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张天孝提高数学素养降低学习难度
提高数学素养降低学习难度
张天孝
《国家中长期教育改革和发展规划纲要》明确指出:
把提高质量作为改革发展的核心任务。
数学课程改革,离不开提高数学教育质量这一目标。
提高质量,要树立科学的质量观。
小学设立数学课程,主要有两个方面目标:
一方面是实践性目标,即为解决日常生活和科学发展中的问题提供数学工具和数学方法。
另一方面是智慧性目标,即发展人的思维能力,提高智力水平,促进智慧的生长。
数学教学的科学质量观要处理好两个关系。
第一,学知识与长智慧的关系。
学习数学,要基于知识又超越知识。
基于知识,要重视知识教学,依托知识,打好知识基础;超越知识,强调的是不能满足于知识,不能止于知识,重要的是把知识转化为智慧。
什么样的知识才能转化为智慧?
以什么样的方式把知识转化为智慧?
我们的回答是:
“活”的知识才能转化为智慧。
知识应“活”在学生感悟和体验中,“活”在学生的自主学习和探究活动中,“活”在应用知识解决问题过程中。
让知识“活”起来,首先让教科书“活”起来,让课堂“活”起来,把静态的知识结论转化为动态的探索对象,让学生处在自主学习,积极探究的状态中。
例如,学习“商不变性质”,将几个含有相同因数的乘法算式,改成商相同的除法算式,通过列举、整理、取样分析,归纳的方法,得出商不变的性质。
教学流程可以分五步:
第一步:
写几个含有因数3的乘法算式,并把每个乘法算式改写成商是3的除法算式。
第二步,把商是3的除法算式进行整理。
3÷1=312÷4=321÷7=3
6÷2=315÷5=324÷8=3
9÷3=318÷6=327÷9=3
第三步,取样分析,选择几个算式探索规律。
36÷12=3
24÷8=3被除数和除数都乘一个相同的数,商不变。
12÷4=3被除数和除数都除以一个相
同的数,商不变。
6÷2=3
3÷1=3
(12×2)÷(4×2)
(12×3)÷(4×3)
12÷4=(12÷2)÷(4÷2)
(12÷4)÷(4÷4)
第四步,写出商是2或5的除法算式,验证。
第五步,讨论:
要使商不变,被除数和除数都乘0或者都除以0,可以吗?
为什么?
在此基础上归纳:
被除数和除数同时乘或者除以相同的数(0除外),商不变,这叫做商不变的性质。
商不变性质是进一步学习的重要基础,要安排一些为后继学习作准备的练习题。
①根据商不变的性质,在□里填数。
把被除数或除数改小,为学习约分作铺垫。
48÷16=□÷2360÷15=72÷□
把不同的除数转化为相同除数的题组训练,为学习通分作铺垫。
60÷3=□÷6105÷3=□÷15
60÷2=□÷6105÷5=□÷15
又如,为学习正比例作准备。
根据“汽车的速度为40千米/时,填表
行驶时间/时
2
7
行驶路程/千米
200
360
40=□÷2=200÷□=□÷7=360÷□
填表。
(每个工人的工作效率不变)
加工零件总数/个
48
192
480
工人数/人
4
7
20
48÷4=□÷7=192÷□=□÷20=480÷□
值得注意的是,当下居于课堂教学主导地位的还不是智慧,仍然是以学习知识为主,评价课堂教学的主要标准仍然是知识的多少,智慧仍然被边缘化。
这样的课堂肯定不是智慧的课堂,肯定不是培养学生创新意识和实践能力的课堂。
小学新思维数学以“提高数学素养,降低学习难度”为价值取向。
“提高数学素养”,不是增加知识点,也不是延长教学时间,而是在知识应用的深度、广度、灵活度有所扩展,促进智慧的生长;“降低学习难度”,就是降低学习新知识第一时间所产生的难度,减少在解题的起始活动状态所遇到的困难。
为此,要通过设计科学的学习序列来解决。
“提高学生的数学素养,降低学生学习的难度”,要把知识学习为主的课堂,转变到智慧教育的轨道,真正为学生的智慧生长而教。
八年多来的数学课程改革中,许多优秀教师的实践已经表明,数学课程改革,必须改革课堂教学。
小学数学课堂教学必须以长智慧为主导思想,让智慧教育占据课堂教学的主导地位。
智慧是人们获取、应用、创造知识,以及创造性地解决问题的能力、方法、谋略和思维方式。
在数学学习中,每人都有智慧的潜质,通过知识的获取,思维的训练,解决问题能力锻炼,人人都能发展智慧。
学数学,长智慧,在数学学习过程中,紧密配合知识点,从学生已有的知识出发,在解决常规计算问题,纯数学结构性问题和实际应用问题的过程中,设计训练序列,促进数学思考,培养创新意识,提供创新机遇,积累创新经验。
在解决问题过程中,促进数学思考,要抓什么?
