初中函数概念大全.docx
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初中函数概念大全
函数及其相关概念
1、变量与常量
在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。
一般地,在某一变化过程中有两个变量G与y,如果对于G的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就说G是自变量,y是G的函数。
2、函数解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点
(1)解析法
两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做解析法。
(2)列表法
把自变量G的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。
(3)图像法
用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤
(1)列表:
列表给出自变量与函数的一些对应值
(2)描点:
以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点
(3)连线:
按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。
一次函数和正比例函数
1、一次函数的概念:
一般地,如果y=kx+b(k,b是常数,k式0),那么y叫做G的一次函数。
特别地,当一次函数y=kx+b中的b为0时,y=kx(k为常数,k式0)。
这时,y叫做G的正比例函数。
4、两点间距离公式(当遇到没有思路的题时,
B可用此方法拓展思G
2、一次函数、正比例函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线
一次函数y=kG+b(k丸))的图像是经过点(0,b)的直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标,即一次
④设两条直线分别为,h:
y=«•bi|2:
y=k?
x•b?
h_l2:
=k1k^--1
路,以寻求解题方法)
如图:
点A坐标为(Gi,yi)点B坐标为(G2,y2)
则AB间的距离,即线段AB的长度为Xi-X2$■%-y2$
5、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式y二kx(k=0)中的常数ko确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式y=kxF(k=0)中的常数k和b。
解这类问题的一般方法是待定系数法。
6、
(1)一次函数图象是过两点的一条直线,|k|的值越大,图象越靠近于y轴。
(2)当k>0时,图象过一、三象限,y随G的增大而增大;从左至右图象是上升的(左低右高);
(3)当k<0时,图象过二、四象限,y随G的增大而减小。
从左至右图象是下降的(左高右低);
(4)当b>0时,与y轴的交点(0,b)在正半轴;当b<0时,与y轴的交点(0,b)在负半轴。
当b二0时,一次函数就是正比例函数,图象是过原点的一条直线
反比例函数
1、反比例函数的概念
一般地,函数y=k(k是常数,k=0)叫做反比例函数。
反比例函数的解析式也可以写成y=kx—1的
x
形式。
自变量G的取值范围是G=0的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数,也可写成Gy=k(k
是常数,k工0)
反比例函数中,两个变量成反比例关系:
由Gy=k,因为k为常数,k工0,两个变量的积是定值,所
以y与G成反比变化,而正比例函数y=kG(k工0)是正比例关系:
由=k(k工0),因为为不等于零的常
x
数,两个变量的商是定值。
k
2、反比例函数y=k(k工0)的图象的画法画图方法:
描点法。
x
由于双曲线的图象有关于原点对称的性质,所以只要描出它在一个象限内的分支,再对称地画出另一
分支。
一定要注意:
k>0,双曲线两分支分别在第一、三象限。
k<0,双曲线两分支分别在第二、四象限。
(在每一象限内,从左向右上升)•因此,它的增减性与一次函数相反•反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称。
k
特点:
y=—=kG-1(k工0)中,Gm0,-y工0,则有双曲线不过原点且与两坐标轴永不相交。
但无限
x
靠近G轴、y轴。
画图时图象要体现这种性质,千万注意不要将两个分支连起来。
3、反比例函数的性质和图像
反比
例函
数
y
x
心0)
k的符
k>0
k<0
号
k
确定的方法仍是待定系数法。
由于在反比例函数y二-中,只有一个待定系数,因此只需要一对对应
x
值或图像上的一个点的坐标,即可求出k的值,从而确定其解析式。
5、反比例函数中反比例系数的几何的意义
k
如下图,过反比例函数y(k=0)图像上任一点P作G轴、y轴的垂线PM,PN,则所得的矩形PMON
x
k的面积S=PM叩N=y•x=xy》y=—,二xy=k,S=kx
二次函数
1、二次函数的概念:
一般地,如果y=ax2•bx•c(a,b,c是常数,a=0),那么y叫做G的二次函数。
y^ax2bx-c(a,b,c是常数,a0)叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像:
二次函数的图像是一条关于x—对称的曲线,这条曲线叫抛物线。
2a
3、二次函数图像的画法五点法:
(1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴
(2)求抛物线y=ax2bxc与坐标轴的交点:
当抛物线与G轴有两个交点时,描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C,再找到点C的对称点D。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。
D。
由C、M、D三点可
A、B,然后顺次连接
当抛物线与G轴只有一个或无交点时,描出抛物线与y轴的交点C及对称点
粗略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点
五点,画出二次函数的图像
称轴是直线x二h•
(3)运用抛物线的对称性:
由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,对称轴与抛物线的交点是顶点。
若已知抛物线上两点(为』)、区』)(及y值相同),则对称轴方程可以表示为:
x=—△
2
5.抛物线y=ax2bxc中,a,b,c的作用
(1)a决定开口方向及开口大小①当a0时,抛物线开口向上,顶点为其最低点;当a:
:
:
0时,抛物线开口向下;顶点为其最高点。
a相等,抛物线的开口大小、形状相同.a越大,图像开口越小,a越小,图像开口越大。
②平行于y轴(或重合)的直线记作x二h.特别地,y轴记作直线x=0.
