网络,在端口电压和电流采用关联参考方向的条件下,它吸收的功率为在单口网络工作于正弦稳态的情况下。
端口电压和电流是相同频率的正弦电压和电流,即在单口网络工作于正弦稳态的情况下。
端口电压和电流是相同频率的正弦电压和电流,即)cos
(2)cos()()cos
(2)cos()(iimuumtItItitUtUtu其瞬时功率为其瞬时功率为)cos()cos(coscos2yxyxyx)211()22cos(cos)2cos()cos(21)cos()cos()()()(uiuiummimumtUIUItIUtItUtitutp)22cos(cos)(utUIUItp其中其中=u-i是电压与电流的相位差是电压与电流的相位差,瞬时功率的波形如图所示瞬时功率的波形如图所示周期性变化的瞬时功率在一个周期内的平均值,称为平均功率,用周期性变化的瞬时功率在一个周期内的平均值,称为平均功率,用P表示,其定义是表示,其定义是)311(cosd)2cos(cos1d)(100UIttUIUITttpTPTiuT由此式看出正弦稳态的平均功率不仅与电压电流有效值乘积由此式看出正弦稳态的平均功率不仅与电压电流有效值乘积UI有关,还与电压电流的相位差有关,还与电压电流的相位差=u-i有关,式中的因子有关,式中的因子cos称为功率因数称为功率因数。
平均功率是一个重要的概念,得到广泛使用,我们通常说某个家用电器消耗多少瓦的功率,就是指它的平均功率,简称为功率。
平均功率是一个重要的概念,得到广泛使用,我们通常说某个家用电器消耗多少瓦的功率,就是指它的平均功率,简称为功率。
)22cos(cos)(utUIUItp)2t2cos()(uUIUItp下面我们讨论单口网络的几种特殊情况。
下面我们讨论单口网络的几种特殊情况。
1.单口网络是一个电阻,或其等效阻抗为一个电阻。
此时单口网络电压与电流相位相同,即单口网络是一个电阻,或其等效阻抗为一个电阻。
此时单口网络电压与电流相位相同,即=u-i=0,cos=1,式,式(112)变为变为其波形如下图所示。
其波形如下图所示。
)411(22RURIUIP瞬时功率瞬时功率p(t)在任何时刻均大于或等于零,电阻始终吸收功率和消耗能量。
此时平均功率的表达式为在任何时刻均大于或等于零,电阻始终吸收功率和消耗能量。
此时平均功率的表达式为图图11-3电阻的瞬时功率和平均功率电阻的瞬时功率和平均功率2)-(11)22cos(cos)(utUIUItp)18022sin()9022cos()()22sin()9022cos()(uuCuuLtUItUItptUItUItp2.单口网络是一个单口网络是一个电感或电容电感或电容,或等效为一个电抗。
此时单口网络电压与电流相位为正交关系,即,或等效为一个电抗。
此时单口网络电压与电流相位为正交关系,即=u-i=90,cos=0,式,式(112)变为变为此时平均功率的表达式此时平均功率的表达式(11-3)变为变为)511(0)09cos(UIP这说明在正弦稳态电路中,任何电感或电容吸收的平均功率为零。
这说明在正弦稳态电路中,任何电感或电容吸收的平均功率为零。
图图11-4电感和电容的瞬时功率和平均功率电感和电容的瞬时功率和平均功率其波形如图其波形如图(a)和和(b)所示。
其特点是在一段时间吸收功率获得能量;另外一段时间释放出它所获得的全部能量。
所示。
其特点是在一段时间吸收功率获得能量;另外一段时间释放出它所获得的全部能量。
3.由无源由无源RLC元件构成的单口网络,其相量模型等效为一个正值电阻与电抗的串联或一个正值电导与电纳的并联。
其电压电流的相位差元件构成的单口网络,其相量模型等效为一个正值电阻与电抗的串联或一个正值电导与电纳的并联。
其电压电流的相位差在在-90到到+90之间变化,功率因数之间变化,功率因数cos在在0到到1之间变化。
此时瞬时功率之间变化。
此时瞬时功率p(t)随时间作周期性变化,所吸收的平均功率为随时间作周期性变化,所吸收的平均功率为)611()Re()Re(cos22YUZIUIP式中的式中的Re(Z)是单口网络等效阻抗的电阻分量,它消耗的平均功率,就是单口网络吸收的平均功率。