先分析一个题目的思考和解答过程:
三个一样大的等边三角形,各内含4个一样大的小三角形,将涂色的小三角形重叠:
在小三角形内填入0~9十个数,使四个大三角形内的4个数的和相等。
思考:
(1)哪些小三角形里的数要重复计算?
各要重复计算几次?
(2)重复计算次数最多的可能是哪几个数?
你是怎样确定的?
这些数应该填在哪里?
(3)确定中间小三角形所填的数后,余下的九个数怎样填才能保证四个大三角形内4个数的和相等?
解答:
(1)求0~9十个数的和。
5×9+0=454×9+9=45(0+9)×5=45
(2)45减去中间小三角形所填的数,将余下的9个数分成三组,每组3个数,使和相等。
(3)在三数中每组各选一个数,使所选的3个数的和与三数组相等,把所选的三个数分别填入需重复计算一次的小三角形内。
这样就得12种基本解法。
①(45-0)÷3=15和=15+0=15
9+1+5=8+3+4=7+6+2
9+4+2=155+8+2=155+3+7=15
②(45-3)÷3=14和=14+3=17
9+5+0=7+6+1=8+4+2
9+1+4=145+1+8=145+7+2=14
③(45-6)÷3=13和=13+6=19
9+4+0=1+5+7=8+2+3
9+3+1=134+7+2=134+1+8=13
④(45-9)÷3=12和=12+9=21
8+4+0=1+6+5=3+7+2
4+6+2=128+1+3=124+1+7=12
在解决问题过程中促进数学思考,要抓数学双基、数学方法和数维思维品质。
数学双基是促进数学思考的前提,数学方法是数学思考的依据,良好的思维品质是解决问题过程中思考的关键。
总之,在解决问题过程中促进数学思考,是在扎实的数学基础上谋求学生数学的发展。
训练时力求处理好基础训练与思考性训练的关系,数学方法训练与培养良好思维品质的关系,注意训练序列。
例如,围绕20以内进位加法,在一、二年级可安排一系列训练。
从1~9这九个数中,各选一个填入□里(每个数只能用一次)。
□+□=□+□+□
解答这道思考题,先进行如下口算基础训练
降低了难度,据浙江宁波、长兴两个地区12个班569名学生的调查,5分钟内有95.2%的学生能得到1个以上的解,其中5个解以上的有359人,占63.2%,10个解以上的有116人,占20.4%,有一位学生得到19个解。
数阵是非常有趣的数学问题,它变化多端,引人入胜,对数学教育而言既是思维训练,又是基本运算。
在第一学段,可配合知识点有计划地进行数学方法的训练。
例如,
将“十”字形五宫图扩展,
在11个空格里填0~10的数,使横行、竖列三个数的和都是15.其基础是从十一个数中,找出组成和为15的三数组。
0,5,10;1,4,10;2,3,10;0,6,9;1,5,9;2,4,9;0,7,8;
1,6,8;2,5,8;3,4,8;2,6,7;3,5,7;4,5,6。
数学方法是
数学方法的训练要与培养学生良好的思维品质相结合。
如
把1~6这六个数分别填入三角形的○中,使三角形每边三个数的和相等,你有哪些不同的填法?
把六个数分成两组,每组所对应的两个数差相等。
1
2
3
4
顶点上的数
123
135
246
456
边中间的数
456
246
135
123
和
9
10
11
12
如果扩充到1~9的数,选其中6个填入(每个○内每个数只能用一次),使三角形每条边上三个数的和相等。
思考的范围更广,灵活度更大,在多种答案的探求中培养学生良好的思维品质,在探求答案的过程中,大致有选数法、尝试法、排列法等。
如选数法,从九个数中选六个,分成两组,使每组对应的两个数差相等。
连续6个数有:
共12种基本解法。
非连续6个数的有:
共92种基本解法。
又如尝试法,顶点上的数从最大(或最小)的数开始考虑,两腰中间的两个数从小(或大)的数开始考虑,按两数相差1,相差2…依次尝试填写;底边两端的两个数,按两腰中间两个数的关系作逆思考,若左腰的数比右腰的小1,则左端的比右端的数大1.以边上三个数的和16为例。
不同的六个数组式17式,打“√”的为相同数组的变式。
再如排列法,从每边最小的和数与最大的和数入手。
1+6+2=9
和数最小是1+5+3=9
2+4+3=9
9+4+8=21
和数最大是9+5+7=21
8+6+7=21
依次按每边和数从小到大排列。
如,和数为12.
