全等三角形试题汇编教师版.docx
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全等三角形试题汇编教师版
全等三角形试题汇编
参考答案与试题解析
1.(2015秋•东城区期末)如图①,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,AB=AC,AD=AE,然后将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度,连接BD,CE,得到图②,将BD、CE分别延长至M、N,使DM=
BD,EN=
CE,得到图③,请解答下列问题:
(1)在图②中,BD与CE的数量关系是 BD=CE ;
(2)在图③中,猜想AM与AN的数量关系,∠MAN与∠BAC的数量关系,并证明你的猜想.
【解答】解:
(1)BD=CE,故答案为:
BD=CE;
(2)AM=AN,∠MAN=∠BAC,
∵∠DAE=∠BAC,
∴∠CAE=∠BAD,
在△BAD和△CAE中,
,
∴△CAE≌△BAD(SAS),
∴∠ACE=∠ABD,
∵DM=
BD,EN=
CE,
∴BM=CN,
在△ABM和△ACN中,
,
∴△ABM≌△ACN(SAS),
∴AM=AN,
∴∠BAM=∠CAN,即∠MAN=∠BAC.
2.(2015秋•怀柔区期末)已知:
在△ABC中,D为BC边上一点,B,C两点到直线AD的距离相等.
(1)如图1,若△ABC是等腰三角形,AB=AC,则点D的位置在 点D为线段BC的中点 ;
(2)如图2,若△ABC是任意一个锐角三角形,猜想点D的位置是否发生变化,请补全图形并加以证明;
(3)如图3,当△ABC是直角三角形,∠A=90°,并且点D满足
(2)的位置条件,用等式表示线段AB,AC,AD之间的数量关系并加以证明.
【解答】解:
(1)∵点D为BC边的中点,
∴BD=CD,
故答案为:
点D为线段BC的中点;
(2)点D的位置没有发生变化,
证明:
如图1,作BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点F,
∵BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点F,
∴∠3=∠4=90°,
在△BED和△CFD中,
∴△BED≌△CFD.
∴BD=DC.即点D是BC边的中点.
(3)AB,AC,AD之间的数量关系为AC2+AB2=4AD2.
证明:
如图2,延长AD到点H使DH=AD,连接HC.
∵点D是BC边的中点,
∴BD=DC.
在△ABD和△HCD中,
∴△ABD≌△HCD.
∴∠1=∠3,AB=CH.
∵∠A=90°,
∴∠1+∠2=90°.
∴∠2+∠3=90°.
∴∠ACH=90°.
∴AC2+CH2=AH2.
又∵DH=AD,
∴AC2+AB2=(2AD)2.
∴AC2+AB2=4AD2.
3.(2015秋•朝阳区期末)在△DEF中,DE=DF,点B在EF边上,且∠EBD=60°,C是射线BD上的一个动点(不与点B重合,且BC≠BE),在射线BE上截取BA=BC,连接AC.
(1)当点C在线段BD上时,
①若点C与点D重合,请根据题意补全图1,并直接写出线段AE与BF的数量关系为 AE=BF ;
②如图2,若点C不与点D重合,请证明AE=BF+CD;
(2)当点C在线段BD的延长线上时,用等式表示线段AE,BF,CD之间的数量关系(直接写出结果,不需要证明).
【解答】解:
(1)①如图1,∵BA=BC,∠EBD=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴AD=AB=BC,∠DAB=∠ABC=60°,
∴∠EAD=∠FBD=120°,
∵DE=DF,
∴∠E=∠F,
在△AEC与△BCF中,
,
∴△ADE≌△BDF,
∴AE=BF;
故答案为:
AE=BF;
②证明:
在BE上截取BG=BD,连接DG,
∵∠EBD=60°,BG=BD,
∴△GBD是等边三角形.
同理,△ABC也是等边三角形.
∴AG=CD,
∵DE=DF,∴∠E=∠F.
