数学实验matlab裴波那契数列调和级数的.docx
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数学实验matlab裴波那契数列调和级数的
数学实验--matlab-裴波那契数列-调和级数的变化规律
作业一
实验内容:
讨论调和级数 的变化规律。
(1)画出部分和数列变化的折线图,观察变化规律;
(2)引入数列:
,作图观察其变化,猜测是否有极限;
(3)引入数列:
,作图观察其变化,寻找恰当的函数拟合;
(4)调和级数的部分和数列的变化规律是什么?
实验过程:
(1)定义函数显示调和函数sn的前N项
代码如下:
functionplotsum(n) %定义函数显示调和函数的前N项
sn=1; %数组的第一项
fori=2:
n%数组的第2项到第N项
sn=[sn,sn(i-1)+1/i]; %将数组的第i项添加到数组中
end %循环结束
plot(sn)
不同的n值对就不同的图像如下:
1、当n=10时,图像如下:
2、当n=30时,图像如下:
3、当n=100时,图像如下:
(2)定义函数显示数列hn的前N项
代码如下:
functionplothn(n)
sn1=1;
fori=2:
n
sn1=[sn1,sn1(i-1)+1/i];
end
sn2=1;
fori=2:
2*n
sn2=[sn2,sn2(i-1)+1/i];
end
hn=1/2;
fori=1:
n
hn=[hn,sn2(2*i)-sn1(i)];
end
plot(hn)
不同的n对应不同的图像:
当n=10时,图像如下:
当n=50时,图像如下:
当n=200时,图像如下:
(3)定义函数显示调和函数sn的前N项
代码如下:
functionplotgn(n)
fn=[1];
fori=2:
2^n
fn=[fn,fn(i-1)+1/i];
end
gn=fn
(2);
fori=2:
n
gn=[gn,fn(2^i)];
end
plot(gn)
不同的n对应不同的图像
当n=3时,图像如下:
当n=7时图像如下:
拟合gn,代码如下:
functionplotnih(n)
sn=[1];
fori=2:
2^n
sn=[sn,sn(i-1)+1/i];
end
gn=sn
(2);
fori=2:
n
gn=[gn,sn(2^i)];
end
xn=1:
n;
polyfit(xn,gn,1)
当n=10时,如下:
观察拟合程度,代码如下:
functionplotnihee(n)
fn1=[];
fori=1:
n
fn1=[fn1,0.6831*i+0.6893];
end
Sn=[1];
fori=2:
2^n
Sn=[Sn,Sn(i-1)+1/i];
end
Gn=Sn
(2);
fori=2:
n
Gn=[Gn,Sn(2^i)];
end
x=1:
n;
plot(x,fn1,x,Gn,'r*')
当n=10时,图像如下:
总结分析:
1、调和级数的部分和数列{Sn}为增序列,并且{Sn}的增长速率逐渐变慢,但不收敛;
证明如下:
证:
根据不等式 x〉ln(1+x),(x〉0),得
Sn=1+1/2+1/3+、、、+1/n
〉ln(1+1)+ln(1+1/2)+、、、+ln(1+1/n)
=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+、、、+ln[(n+1)/n]
=ln(2*(3/2)*(4/3)*、、、*(n+1)/n)
=ln(n+1)
而ln(n+1)在n趋向正无穷时也趋于正无穷,
故不收敛。
2、任意连续n个调和级数的部分和{Hn}存在极限值0.7;
3、gn也是增序列,而且增的趋势比sn快得多,也不收敛。
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