这种思考方法,可迁移到“七数三圆”问题的填空。
1~9中选7
“七数三圆”三个圆环两两相交,形成七个区域。
如选1-7填入,使每个圆中的四个数相等。
经分析可以得到18种基本解法。
计算次数
计算次数
三
二
一
三
二
一
1
234
567
246
357
567
234
357
240
4
567
123
5
136
247
247
136
6
125
347
347
125
2
145
367
367
145
7
123
456
135
246
456
123
246
135
3
146
257
257
146
4
123
567
除了选1~7,还可以选2~8,3~9各得18个基本解。
也可以是非连续的七个数。
例如,
2,3,4,5,6,8,91,2,3,4,5,6,9
第二,处理好大众数学教育与英才数学教育之间的关系。
数学课程改革倡导的是大众数学教育,同时倡导不同的人学习不同的数学,近几年一些学者发出“英才教育之忧”的呼喊,引发了对数学教育的思考。
在教育大普及的背景下,世界各国正在强化英才教育。
任何一个强国都是重视英才教育的。
因为英才教育是关系国家的前途和民族命运。
数学课程是英才教育的核心课程,法国教育部中法教育合作项目招收中国学生只考数学,说明数学对人才选拔的重要性,从数学问题解决中可反映一个人的智慧水平。
2010年7月号《教育研究》发表了国务院参事、中国人民大学附属中学校长刘彭芝《关于培养拔尖创新人才的几点思考》,现摘录几段,供思考:
在科技迅猛发展的今天,在全球化的进程中,人才的数量、质量、结构和作用的发挥,直接关系到国家的兴衰,因此培养拔尖创新人才日益成为各国的战略重点。
在我国从人才资源大国向人才资源强国迈进的进程中,培养一批拔尖创新人才,加快形成我国人才竞争的比较优势,是我国建设创新型国家、增强国家竞争力的客观要求。
《国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010—2020年)》指出,在人才培养体制改革上要更新人才培养观念、创新人才培养模式、改革教育质量评价和人才评价制度;在创新人才培养模式上,要创新教育教学方法,探索多种培养方式,形成各类人才辈出、拔尖创新人才不断涌现的局面。
对于培养拔尖创新人才,中学的教育工作者不是不知也,而是不为也;不是不能也,而是不敢为也。
我国现行的教育体制,从总体思路到具体设置,再到评价机制,都是面向普通学生的,而不是针对拔尖创新人才的,这也正常,因为任何一种体制,首先应该面向大多数人,对少数人,只能设立“特区”。
问题是,在培养拔尖创新人才方面,我们现在还没有政策允许“特区”。
这样一来,中学要真枪真刀地培养拔尖创新人才,就得突破,就得冒险,就得不怕惹麻烦,就得有大勇气。
我国要由人力资源大国变成人力资源强国,挑战就在培养学生的创新精神和创新能力上,机遇也在培养学生的创新精神和实践能力上。
我们就要站在这样的高度,深化对素质教育的认识,进一步增强推进素质教育的认识,进一步增强推进素质教育的紧迫感和使命感,通过培养出大批拔尖创新人才,开创素质教育的新局面,开创我国教育事业的新局面。
数学在培养拔尖人才所能贡献的力量是众所周知的。
拔尖创新人才的培养,要从娃娃抓起。
在小学要“人人学数学”,确保达到基本要求的前提下,应倡导数学英才教育,研究数学英才教育。
小学数学英才教育不是数学知识逐年级下放,也不是加快教学进度,而是在所学的知识范围内,在知识应用的深度、广度、灵活度上有所扩展,形成以数学能力为核心的训练体系。
通过训练提高思维能力,促进智慧的生长。
如四则运算,不能停留在根据给出的算式,按标准程序操作。
例如连加,除必要的基本练习外,还可以安排一些思考性的习题。
如用3,6,9三个数字组成的所有三位数的和是几?
在头脑中形成
36
36
36
3996
这样的思维模式,进而研究,还有哪三个数字组成的所有三位数的和也是3996,促进函数思考能力的发展。
又如
abc
abc
+abc
KKK
a,b,c,k的值各是多少?
