备战中考数学专题复习学案 条件辅助线综合.docx
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备战中考数学专题复习学案条件辅助线综合
条件辅助线综合
知识导航
几何题目的难点在于它的千变万化,而它的魅力恰好在于万变不离其宗,抓住题目中核心的条件,选取恰当的条件对应的辅助线,加上自己的思考和尝试,往往会有柳暗花明又一村的感觉,这一讲,我们将一起来看一下条件辅助线的综合应用!
模块一角平分线
例1
如图,AD是△ABC的角平分线,点F、E分别在边AC、AB上,且BD=FD.
(1)证明∠B+∠AFD=180°;
(2)若∠B+2∠DEA=180°,试探究线段AE、AF和FD之间的数量关系,并证明你的结论.
练习
如图1,在平面直角坐标系中,点A(4,4),点B、C分别在x轴、y轴的正半轴上,
.
(1)∠COA的值为;
(2)求∠CAB的度数;
(3)如图2,点M、N分别是x轴正半轴及射线OA上一点,且OH⊥MN的延长线于H,满足∠HON=∠NMO,请探究两条线段MN、OH之间的数量关系,并给出证明.
模块二截长补短
在几何题目中,经常有一类问题是探究线段和差之间的关系,这类问题经常需要用到截长补短的思路,截长补短一方面可以借助其他的条件辅助线(例如角平分线等)或者模型辅助线(后边会学到)去思考,另一方面多多去尝试,只有这样,才能体会到截长补短的精髓.
例2
已知等边△ABC,D在CB的延长线上.
(1)若DE∥AC交AB的延长线于E,直接写出AE和CD的关系:
;
(2)若∠ADM=60°,且CM为△ABC的外角平分线,求证:
CD=CA+CM.
练习
如图1,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,以AB为边向外作等边三角形△ABE,直线CE与直线AD交于点F.
(1)若AF=10,DF=3,试求EF的长;
(2)若以AB为边向内作等边△ABE,其它条件均不变,请用尺规作图补全图2(保留作图痕迹),并直接写出EF、AF和DF三者的数量关系.
例3
如图,等腰△ABC中,AB=AC,点D是AC上一动点,点E在BD的延长线上,且AB=AE,AF平分∠CAE交DE于F.
(1)如图1,连CF,求证:
∠ABE=∠ACF;
(2)如图2,当∠ABC=60°时,求证:
AF+EF=FB;
(3)如图3,当∠ABC=45°时,若BD平分∠ABC,求证:
BD=2EF.
模块三中点的构造
中点,是一个非常美妙的几何条件,它和很多知识都有联系,现阶段我们接触到的是其最本质的思路之一即中线倍长,中线倍长我们可以得到一组八字全等,进而去证明出我们想要得到的结论,反过来要想证明中点的结论,我们则可以通过构造平行线来证明,接下来我们将看几个经典的例题.
例4
如图,△ABC中,分别以AB、AC为边作Rt△ABE和Rt△ACD,AB=AE,AC=AD,∠BAE=∠CAD=90°,AM是BC边上的中线.
求证:
①ED=2AM且AM⊥ED.②
.
例5
如图,△ABC与△ADE为等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,连接BD、CE,若F是BD的中点,求证:
且AF⊥CE.
例6
如图,△ABE和△ACD为等腰直角三角形,AM⊥BC于M,MA交ED于N.
求证:
EN=DN.
练习
在△ABC中,∠ABC=90°.
(1)如图1,若AB=BC,将△ABC绕A点旋转一定的角度至△ADE的位置,BD与CE交于点O,求证:
OE=OC.
(2)如图2,AB≠BC,其他条件不变,
(1)中的结论依然成立吗?
若不成立,说明理由;若成立,证明结论.
模块四三垂直模型与坐标系综合
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三垂直模型在坐标系中有着非常广泛的应用,尤其是与等腰直角三角形的综合,具体来说:
已知等腰直角三角形三个顶点中任意两个点的坐标,便可以求出第三个点的坐标
情况一如下图:
直角顶点在坐标轴上
情况二如下图:
直角顶点不在坐标轴上
例4
(1)如图,△ABC为等腰直角三角形,AC=BC,AC⊥BC,A(0,3),C(1,0),求B点坐标.
(2)如图,△ABC为等腰直角三角形,AC=BC,AC⊥BC,A(-1,0),C(1,3),求B点坐标.
(3)如图,△ABC为等腰直角三角形,AC=BC,AC⊥BC,B(2,2),C(4,-2),求A点坐标.
练习
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BC与y轴交于D点,点C的坐标为(-2,0),点A的坐标为(-6,3),则D点的坐标是.
真题演练
如图,已知A(-2,0),
(1)如图,以A为顶点,AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC,若B(0,-4),求C点坐标.
(2)如图,P为y轴负半轴上一动点,以P为顶点,PA为腰做等Rt△APD,过D作DE⊥x轴于E点,当P点沿y轴负半轴向下运动时,试问OP-DE的值是否发生变化?
若不变,求其值;若变化,请说明理由.
(3)如图,已知F点坐标为(﹣4,﹣4),G是y轴负半轴上一点,以FG为直角边作等腰Rt△FGH,H点在x轴上,∠GFH=90°.设G(0,m),H(n,0),当G点在y轴负半轴上沿负方向运动时,m+n的值是否变化?
若不变,求其值;若变化,请说明理由.
例5
在平面直角坐标系中,A(2,﹣1),B(1,﹣4),C(5,﹣2),求∠ABC的度数.
练习
如图,在平面直角坐标系中,已知A(a,b),且a、b满足
(1)求点A的坐标;
(2)若点F(1,0),C(0,3),连AC、FC,试确定∠ACO+∠FCO的值是否发生变化.若不变,说明理由.若变化,请求出变化范围.
A基础巩固
1.如图,∠B=∠C=90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC.
(1)求证:
AE平分∠DAB.
(2)若BC=12,AD=13,求
.
2.如图,在△ABC内一点D,点C是AE上一点,AD交BE于点P,射线DC交BE的延长线于点F,且∠ABD=∠ACD,∠PDB=∠PDC.
(1)求证:
AB=AC.
(2)若
,
,求
的值.
(3)若
,
,则
.
3.已知等腰△ABC,AB=AC.
(1)如图1,BM是△ABC的中线,点N在BM上,且∠ANM=∠MBC,求证:
BC=AN;
(2)如图2,点G为△ABC外一点,∠BGC=∠BAC,AH⊥BG于点H,若BH=7,HG=1,求线段CG的长.
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