与此相似,式中的是单口网络等效阻抗的电阻分量,它消耗的平均功率,就是单口网络吸收的平均功率。
与此相似,式中的Re(Y)是单口网络等效导纳的电导分量,它消耗的平均功率,就是单口网络吸收的平均功率。
是单口网络等效导纳的电导分量,它消耗的平均功率,就是单口网络吸收的平均功率。
当单口网络中包含有独立电源和受控源时,计算平均功率的式当单口网络中包含有独立电源和受控源时,计算平均功率的式(113)仍然适用,但此时的电压与电流的相位差仍然适用,但此时的电压与电流的相位差可能在可能在+90到到+270之间变化,功率因数之间变化,功率因数cos在在0到到-1之间变化,导致平均功率为负值,这意味着单口网络向外提供能量。
值得注意的是在用之间变化,导致平均功率为负值,这意味着单口网络向外提供能量。
值得注意的是在用UIcos计算单口网络吸收的平均功率时,一定要采用电压电流的关联参考方向,否则会影响相位差计算单口网络吸收的平均功率时,一定要采用电压电流的关联参考方向,否则会影响相位差的数值,从而影响到功率因数的数值,从而影响到功率因数cos以及平均功率的正负。
以及平均功率的正负。
)711(cosUIP功率因数功率因数cos之值与单口网络电压与电流间的相位差密切相关,故之值与单口网络电压与电流间的相位差密切相关,故称称=u-i为功率因数角为功率因数角。
二、功率因数二、功率因数从式从式(113)可见,在单口网络电压电流有效值的乘积可见,在单口网络电压电流有效值的乘积UI一定的情况下,单口网络吸收的平均功率一定的情况下,单口网络吸收的平均功率P与与cos的大小密切相关,的大小密切相关,cos表示功率的利用程度,称为功率因数,记为,它与表示功率的利用程度,称为功率因数,记为,它与P和和UI的关系为的关系为当单口网络呈现纯电阻时,功率因数角当单口网络呈现纯电阻时,功率因数角为零以及功率因数为零以及功率因数cos=1,功率利用程度最高。
当单口网络等效为一个电阻与电感或电容连接时,即单口呈现电感性或电容性时,功率因数角,功率利用程度最高。
当单口网络等效为一个电阻与电感或电容连接时,即单口呈现电感性或电容性时,功率因数角=090以及功率因数以及功率因数cos1,以致于,以致于P0的前提下,负载获得最大功率的条件是的前提下,负载获得最大功率的条件是)1011(jjooo*LLLXRZXRZ所获得的最大平均功率为所获得的最大平均功率为)1111(4o2ocmaxRUP通常将满足条件的匹配,称为共轭匹配。
在通信和电子设备的设计中,常常要求满足共轭匹配,以便使负载得到最大功率。
通常将满足条件的匹配,称为共轭匹配。
在通信和电子设备的设计中,常常要求满足共轭匹配,以便使负载得到最大功率。
o*LZZo2ocmax4RUP最大功率传输定理:
最大功率传输定理:
工作于正弦稳态的单口网络向一个负载工作于正弦稳态的单口网络向一个负载ZL=RL+jXL供电,如果该单口网络可用戴维宁等效电路供电,如果该单口网络可用戴维宁等效电路(其中其中Zo=Ro+jXo,Ro0)代替,则在负载阻抗等于含源单口网络输出阻抗的共轭复数(即)时,负载可以获得最大平均功率代替,则在负载阻抗等于含源单口网络输出阻抗的共轭复数(即)时,负载可以获得最大平均功率o*LZZ例例11-3图图(a)所示电路中,为使所示电路中,为使RL=1000负载电阻从单口网络中获得最大功率,试设计一个由电抗元件组成的网络来满足共轭匹配条件。
解:
负载电阻从单口网络中获得最大功率,试设计一个由电抗元件组成的网络来满足共轭匹配条件。
解:
1.假如不用匹配网络,将假如不用匹配网络,将1000负载电阻与电抗网络直接相连时,负载电阻获得的平均功率为负载电阻与电抗网络直接相连时,负载电阻获得的平均功率为W26.8100010001001002LP2.假如采用匹配网络满足共轭匹配条件,假如采用匹配网络满足共轭匹配条件,1000负载电阻可能获得的最大平均功率为负载电阻可能获得的最大平均功率为W251001001001002LP由上可见,采用共轭匹配网络,负载获得的平均功率将大大增加。