又∵∠DGB=∠DBG=60°,
∴∠DGE=∠DBF=120°,
在△DGE与△DBF中,
,
∴△DGE≌△DBF,
∴GE=BF,
∴AE=BF+CD;
(2)如图3,连接DG,
由
(1)知,GE=BF,AG=CD,
∴AE=EG﹣AG;
∴AE=BF﹣CD,
如图4,连接DG,
由
(1)知,GE=BF,AG=CD,
∴AE=AG﹣EG;
∴AE=CD﹣BF.
4.(2015秋•西城区期末)如图1,在平面直角坐标系xOy中,点A在y轴上,点B是第一象限的点,且AB⊥y轴,且AB=OA,点C是线段OA上任意一点,连接BC,作BD⊥BC,交x轴于点D.
(1)依题意补全图1;
(2)用等式表示线段OA,AC与OD之间的数量关系,并证明;
②连接CD,作∠CBD的平分线,交CD边于点H,连接AH,求∠BAH的度数.
【解答】解:
(1)如图1所示,
(2)①OA+AC=OD,
过B作BE⊥x轴于E,
则四边形AOEB是矩形,
∴BE=AO,∠ABE=90°,
∵AB=AO,
∴AB=BE,
∵BD⊥BC,
∴∠CBD=90°,
∴∠ABC=∠DBE,
在△ABC与△BDE中,
,
∴△ABC≌△BDE,
∴AC=DE,
∵OE=AB=OA,
∴AO+AC=OD;
②如图2,由
(1)知:
△ABC≌△BDE,
∴BC=BD,
∵BD⊥BC,
∴△BCD是等腰直角三角形,
∴∠BCD=45°,
∵BH平分∠CBD,
∴∠BHC=90°,∵∠BAO=90°,
∴A,C,H,B四点共圆,
∴∠BAH=∠BCH=45°.
5.(2015秋•怀柔区期末)已知:
如图,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连结DH与BE相交于点G.
(1)判断AC与图中的那条线段相等,并证明你的结论;
(2)若CE的长为
,求BG的长.
【解答】
(1)证明:
∵CD⊥AB,
∴∠BDC=90°,
∵∠ABC=45°,
∴△BCD是等腰直角三角形.
∴BD=CD,
∵BE⊥AC于E,
∴∠BEC=90°,
∵∠BFD=∠EFC,
∴∠DBF=∠DCA,
在Rt△DFB与Rt△DAC中,
,
∴Rt△DFB≌Rt△DAC,
∴BF=AC;
(2)∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE=22.5°,
∵BE⊥AC于E,
∴∠BEA=∠BEC=90°,
又∵BE=BE,
∴Rt△BEA≌Rt△BEC,
∴CE=AE.
连结CG,
∵△BCD是等腰直角三角形,
∴BD=CD,
又H是BC边的中点,
∴DH⊥BC,
∴DH垂直平分BC,
∴BG=CG,
∵∠EBC=22.5°,
∴∠GCB=22.5°,
∴∠EGC=45°,
∴Rt△CEG是等腰直角三角形,
∵CE的长为
,
∴EG=
,
利用勾股定理得:
CE2+GE2=GC2,
∴
,
∴
,
∴BG的长为
.
6.(2013秋•西城区期末)在△ABC中,AD是△ABC的角平分线.
(1)如图1,过C作CE∥AD交BA延长线于点E,若F为CE的中点,连接AF,求证:
AF⊥AD;
(2)如图2,M为BC的中点,过M作MN∥AD交AC于点N,若AB=4,AC=7,求NC的长.
【解答】(1证明:
∵AD为△ABC的角平分线,
∴∠1=∠2.
∵CE∥AD,
∴∠1=∠E,∠2=∠3.
∴∠E=∠3.
∴AC=AE.
∵F为EC的中点,
∴AF⊥EC,
∵AD∥EC,
∴∠AFE=∠FAD=90°.
∴AF⊥AD.
(2)解:
延长BA与MN延长线于点E,过B作BF∥AC交NM延长线于点F,
∴∠3=∠C,∠F=∠4
∵M为BC的中点
∴BM=CM.
在△BFM和△CNM中,
∴△BFM≌△CNM(AAS),
∴BF=CN,
∵MN∥AD,
∴∠1=∠E,∠2=∠4=∠5.
