八年级下数学压轴题和答案解析docx.docx
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八年级下数学压轴题和答案解析docx
八年级下数学压轴题
1.已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、
DC(或它们的延长线)于点M、N,AH⊥MN于点H.
(1)如图①,当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数量关
系:
;
(2)如图②,当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,
(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗如果不成立请写出理由,如果成立请证明;
(3)如图③,已知∠MAN=45°,AH⊥MN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长.(可利用
(2)得到的结论)
2.如图,△ABC是等边三角形,点D是边BC上的一点,以AD为边作等边△ADE,过点
C作CF∥DE交AB于点F.
(1)若点D是BC边的中点(如图①),求证:
EF=CD;
(2)在
(1)的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比;
(3)若点D是BC边上的任意一点(除B、C外如图②),那么
(1)中的结论是否仍然成立若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
3.
(1)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.
求证:
CE=CF;
(2)如图2,在正方形ABCD中,E是AB上一点,G是AD上一点,如果∠GCE=45°,请你利用
(1)的结论证明:
GE=BE+GD.
(3)运用
(1)
(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图3,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC,E是AB上
一点,且∠DCE=45°,BE=4,DE=10,求直角梯形ABCD的面积.
4.如图,正方形ABCD中,E为AB边上一点,过点D作DF⊥DE,与BC延长线交于点F.连
接EF,与CD边交于点G,与对角线BD交于点H.
(1)若BF=BD=,求BE的长;
(2)若∠ADE=2∠BFE,求证:
FH=HE+HD.
5.如图,将一三角板放在边长为1AC上滑动,直角的一边始终经过点
的正方形ABCD上,并使它的直角顶点
B,另一边与射线DC相交于Q.
P在对角线
探究:
设A、P两点间的距离为x.
(1)当点Q在边CD上时,线段PQ与PB之间有怎样的数量关系试证明你的猜想;
(2)当点Q在边CD上时,设四边形PBCQ的面积为y,求y与x之间的函数关系,并写出函数自变量x的取值范围;
(3)当点P在线段AC上滑动时,△PCQ是否可能成为等腰三角形如果可能,指出所
有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置.并求出相应的x值,如果不可能,
试说明理由.
6.Rt△ABC与Rt△FED是两块全等的含30°、60°角的三角板,按如图
(一)所示拼
在一起,CB与DE重合.
(1)求证:
四边形ABFC为平行四边形;
(2)取BC中点O,将△ABC绕点O顺时钟方向旋转到如图
(二)中△A′B′C′位置,
直线B'C'与AB、CF分别相交于P、Q两点,猜想OQ、OP长度的大小关系,并
证明你的猜想;
(3)在
(2)的条件下,指出当旋转角至少为多少度时,四边形PCQB为菱形(不要
求证明)
7.如图,在正方形ABCD中,点F在CD边上,射线AF交BD于点E,交BC的延长线
于点G.
(1)求证:
△ADE≌△CDE;
(2)过点C作CH⊥CE,交FG于点H,求证:
FH=GH;
(3)设AD=1,DF=x,试问是否存在x的值,使△ECG为等腰三角形若存在,请求
出x的值;若不存在,请说明理由.
8.在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.
(1)在图1中证明CE=CF;
(2)若∠ABC=90°,G是EF的中点(如图2),直接写出∠BDG的度数;
(3)若∠ABC=120°,FG∥CE,FG=CE,分别连接DB、DG(如图3),求∠BDG的度数.
9.如图,已知?
ABCD中,DE⊥BC于点E,DH⊥AB于点H,AF平分∠BAD,分别交DC、
DE、DH于点F、G、M,且DE=AD.
(1)求证:
△ADG≌△FDM.
(2)猜想AB与DG+CE之间有何数量关系,并证明你的猜想.
10.如图,在正方形ABCD中,E、F分别为BC、AB上两点,且BE=BF,过点B作AE的
垂线交AC于点G,过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M.
(1)求证:
∠BFC=∠BEA;
(2)求证:
AM=BG+GM.
11.如图所示,把矩形纸片OABC放入直角坐标系xOy中,使OA、OC分别落在x、y轴
的正半轴上,连接AC,且AC=4,
(1)求AC所在直线的解析式;
(2)将纸片OABC折叠,使点A与点C重合(折痕为EF),求折叠后纸片重叠部分的面积.
(3)求EF所在的直线的函数解析式.
12.已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B点(如图),AE平分∠BAO,交x
轴于点E.