由上可见,采用共轭匹配网络,负载获得的平均功率将大大增加。
)1211(j)(1j)(11jooo*22L22LLabXRZCRCCRRLZ3.设计一个由图设计一个由图(a)所示电感和电容元件构成的网络来满足共轭匹配条件,以便使负载获得最大功率。
将电容和电阻并联单口等效变换为串联单口,写出输入阻抗所示电感和电容元件构成的网络来满足共轭匹配条件,以便使负载获得最大功率。
将电容和电阻并联单口等效变换为串联单口,写出输入阻抗令上式的实部相等可以求得令上式的实部相等可以求得)1311(11oLLRRRC代入电阻值得到代入电阻值得到F310003mS3mSrad/s10mS3110100013时当CC)1211(j)(1j)(11jooo*22L22LLabXRZCRCCRRLZ令式令式(11-12)虚部相等可以求得虚部相等可以求得)1411(11)(1oLLL22LRCRRRCRCL代入电阻和电容值得到代入电阻和电容值得到H3.01000300rad/s1030010101033233oLLLRCRL时当)1211(j)(1j)(11jooo*22L22LLabXRZCRCCRRLZ计算表明,如选择计算表明,如选择L=0.3H,C=3F,图示电路,图示电路ab两端以右单口网络的输入阻抗等于两端以右单口网络的输入阻抗等于100,它可以获得,它可以获得25W的最大功率,由于其中的电感和电容平均功率为零,根据平均功率守恒定理,这些功率将为的最大功率,由于其中的电感和电容平均功率为零,根据平均功率守恒定理,这些功率将为RL=1000的负载全部吸收。
的负载全部吸收。
我们也可以采用理想变压器来作为匹配网络使负载电阻我们也可以采用理想变压器来作为匹配网络使负载电阻RL=1000获得最大功率。
此时理想变压器的变比的计算公式如下:
获得最大功率。
此时理想变压器的变比的计算公式如下:
162.3101001000oLRRn变比变比n=3.162的变压器将的变压器将1000的电阻变换为的电阻变换为100来满足阻抗匹配条件,由于理想变压器不消耗功率,根据平均功率守恒定理,来满足阻抗匹配条件,由于理想变压器不消耗功率,根据平均功率守恒定理,25W的最大功率将全部为负载电阻的最大功率将全部为负载电阻RL=1000所吸收。
所吸收。
补充题:
补充题:
图示电路中,为使图示电路中,为使RL=100负载电阻从单口网络中获得最大功率,试设计一个由电抗元件组成的网络来满足共轭匹配条件。
负载电阻从单口网络中获得最大功率,试设计一个由电抗元件组成的网络来满足共轭匹配条件。
思考与练习思考与练习11-3-1图示电路中,已知电容性负载中的电容图示电路中,已知电容性负载中的电容CL=1F,LC匹配网络中的匹配网络中的L10.3H,C=3F。
试证明当。
试证明当LC匹配网络中的匹配网络中的L2=1mH时,电容性负载时,电容性负载ZL可以获得最大平均功率。
可以获得最大平均功率。
2002年春节摄于成都人民公园必作习题:
第482483页习题十一:
1110、11131114114平均功率的叠加平均功率的叠加本节讨论几种不同频率正弦信号激励的非正弦稳态的平均功率。
本节讨论几种不同频率正弦信号激励的非正弦稳态的平均功率。
21i222mi111mu222mu111m)cos()cos()()cos()cos()(且tItItitUtUtu图示单口网络,在端口电压和电流采用关联参考方向的条件下,假设其电压和电流为图示单口网络,在端口电压和电流采用关联参考方向的条件下,假设其电压和电流为单口网络的瞬时功率为单口网络的瞬时功率为)cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()()()(i111mu222mi222mu111mi222mu222mi111mu111mtItUtItUtItUtItUtitutp瞬时功率随时间作周期性变化,它在一个周期内的平均功率为瞬时功率随时间作周期性变化,它在一个周期内的平均功率为21202211100