2b
(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y二axbxc的对称轴是直线x-,
2a
故:
①b=0时,对称轴为y轴;②b0(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧;
a
③—:
:
0(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧.
a
(3)c的大小决定抛物线y=ax2bxc与y轴交点的位置.当x=0时,y=c,二抛物线y=ax2,bx,c
与y轴有且只有一个交点(0,c):
①c=0,抛物线经过原点;②c0,与y轴交于正半轴;③c”:
0,与y
轴交于负半轴.
K
以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧,则-"0.
a
6、二次函数的解析式有三种形式:
(1)一般式:
y=ax2•bx•c(a,b,c是常数,a=0)
(2)顶点式:
y=a(x—h)2k(a,h,k是常数,a=0)
(3)交点式:
当抛物线y=ax2■bx■c与G轴有交点时,即对应二次好方程ax2bx•c=0有实根Xi
和x2存在时,根据二次三项式的分解因式ax2bxa(x-xj(x-x2),二次函数y=ax2bxc可转化
为两根式y=a(x-Xi)(x-X2)。
如果没有交点,则不能这样表示。
几种特殊的二次函数的图像特征如下:
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
2
y=ax
x=0
(y轴)
(0,0)
y=ax2+k
当a>0时
x=0
(y轴)
(0,k)
y=a(x-hf
开口向上
X
=h
(h,0)
2
y=a(x-h)+k
当ac0时
X
=h
(h,k)
y=ax2+bx+c
b24ac—b2y/x^)+.
开口向下
X=
b
2a
b4ac-b2)(2a,4a)
7、二次函数的最值
增减性,如果在此范围内,y随G的增大而增大,则当X=X2时,y最大二ax|bx2c,当x=xi时,y最小二ax;bxic;如果在此范围内,y随G的增大而减小,则当x=花时,y最大二ax;bXjc,当x=x?
时,y最小二ax;bx2c。
8、二次函数的图象
函数
二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,
a")
图
a>0
a<0
9.
,并向上无限延伸;
b
2a,2
顶点坐标是(-b,4a—b);
2a4a
(3)在对称轴的左侧,即当Gv一卫时,y
2a
随G的增大而减小;在对称轴的右侧,
即当G^时,y随G的增大而增大,
2a
简记左减右增;
(2)对称轴是G=
(1)抛物线开口向下,并向下无限延伸;
1~\
(2)对称轴是G=-—,
232
顶点坐标是(-b,43皿);
2a4a
(3)在对称轴的左侧,即当Gv一卫时,
2a
y随G的增大而增大;在对称轴的右
侧,即当G>-b时,y随G的增大
2a
而减小,简记左增右减;
(4)抛物线有最低点,当G=-b时,y
212a
有最小值,y最小值=4a—b
4a
(4)抛物线有最咼点,当G=-―b时,y
22a
有最大值,y最大值=4a—b
4a
抛物线的交点
y
0I
(1)抛物线开口向
(4)一次函数y=kx•nk=0的图像I与二次函数y=ax2•bx•ca=0的图像G的交点,由方程组
y=kxn
2的解的数目来确定:
①方程组有两组不同的解时二I与G有两个交点;②方程组只
jy=ax+bx+c
'有一组解时I与G只有一个交点;③方程组无解时=I与G没有交点•
2
反比例函数y=—k=0的图像与二次函数y=axbxc0的图像的交点,由方程组[_kx
y=x的解来确定。
2
y=axbxco
(5)抛物线与x轴两交点之间的距离:
若抛物线y=axbxc与x轴两交点为Ax1?
0,Bx2,0,由于
bc
x-i、x2是方程ax2bx0的两个根,故x1x2,x-ix2:
aa
AB=%-x21=J(%-x2)2=(%+x2)_4xjX2
(1)y轴与抛物线y=ax2bxc得交点为(0,c).
(2)抛物线与x轴的交点:
二次函数y=ax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x“X2,是对应一元二次方程ax2bx^0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式厶=b2-4ac判定:
一①有两个交点二C」0)=抛物线与x轴相交;
2有一个交点(顶点在x轴上)=(厶-0)=抛物线与x轴相切;
3没有交点=(—0)=抛物线与x轴相离.
(3)平行于x轴的直线与抛物线的交点
同
(2)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k,则横坐标是ax2bx的两个实数根.
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