(1)求点B的坐标;
(2)求直线AE的表达式;
(3)过点B作BF⊥AE,垂足为F,连接OF,试判断△OFB的形状,并求△OFB的面积.
(4)若将已知条件“AE平
分∠BAO,交x轴于点
E”改变为“点E是线
段OB上的一个动点
(点E不与点O、B重合)”,过点B作BF⊥AE,垂足为F.设OE=x,BF=y,试求
y与x之间的函数关系式,并写出函数的定义域.
13.如图,直线l1的解析表达式为:
y=﹣3x+3,且l1与x轴交于点D,直线l2经过点A,
B,直线l1,l2交于点C.
(1)求点D的坐标;
(2)求直线l2的解析表达式;
(3)求△ADC的面积;
(4)在直线l2上存在异于点C的另一点P,使得△ADP与△ADC的面积相等,请直接写出点P的坐标.
14.如图1,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,长方形OACB的顶点A、B分别在x
轴与
y轴上,已知
OA=6,OB=10.点
D为
y轴上一点,其坐标为(
0,2),点
P从
点A出发以每秒
2个单位的速度沿线段
AC﹣CB的方向运动,当点
P与点
B重合时
停止运动,运动时间为
t秒.
(1)当点P经过点C时,求直线DP的函数解析式;
(2)①求△OPD的面积S关于t的函数解析式;
②如图②,把长方形沿着OP折叠,点B的对应点B′恰好落在AC边上,求点P
的坐标.
(3)点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形若存在,请求出点P的坐标;
若不存在,请说明理由.
15.如图,在平面直角坐标系中,已知O为原点,四边形ABCD为平行四边形,A、B、C
的坐标分别是A(﹣5,1),B(﹣2,4),C(5,4),点D在第一象限.
(1)写出D点的坐标;
(2)求经过B、D两点的直线的解析式,并求线段BD的长;
(3)将平行四边形ABCD先向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度所得
的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少并求出平行四边形ABCD与四边
A1B1C1D1重叠部分的面积.
16.如图,一次函数的图象与x轴、y轴交于点A、B,以线段AB为边在第
一象限内作等边△ABC,
(1)求△ABC的面积;
(2)如果在第二象限内有一点P(a,);试用含有a的代数式表示四边形ABPO的
面积,并求出当△ABP的面积与△ABC的面积相等时a的值;
(3)在x轴上,是否存在点M,使△MAB为等腰三角形若存在,请直接写出点M的坐
标;若不存在,请说明理由.
2018年06月17日梧桐听雨的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一.解答题(共16小题)
1.已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、
DC(或它们的延长线)于点M、N,AH⊥MN于点H.
(1)如图①,当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数量关系:
AH=AB;
(2)如图②,当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,
(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗如果不成立请写出理由,如果成立请证明;
(3)如图③,已知∠MAN=45°,AH⊥MN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长.(可利用
(2)得到的结论)
【解答】解:
(1)如图①AH=AB.
(2)数量关系成立.如图②,延长CB至E,使BE=DN.
∵ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠D=∠ABE=90°,
在Rt△AEB和Rt△AND中,,
∴Rt△AEB≌Rt△AND,
∴AE=AN,∠EAB=∠NAD,
∵∠DAN+∠BAN=45°,∴∠EAB+∠BAN=45°,∴∠EAN=45°,
∴∠EAM=∠NAM=45°,
在△AEM和△ANM中,,
∴△AEM≌△ANM.
∴S△AEM=S△ANM,EM=MN,
∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高,∴AB=AH.
(3)如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH,得到△ABM和△AND,
∴BM=2,DN=3,∠B=∠D=∠BAD=90°.
分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCD,
由
(2)可知,AH=AB=BC=CD=AD.
设AH=x,则MC=x﹣2,NC=x﹣3,
在Rt△MCN中,由勾股定理,得
2
2
2
MN=MC+NC
∴52=(x﹣2)2+(x﹣3)2(6分)
解得x1=6,x2=﹣1.(不符合题意,舍去)
∴AH=6.
2.如图,△ABC是等边三角形,点D是边BC上的一点,以AD为边作等边△ADE,过点
C作CF∥DE交AB于点F.