∴∠E=∠5=∠F.
∴AE=AN,BE=BF.
设CN=x,则BF=x,AE=AN=AC﹣CN=7﹣x,BE=AB+AE=4+7﹣x.
∴4+7﹣x=x.
解得x=5.5.
∴CN=5.5.
7.(2012秋•平谷区期末)阅读材料,解答问题:
在数学课上,李老师和同学们一起探讨角平分线的作法时,李老师用直尺和圆规作角的平分线,作法如下:
①如图1,在OA和OB上分别截取OD、OE,使OD=OE;
②分别以D、E为圆心,以大于
的长为半径作弧,两弧交于点C;
③作射线OC,则OC就是∠AOB的平分线.
小聪只带了直角三角板,他发现利用三角板也可以作角平分线,作法如下:
①如图2,利用三角板上的刻度,在OA和OB上
分别画点M、N,使OM=ON;
②分别过点M、N作OM、ON的垂线,交于点P;
③作射线OP,则OP就是∠AOB的平分线.
小颖的身边只有刻度尺,经过尝试,她发现利用刻度尺也可以作角平分线.
请你按要求完成下列问题:
(1)李老师用尺规作角平分线时,用到的三角形全等的方法是 “SSS” .
(2)小聪的作法正确吗?
请说明理由.
(3)请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法(要求:
画出图形,并简述过程和理由)
【解答】解:
(1)李老师用到的三角形全等的方法是“SSS”;
(2)小聪的作法正确.
理由如下:
在Rt△OMP和Rt△ONP中,
,
∴Rt△OMP≌Rt△ONP(HL),
∴∠MOP=∠NOP,
∴OP是∠AOB的平分线;
(3)①如图2,利用刻度尺上的刻度,在OA和OB上分别画点M、N,使OM=ON;
②用两个刻度尺作出MP=NP,交于点P;
③作射线OP,则OP就是∠AOB的平分线.
理由如下:
在△MOP和△NOP中,
,
∴△MOP≌△NOP(SSS),
∴∠MOP=∠NOP,
∴OP是∠AOB的平分线.
8.(2010春•宣武区校级期末)
(1)已知:
如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线AF交BC于F,BD⊥AF于D,CE⊥AF于E.求证:
DE=BD﹣EC.
(2)对于
(1)中的条件改为:
直线AF在△ABC外,与BC的延长线相交于F,其他条件不变,上述结论仍成立吗?
(请画出图形)若不成立,请写出正确的关系式.(不用证明)
【解答】解:
(1)∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°,
又∠ADB=90°,
∴∠ABD+∠BAD=90°,
∴∠ABD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中
,
∴△ABD≌△ACE(AAS),
∴BD=AE,AD=CE,
∴DE=AE﹣AD=BD﹣EC;
(2)DE=BD+EC;
9.(2009秋•海淀区期末)已知:
如图,△ABC和△DEF都是等腰直角三角板,∠BAC=90°,∠EDF=90°.
(1)请你利用这两块三角板画出BC的中点(用示意图表示);
(2)当我们把△DEF的顶点E与A点重合时,使ED、EF与BC相交,设交点为P、G(点P在点G的左侧),你能否证明BP+CG与PG的关系,请你完成自己的证明.
【解答】解:
(1)只要能利用其中一块三角板画出BC的中点,则给(1分).
(2)当点E与点A重合,DE与EF和BC相交于P、G时,BP+CG>PG.
证明如下:
以点A为顶点在∠PAG的内部做∠MAP=∠BAP,在AM上截取AM=AB,连接PM与MG.(2分)
∴△BAP≌△MAP.(3分)
∵∠BAP+∠CAG=45°∠MAP=∠BAP,
∴∠MAG=∠CAG
又MA=CA,AG=AG
∴△CAG≌△MAG(4分)
因此PM+MG>PG.(5分)
则BP+CG>PG.(6分)
10.(2010春•北京校级期末)已知,如图,三角形ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,F是AB的中点,直线l经过点C,分别过点A、B作l的垂线,即AD⊥CE,BE⊥CE,
(1)如图1,当CE位于点F的右侧时,求证:
△ADC≌△CEB;
(2)如图2,当CE位于点F的左侧时,求证:
ED=BE﹣AD;
(3)如图3,当CE在△ABC的外部时,试猜想ED、AD、BE之间的数量关系,并证明你的猜想.