coscosd)(1PPIUIUttpTPT一般来说,一般来说,n种不同频率正弦信号作用于单口网络引起的平均功率等于每种频率正弦信号单独引起的平均功率之和,即种不同频率正弦信号作用于单口网络引起的平均功率等于每种频率正弦信号单独引起的平均功率之和,即)1511(321nPPPPP其中其中kkkikukkkkIUIUPcos)cos(例例11-4已知单口网络的电压和电流为已知单口网络的电压和电流为A)1353cos(2A)6010cos(t)V)3cos302cos50cos100100()(ttittttuW2.21135cos22300W25060cos21010003210PPPP将这些平均功率相加得到单口网络吸收的平均功率将这些平均功率相加得到单口网络吸收的平均功率W8.228)2.2102500(3220PPPPP解:
分别计算每种频率正弦信号单独作用产生的平均功率试求单口网络吸收的平均功率。
解:
分别计算每种频率正弦信号单独作用产生的平均功率试求单口网络吸收的平均功率。
W7501255001255551055222210PPPP式中的是周期性非正弦电流的有效值。
式中的是周期性非正弦电流的有效值。
150I解:
分别计算各种频率成分的平均功率再相加,即例解:
分别计算各种频率成分的平均功率再相加,即例11-5已知流过已知流过5电阻的电流为电阻的电流为A)2cos25cos2105()(ttti试求电阻吸收的平均功率。
试求电阻吸收的平均功率。
W75051505)5105(2222P或一般来说,周期性非正弦电压和电流,用傅里叶级数分解出它的直流分量和各种谐波分量后,可以用以下公式计算其有效值。
一般来说,周期性非正弦电压和电流,用傅里叶级数分解出它的直流分量和各种谐波分量后,可以用以下公式计算其有效值。
)1711()1611(22221202222120nnUUUUUIIIII引入周期性非正弦电压和电流的有效值后,可以用以下公式计算电阻的平均功率引入周期性非正弦电压和电流的有效值后,可以用以下公式计算电阻的平均功率)1811(22RURIP应该特别注意的是电路在应该特别注意的是电路在频率相同的几个正弦信号激励时,不能用平均功率叠加的方法来计算正弦稳态的平均功率频率相同的几个正弦信号激励时,不能用平均功率叠加的方法来计算正弦稳态的平均功率。
应该先计算出总的电压和电流后,再用公式。
应该先计算出总的电压和电流后,再用公式P=UIcos来计算平均功率。
来计算平均功率。
例例11-6图图11-11(a)所示电路中,已知试求该单口网络向外传输的最大平均功率。
所示电路中,已知试求该单口网络向外传输的最大平均功率。
V2cos25cos210)(tttu图图11-11解:
分别计算出每个频率成分正弦信号所产生的最大平均功率,然后相加。
解:
分别计算出每个频率成分正弦信号所产生的最大平均功率,然后相加。
1.单独作用时,画出单独作用时,画出1=1rad/s的相量模型,此时的相量模型,此时Vcos210)(1ttu)5.0j5.0(1j11jV45250101j11joocZU图图11-11(b)当负载阻抗为时,含源单口网络输出的最大平均功率为当负载阻抗为时,含源单口网络输出的最大平均功率为)5.0j5.0(o*LZZW255.04504o2ocmax1RUP2.单独作用时,画出单独作用时,画出2=2rad/s的相量模型,此时的相量模型,此时V2cos25)(2ttu)4.0j8.0(2j12jV6.2652052j12joocZU图图11-11(c)当负载阻抗为时,含源单口网络输出的最大平均功率为当负载阻抗为时,含源单口网络输出的最大平均功率为)4.0j8.0(o*LZZW25.68.04204o2ocmax2RUP3.将不同频率成分正弦信号产生的平均功率叠加得到单口向外传输的最大平均功率为将不同频率成分正弦信号产生的平均功率叠加得到单口向外传输的最大平均功率为W25.3125.625max2max1maxPPP你能够设计一个负载你能够设计一个负载ZL(j)来满足以上传输最大功率吗?