在纯数学结构性问题中,主动构建算式,以求得问题的解决。
如下数表,三连方三个数的和是48,如果要使和变成328,或276,请找出三连方延伸后的位置,并确定三个数各是多少?
在上方三连方有四种基本模式。
A、1+2+8=11B、1+2+9=12
C、1+8+9=18D、2+8+9=19
在数表中各自右移1格,三连方三个数的和增加3;各自下移1格,则三个数的和增加21。
不论右移或下移,所增加的都是3的倍数。
已知三连方三个数的和,要确定延伸后的位置及三个数,首先要确定属于三连方哪个模式。
三连方三个数的和是328,则
(328-11)÷3=105…2(328-12)÷3=105…1
(328-18)÷3=103…1(328-19)÷3=103
属模式D。
(328-19)÷21=14…1515÷3=5
下移14格,右移5格。
三连方三个数的和是276,则
A:
(276-11)÷3=88…1B:
(276-12)÷3=88
C:
(276-18)÷3=86D:
(276-19)÷3=88…2
属模式B或C。
B:
(276-12)÷21=12…1212÷3=4
下移12格,右移4格。
C:
(276-18)÷21=12…66÷3=2
下移12格,左移2格。
C:
(276-18)÷21=12…66÷3=2
浙教版《数学》四年级上册第83页安排了一项“实践活动”。
在方格中找出四连方图形,并用图形
中的4个数算出24。
如5×8-(7+9)
=40-16
=24
这是一道数形结合题,通过学生主动构建算式,开拓思路。
“九宫格”是我国传统的数阵图,又称“三阶幻方”,是一种益智游戏,对训练学生思维,提高学生兴趣有特殊作用。
首先是三阶幻方的制作。
基本题:
把1~9九个数分成三行或三列,每行、每列与三个对角线上的三个数和为15。
三个横行、三个纵列、两条对角线可以
画成如右图共有8条线,线与线相交形成9
个点。
这9个点可以分成三类:
中间的一点
(中心点)是四条线的交点;四个顶点分别是三条线的交点;四条边的中点分别是两条线的交点。
1~9这9个数对应在9个方格中,可以看成把这9个数对应在9个点上。
中心点对应的数要参与4次计算,4个顶点上的数要参与3次运算,四条边中点的数要参与2次运算。
1~9这九个数中,取其中3个不同的数相加的和为15的有八组:
(1,5,9);(2,5,8);(3,5,7);(4,5,6);(1,6,8);(2,6,7);(2,4,9);(3,4,8)。
“5”参与了4次运算,填入中间的方格内;“2”,“4”,“6”,“8”参与了3次运算,分别填入四个角上的方格内;“1”,“3”,“7”,“9”参与了2次运算,分别填入四周中间格上。
扩展题:
等差的一列数,只要把这九个数与1~9这九个数的排列对应即可。
非等差数列,先确定一个中间数,再考虑两侧的和是中间数的2倍,对角线上相邻两个数的差相等。
如,
其次是解决三阶幻方中的数学问题。
如求三阶幻方中x所表示的数,并在其他空格里填数。
(1)
(2)(3)
为此,就要研究九宫格中各宫数之
间的关系。
二宫数、四宫数与八宫数之间的关系。
(二宫数+四宫数)÷2=八宫数
基本图式
一、三、四宫数与中宫数之间的关系。
四宫数>三宫数
一宫数+(四宫数-三宫数)=中宫数。
四宫数<三宫数
一宫数-(三宫数-四宫数)=中宫数
基本图式:
四宫数与三宫数之差,即左上至右下对角线上相邻两个数的差。
(1)(7+3)÷2=5
x=10×2-5
x=15
(2)57-45=12
3(x-12)=x+72
x=18
(3)37-16=21
3(x-21)=x+39
x=51
再次是延伸,如九个方格分别填
1~9,每相邻四格组成正方形,分别
使四个数和为16或24。
16×4-45=19
1+2+3+4+5=15
(19-15)÷2=2
中心格填2;1,3,4,5分别填入各边中间格。
6,7,8,9分别填入4个角上。
24×4-45=51
5+6+7+8+9=35
(51-35)÷2=8
中心格填8;5,6,7,9分别填入各边中间格。
1,2,3,4分别填入4个角上。
配合知识点,设计以能力为核心在解决问题过程中促进数学思考,促进智慧生长的训练系列,是小学数学英才教育的重要举措,为此,我们开发了《学数学长智慧》,为部分学生提供一套数学课外读物。
如果说“奥数”是提供5%的优等生,那么《学数学长智慧》是提供30%学有余力的学生。
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