【解答】
(1)证明:
∵AD⊥CE,BE⊥CE,
∴∠ADC=∠CEB=90°.
∵∠ACD+∠ECB=90°,∠CAD+∠ACD=90°,
∴∠CAD=∠BCE(同角的余角相等).
在△ADC与△CEB中
,
∴△ADC≌△CEB(AAS).
(2)证明:
∵AD⊥CE,BE⊥CE,
∴∠ADC=∠CEB=90°.
∵∠ACD+∠ECB=90°,∠CAD+∠ACD=90°,
∴∠CAD=∠BCE(同角的余角相等).
在△ADC与△CEB中
,
∴△ADC≌△CEB(AAS).
∴DC=BE,AD=CE.
又∵ED=CD﹣CE,
∴ED=BE﹣AD.
(3)ED=AD+BE.
证明:
∵AD⊥CE,BE⊥CE,
∴∠ADC=∠CEB=90°.
∵∠ACD+∠ECB=90°,∠CAD+∠ACD=90°,
∴∠CAD=∠BCE(同角的余角相等).
在△ADC与△CEB中
,
∴△ADC≌△CEB(AAS).
∴DC=BE,AD=CE.
又∵ED=CE+DC,
∴ED=AD+BE.
11.(2009秋•西城区期末)如图,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,D、E分别为AB、AC边上的点,AD=AE,AF⊥BE交BC于点F,过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G,交AC于点M.
(1)求证:
△EGM为等腰三角形;
(2)判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论.
【解答】
(1)证明:
∵等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,
∴AC=AB,∠ACB=∠ABC=45°,
又∵AD=AE,∠CAD=∠BAE,
∴△ACD≌△ABE(SAS),
∴∠1=∠3,
∵∠BAC=90°,
∴∠3+∠2=90°,∠1+∠4=90°,
∴∠4+∠3=90°
∵FG⊥CD,
∴∠CMF+∠4=90°,
∴∠3=∠CMF,
∴∠GEM=∠GME,
∴EG=MG,△EGM为等腰三角形.
(2)答:
线段BG、AF与FG的数量关系为BG=AF+FG.
证明:
过点B作AB的垂线,交GF的延长线于点N.(见右图)
∵BN⊥AB,∠ABC=45°,
∴∠FBN=45°=∠FBA.
∵FG⊥CD,
∴∠BFN=∠CFM=90°﹣∠DCB,
∵AF⊥BE,
∴∠BFA=90°﹣∠EBC,∠5+∠2=90°,
由
(1)可得∠DCB=∠EBC,
∴∠BFN=∠BFA,
又∵BF=BF,
∴△BFN≌△BFA(ASA),
∴NF=AF,∠N=∠5,
又∵∠GBN+∠2=90°,
∴∠GBN=∠5=∠N,
∴BG=NG,
又∵NG=NF+FG,
∴BG=AF+FG.
12.(2014春•海淀区期末)已知:
如图,在△ABC中,如果∠A是锐角,点D,E分别在AB,AC上,且∠DCB=∠EBC=
∠A.
求证:
BD=CE.
【解答】证法一:
如图1,作CG⊥BE于G点,作BF⊥CD交CD延长线于F点.
∵CG⊥BE,BF⊥CD,
∴∠F=∠CGB=90°,
在△BCF和△CBG中,
,
∴△BCF≌△CBG(AAS),
∴BF=CG,
∵∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB,
∠BEC=∠ABE+∠A,
∴∠BDF=∠BEC,
∵在△BDF和△CEG中,
,
∴△BDF≌△CEG(AAS),
∴BD=CE.
证法二:
如图2,以C为顶点作∠FCB=∠DBC,CF交BE于F点.