来满足以上传输最大功率吗?
)4.0j8.0()2j()4.0j8.0()2j()5.0j5.0()1j)5.0j5.0()1jLoLoZZZZ(思考与练习思考与练习11-4-1你能设计一个负载网络,使图你能设计一个负载网络,使图11-11(a)所示单口网络输出最大平均功率吗?
所示单口网络输出最大平均功率吗?
图图11-11图图114211-4-2
(1)试计算图试计算图11-4-2(a)所示单口网络在任意角频率时的输出阻抗。
所示单口网络在任意角频率时的输出阻抗。
(2)试计算图试计算图1142(b)所示单口网络在任意角频率时的等效阻抗,它与上面计算的输出阻抗有什么关系?
所示单口网络在任意角频率时的等效阻抗,它与上面计算的输出阻抗有什么关系?
(3)你能说明图你能说明图1142(c)所示电路中,含源单口网络所示电路中,含源单口网络N1在其正弦电压源在其正弦电压源u(t)的频率为任何数值时,均能输出最大平均功率吗?
的频率为任何数值时,均能输出最大平均功率吗?
2002年春节摄于成都人民公园必作习题:
第483484页习题十一:
1115、1117115三相电路三相电路由三相电源供电的电路,称为三相电路。
三相供电系统具有很多优点,为各国广泛采用。
在发电方面,相同尺寸的三相发电机比单相发电机的功率大,在三相负载相同的情况下,发电机转矩恒定,有利于发电机的工作;在传输方面,三相系统比单相系统节省传输线,三相变压器比单相变压器经济;在用电方面,三相电容易产生旋转磁场使三相电动机平稳转动。
本节介绍三相电路的一些基本概念和简单三相电路的计算。
由三相电源供电的电路,称为三相电路。
三相供电系统具有很多优点,为各国广泛采用。
在发电方面,相同尺寸的三相发电机比单相发电机的功率大,在三相负载相同的情况下,发电机转矩恒定,有利于发电机的工作;在传输方面,三相系统比单相系统节省传输线,三相变压器比单相变压器经济;在用电方面,三相电容易产生旋转磁场使三相电动机平稳转动。
本节介绍三相电路的一些基本概念和简单三相电路的计算。
三相供电系统的三相电源是三相发电机。
右图是三相发电机的结构示意图,它有定子和转子两大部分。
三相供电系统的三相电源是三相发电机。
右图是三相发电机的结构示意图,它有定子和转子两大部分。
一、三相电源一、三相电源定子铁心的内圆周的槽中对称地安放着三个绕组定子铁心的内圆周的槽中对称地安放着三个绕组AX、BY和和CZ。
A、B、C为首端;为首端;X、Y、Z为末端。
三绕组在空间上彼此间隔为末端。
三绕组在空间上彼此间隔120。
转子是旋转的电磁铁。
它的铁心上绕有励磁绕组。
选择合适的铁心端面形状和励磁绕组分布规律,使励磁绕组中通以直流时,产生在转子和定子间气隙中的磁感应强度,沿圆周按正弦规律分布。
当转子恒速旋转时,。
转子是旋转的电磁铁。
它的铁心上绕有励磁绕组。
选择合适的铁心端面形状和励磁绕组分布规律,使励磁绕组中通以直流时,产生在转子和定子间气隙中的磁感应强度,沿圆周按正弦规律分布。
当转子恒速旋转时,AX、BY、CZ三绕组的两端将分别感应振幅相等、频率相同的三个正弦电压三绕组的两端将分别感应振幅相等、频率相同的三个正弦电压uA(t)、uB(t)、uC(t)。
如果指定它们的参考方向都由首端指向末端,则它们的初相互相差。
如果指定它们的参考方向都由首端指向末端,则它们的初相互相差120。