(1)若点D是BC边的中点(如图①),求证:
EF=CD;
(2)在
(1)的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比;
(3)若点D是BC边上的任意一点(除B、C外如图②),那么
(1)中的结论是否仍然成立若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
【解答】
(1)证明:
∵△ABC是等边三角形,D是BC的中点,∴AD⊥BC,且∠BAD=∠BAC=30°,
∵△AED是等边三角形,
∴AD=AE,∠ADE=60°,
∴∠EDB=90°﹣∠ADE=90°﹣60°=30°,
∵ED∥CF,
∴∠FCB=∠EDB=30°,
∵∠ACB=60°,
∴∠ACF=∠ACB﹣∠FCB=30°,
∴∠ACF=∠BAD=30°,
在△ABD和△CAF中,
,
∴△ABD≌△CAF(ASA),
∴AD=CF,
∵AD=ED,
∴ED=CF,
又∵ED∥CF,
∴四边形EDCF是平行四边形,
∴EF=CD.
(2)解:
△AEF和△ABC的面积比为:
1:
4;
(易知AF=BF,延长EF交AD于H,△AEF的面积
=?
EF?
AH=?
CB?
AD=?
?
BC?
AD,由此即可证明)
(3)解:
成立.
理由如下:
∵ED∥FC,
∴∠EDB=∠FCB,
∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF,∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB
∴∠AFC=∠BDA,
在△ABD和△CAF中,
∴△ABD≌△CAF(AAS),
∴AD=FC,
∵AD=ED,
∴ED=CF,
又∵ED∥CF,
∴四边形EDCF是平行四边形,
∴EF=DC.
3.
(1)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.求
证:
CE=CF;
(2)如图2,在正方形ABCD中,E是AB上一点,G是AD上一点,如果∠GCE=45°,
请你利用
(1)的结论证明:
GE=BE+GD.
(3)运用
(1)
(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图3,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC,E是AB上一点,
且∠DCE=45°,BE=4,DE=10,求直角梯形ABCD的面积.
【解答】
(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD,∠B=∠CDF=90°,∵∠ADC=90°,
∴∠FDC=90°.∴∠B=∠FDC,
∵BE=DF,
∴△CBE≌△CDF(SAS).
∴CE=CF.
(2)证明:
如图2,延长AD至F,使DF=BE,连接CF.
由
(1)知△CBE≌△CDF,
∴∠BCE=∠DCF.
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,
即∠ECF=∠BCD=90°,又∠GCE=45°,
∴∠GCF=∠GCE=45°.
∵CE=CF,GC=GC,∴△ECG≌△FCG.
∴GE=GF,
∴GE=GF=DF+GD=BE+GD.
(3)解:
如图3,过C作CG⊥AD,交AD延长线于G.
在直角梯形ABCD中,
∵AD∥BC,
∴∠A=∠B=90°,
又∵∠CGA=90°,AB=BC,
∴四形ABCG正方形.
∴AG=BC.⋯(7分)∵∠DCE=45°,
根据
(1)
(2)可知,ED=BE+DG.⋯(8分)
∴10=4+DG,
即DG=6.
AB=x,AE=x4,AD=x6,
在Rt△AED中,
2
2
2
2
2
2
.
∵DE=AD+AE,即10=(x6)+(x4)
解个方程,得:
x=12或x=2(舍去).⋯(9分)
∴AB=12.
∴S梯形ABCD=
(AD+BC)?
AB=×(6+12)×12=108.
即梯形ABCD的面
108.⋯(10分)
4.如,正方形ABCD中,EAB上一点,点D作DF⊥DE,与BC延交于点F.
接EF,与CD交于点G,与角BD交于点H.
(1)若BF=BD=,求BE的;
(2)若∠ADE=2∠BFE,求:
FH=HE+HD.
【解答】
(1)解:
∵四边形ABCD正方形,
∴∠BCD=90°,BC=CD,
222
∴Rt△BCD中,BC+CD=BD,
222
即BC=()﹣(BC),
∴BC=AB=1,
∵DF⊥DE,
∴∠ADE+∠EDC=90°=∠EDC+∠CDF,
∴∠ADE=∠CDF,
在△ADE和△CDF中,
∵,
∴△ADE≌△CDF(ASA),
∴AE=CF=BF﹣BC=﹣1,
∴BE=AB﹣AE=1﹣(﹣1)=2﹣;
(2)证明:
在FE上截取一段FI,使得FI=EH,
∵△ADE≌△CDF,
∴DE=DF,
∴△DEF为等腰直角三角形,∴∠DEF=∠DFE=45°=∠DBC,
∵∠DHE=∠BHF,
∴∠EDH=∠BFH(三角形的内角和定理),
在△DEH和△DFI中,
∵,
∴△DEH≌△DFI(SAS),
∴DH=DI,
又∵∠HDE=∠BFE,∠ADE=2∠BFE,
∴∠HDE=∠BFE=∠ADE,
∵∠HDE+∠ADE=45°,
∴∠HDE=15°,
∴∠DHI=∠DEH+∠HDE=60°,
即△DHI为等边三角形,
∴DH=HI,
∴FH=FI+HI=HE+HD.