∵在△BDC和△CFB中,
∴△BDC≌△CFB(SAS),
∴BD=CF,∠BDC=∠CFB,
∴∠ADC=∠CFE,
∵∠ADC=∠DCB+∠EBC+∠ABE,
∠FEC=∠A+∠ABE,
∴∠ADC=∠FEC,
∴∠FEC=∠CFE,
∴CF=CE,
∴BD=CE.
13.(2014秋•朝阳区期末)在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,作∠ACM,使得∠ACM=
∠ABC,点D是直线BC上的动点,过点D作直线CM的垂线,垂足为E,交直线AC于F.
(1)当点D与点B重合时,如图1所示,DF与EC的数量关系是 DF=2EC ;
(2)当点D在直线BC上运动时,DF和EC是否始终保持上述数量关系呢?
请你画出点D运动到CB延长线上某一点时的图形,并证明此时DF与EC的数量关系.
【解答】解:
延长BA,CM交点N,如图
(1)所示:
∵∠A=90°,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∵∠ACM=
∠ABC=22.5°,
∴∠BCM=67.5°,
∴∠BNC=67.5=∠BCM,
∴BC=BN,
∵BE⊥CE,
∴∠ABE=22.5°,CN=2CE,
∴∠ABE=∠ACM=22.5°,
在△BAF和△CAN中,
,
∴△BAF≌△CAN(ASA),
∴BF=CN,
∴BF=2CE;
(2)保持上述关系;证明如下:
作∠PDE=22.5,交CE的延长线于P点,交CA的延长线于N,
如图
(2)所示:
∵DE⊥PC,∠ECD=67.5,
∴∠EDC=22.5°,
∴∠PDE=∠EDC,∠NDC=45°,
∴∠DPC=67.5°,
∴PD=CD,
∴PE=EC,
∴PC=2CE,
∵∠NDC=45°,∠NCD=45°,
∴∠NCD=∠NDC,∠DNC=90°,
∴ND=NC且∠DNC=∠PNC,
在△DNF和△PNC中,
,
∴△DNF≌△PNC(ASA),
∴DF=PC,
∴DF=2CE.
14.(2014秋•西城区期末)已知:
在△ABC中,∠ABC=60°,CD平分∠ACB交AB于点D,点E在线段CD上(点E不与点C、D重合),且∠EAC=2∠EBC.
(1)如图1,若∠EBC=27°,且EB=EC,则∠DEB= 54 °,∠AEC= 99 °.
(2)如图2,
①求证:
AE+AC=BC;
②若∠ECB=30°,且AC=BE,求∠EBC的度数.
【解答】解:
(1)∵EB=EC,
∴∠EBC=∠ECB=27°,
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠ECB=27°,
∵∠EAC=2∠EBC=54°,
∴∠AEC=180°﹣27°﹣54°=99°,
故答案为:
27°,99°;
(2)①证明:
如图1,在BC上取一点M,使BM=ME,
∴∠MBE=∠MEB,
∵∠EAC=2∠MBE,∠EMC=∠MBE+∠MEB=2∠MBE,
∴∠EAC=∠EMC,
在△ACE与△MCE中,
,
∴△ACE≌△MCE,
∴AE=ME,CM=AC,
∴AE=BM,
∴BC=BM+CM=AE+AC;
②如图2在BC上取一点M,使BM=ME,连接AM,
∵∠ECB=30°,
∴∠ACB=60°,由①可知;△AMC是等边三角形(M点与B点重合),
∴AM=AC=BE,
在△EMB与△MEA中,
,
∴∠EBC=∠MAE,
∵∠MAC=60°,
∵∠EAC=2∠EBC=2∠MAE,
∴∠MAE=20°,∠EAC=40°,
∴∠EBC=20°.
15.(2013秋•大兴区期末)如图,在直角△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EF⊥BE交AB于点F,若AC=BC,CE=EA.试探究线段EF与EG的数量关系,并加以证明.
【解答】答:
EF与EG的数量关系是相等.
证明:
∵△ABC为等腰直角三角形,CD⊥AB于D,
∴∠A=∠ABC,点D为AB边的中点.