若以作为参考相量,这三个电压相量为若以作为参考相量,这三个电压相量为AU1201200pCpBpAUUUUUU它们的相量图和波形图分别如图它们的相量图和波形图分别如图(a)、(b)所示。
这样三个振幅相等、频率相同、相位差所示。
这样三个振幅相等、频率相同、相位差120的一组正弦电源称为对称三相正弦电源。
它们分别称为的一组正弦电源称为对称三相正弦电源。
它们分别称为A相、相、B相和相和C相。
相。
图图11-13对称三相电压源的相量图和波形图对称三相电压源的相量图和波形图1201200pCpBpAUUUUUU它们分别称为它们分别称为A相、相、B相和相和C相,每相的电压称为相电压。
按照各相电压经过正峰值的先后次序来说,它们的相序是相,每相的电压称为相电压。
按照各相电压经过正峰值的先后次序来说,它们的相序是A、B、C,称为正序,如果各相电压到达正峰值的次序为,称为正序,如果各相电压到达正峰值的次序为uA(t)、uC(t)、uB(t),称为负序。
用户可以改变三相电源与三相电动机的连接方式来改变相序,从而改变三相电动机的旋转方向。
,称为负序。
用户可以改变三相电源与三相电动机的连接方式来改变相序,从而改变三相电动机的旋转方向。
三相电源有两种基本联接方式:
星形联接和三角形联接。
星形联接三相电源有两种基本联接方式:
星形联接和三角形联接。
星形联接(又称又称Y形联接形联接)是将三相电源的末端是将三相电源的末端X、Y、Z接在一起,形成一个结点,记为接在一起,形成一个结点,记为N,称为中性点或中点,将各相的首端,称为中性点或中点,将各相的首端A、B、C以及中点以及中点N与四根输电线(分别称为相线和中线)联接,如图与四根输电线(分别称为相线和中线)联接,如图(a)所示。
与传输线相联接的负载,可以从相线与中线之间得到三个相电压,用表示,也可以从三根相线之间得到三个线电压,用表示。
线电压与相电压之间的关系可以从图所示。
与传输线相联接的负载,可以从相线与中线之间得到三个相电压,用表示,也可以从三根相线之间得到三个线电压,用表示。
线电压与相电压之间的关系可以从图(b)相量图中计算出来。
相量图中计算出来。
CBAUUU、CABCABUUU、1503903303PACCAPCBBCPBAABUUUUUUUUUUUU从上式可以看出,线电压是相电压的倍,即。
例如我们日常生活用电是从上式可以看出,线电压是相电压的倍,即。
例如我们日常生活用电是220V相电压,相应的线电压则是相电压,相应的线电压则是380V。
从相量图上可以看出,三个对称相电压以及三个对称线电压之间存在以下关系。
从相量图上可以看出,三个对称相电压以及三个对称线电压之间存在以下关系3p3UUl)2011(0)1911(0CABCABCBAUUUUUU在星形联接中,流过相线的线电流等于流过每相电源的相电流,即在星形联接中,流过相线的线电流等于流过每相电源的相电流,即Il=IP对称三相电源可以采用三角形联接对称三相电源可以采用三角形联接(又称又称联接联接),它是将三相电源各相的始端和末端依次相连,再由,它是将三相电源各相的始端和末端依次相连,再由A、B、C引出三根相线与负载相连,如图引出三根相线与负载相连,如图1115所示。
所示。
图图1115三相电源的三角形联接三相电源的三角形联接将三相电源作三角形联接时,要求三绕组的电压
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