5.如图,将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线
AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于Q.
探究:
设A、P两点间的距离为x.
(1)当点Q在边CD上时,线段PQ与PB之间有怎样的数量关系试证明你的猜想;
(2)当点Q在边CD上时,设四边形PBCQ的面积为y,求y与x之间的函数关系,并写出函数自变量x的取值范围;
(3)当点P在线段AC上滑动时,△PCQ是否可能成为等腰三角形如果可能,指出所有
能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置.并求出相应的x值,如果不可能,试说明理由.
【解答】解:
(1)PQ=PB,(1分)
过P点作MN∥BC分别交AB、DC于点M、N,
在正方形ABCD中,AC为对角线,∴AM=PM,
又∵AB=MN,
∴MB=PN,
∵∠BPQ=90°,
∴∠BPM+∠NPQ=90°;又∵∠MBP+∠BPM=90°,∴∠MBP=∠NPQ,
在Rt△MBP≌Rt△NPQ中,
∵
∴Rt△MBP≌Rt△NPQ,(2分)
∴PB=PQ.
(2)∵S四边形PBCQ=S△PBC+S△PCQ,
∵AP=x,
∴AM=x,
∴CQ=CD﹣2NQ=1﹣x,
又∵S△PBC=BC?
BM=?
1?
(1﹣x)=﹣x,
S△PCQ=CQ?
PN=(1﹣x)?
(1﹣x),
=﹣+,
∴S四边形PBCQ=﹣x+1.(0≤x≤).(4分)
(3)△PCQ可能成为等腰三角形.
①当点P与点A重合时,点Q与点D重合,
PQ=QC,此时,x=0.(5分)
②当点Q在DC的延长线上,且CP=CQ时,(6分)
有:
QN=AM=PM=x,CP=﹣x,CN=CP=1﹣x,CQ=QN﹣CN=x﹣(1﹣x)
=x﹣1,
∴当﹣x=x﹣1时,x=1.(7分).
6.Rt△ABC与Rt△FED是两块全等的含30°、60°角的三角板,按如图
(一)所示拼
在一起,CB与DE重合.
(1)求证:
四边形ABFC为平行四边形;
(2)取BC中点O,将△ABC绕点O顺时钟方向旋转到如图
(二)中△A′B′C′位置,直线B'C'与AB、CF分别相交于P、Q两点,猜想OQ、OP长度的大小关系,并证明你的猜想;
(3)在
(2)的条件下,指出当旋转角至少为多少度时,四边形PCQB为菱形(不要求
证明)
【解答】
(1)证明:
∵△ABC≌△FCB,
∴AB=CF,AC=BF.
∴四边形ABFC为平行四边形.
(2)解:
OP=OQ,
理由如下:
∵OC=OB,∠COQ=∠BOP,∠OCQ=∠PBO,
∴△COQ≌△BOP.
∴OQ=OP.
(3)解:
90°.
理由:
∵OP=OQ,OC=OB,
∴四边形PCQB为平行四边形,∵BC⊥PQ,
∴四边形PCQB为菱形.
7.如图,在正方形ABCD中,点F在CD边上,射线AF交BD于点E,交BC的延长线于
点G.
(1)求证:
△ADE≌△CDE;
(2)过点C作CH⊥CE,交FG于点H,求证:
FH=GH;
(3)设AD=1,DF=x,试问是否存在
x的值,使△ECG为等腰三角形若存在,请求出
x
的值;若不存在,请说明理由.
【解答】
(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴DA=DC,∠1=∠2=45°,DE=DE,
∴△ADE≌△CDE.
(2)证明:
∵△ADE≌△CDE,
∴∠3=∠4,
∵CH⊥CE,
∴∠4+∠5=90°,
又∵∠6+∠5=90°,
∴∠4=∠6=∠3,
∵AD∥BG,
∴∠G=∠3,
∴∠G=∠6,
∴CH=GH,
又∵
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