又∵CE=EA,
∴点E为AC边中点.
连结ED,
∴ED∥BC.
∴∠ADE=∠ABC=∠A.
∴∠EDG=∠A.
∴ED=EA.
又∵∠DBG+∠BGD=∠FBE+∠BFE=90°,
∴∠BGD=∠BFE.
∴∠AFE=∠DGE.
在△AFE和△DGE中,
,
∴△AFE≌△DGE.
∴EF=EG.
16.(2014春•海淀区校级期末)在平面直角坐标系中,点A在y轴正半轴上,点B与点C都在x轴上,且点B在点C的左侧,满足BC=OA,若﹣3am﹣1b2与anb2n﹣2是同类项且OA=m,OB=n.
(1)m= 3 ;n= 2 .
(2)点C的坐标是 (5,0)或(1,0) .
(3)若坐标平面内存在一点D,满足△BCD全等△ABO,试求点D的坐标.
【解答】解:
(1)∵﹣3am﹣1b2与anb2n﹣2是同类项,
∴
,
解得
.
(2)∵OA=m,OB=n,
∴B(2,0)或(﹣2,0),
∵点B在点C的左侧,BC=OA,
∴C(5,0)或(1,0);
(3)当C(5,0)时,∵△BCD全等△ABO,BC=OA=3,
∴CD=2或BD=2,
∴D的坐标为(5,2)或(5,﹣2)或(2,2)或(2,﹣2);
当C(1,0)时,∵△BCD全等△ABO,BC=OA=3,
∴CD=2或BD=2,
∴D的坐标为(1,2)或(1,﹣2)或(﹣2,2)或(﹣2,﹣2).
所以D点的坐标为(5,2)或(5,﹣2)或(2,2)或(2,﹣2),(1,2)或(1,﹣2)或(﹣2,2)或(﹣2,﹣2).
17.(2013秋•西城区期末)已知:
如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°.
(1)按要求作图:
(保留作图痕迹)
①延长BC到点D,使CD=BC;
②延长CA到点E,使AE=2CA;
③连接AD,BE并猜想线段AD与BE的大小关系;
(2)证明
(1)中你对线段AD与BE大小关系的猜想.
【解答】解:
(1)由题意,得作图如下:
(2)延长AC到点F,使CF=AF,连接BF,
在△ACD和△FCB中
,
∴△ACD≌△FCB(SAS)
∴AD=FB.
∵CF=AC,
∴AF=2AC.
∵AE=2CA,
∴AF=AE,
∵∠BAC=90°,
∴AB⊥EF,
∴AB是EF的垂直平分线,
∴BE=BF,
∴AD=BE.
18.(2015秋•丰台区期末)已知△ABC中,M为BC的中点,直线m绕点A旋转,过B,M,C分别作BD⊥m于点D,ME⊥m于点E,CF⊥m于点F.当直线m经过点B时,如图1,可以得到
.
(1)当直线m不经过B点,旋转到如图2,图3的位置时,线段BD,ME,CF之间有怎样的数量关系,请直接写出你的猜想.
图2,猜想:
;
图3,猜想:
.
(2)选择第
(1)问中任意一种猜想加以证明.
【解答】解:
(1)图2的猜想为:
,
图3的猜想为;
,
故答案为:
,
;
(2)图2的猜想证明如下,
连接DM并延长交FC的延长线于点K,
∵BD⊥m,CF⊥m,
∴BD∥CF,
∴∠DBM=∠KCM,
又∵M为BC的中点,
∴BM=CM,
在△DBM和△KCM中,
,
∴△DBM≌△KCM(ASA),
∴DB=CK,DM=MK,
由
(1)知:
,
∴
.
图3的猜想证明如下,
连接DM并延长交FC于点K,
∵BD⊥m,CF⊥m,
∴BD∥CF,
∴∠MBD=∠KCM,
又∵M为BC的中点,
∴BM=CM,
在△DBM和△KCM中,
,
∴△DBM≌△KCM(ASA)
∴DB=CK,DM=MK,
由
(1)知
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