教学设计课题.docx
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教学设计课题
平面的基本性质
白银市会宁县第二中学姚广
教材分析
这篇案例是在初中平面几何知识的基础上进一步研究平面的基本性
质.平面的基本性质是研究立体几何的基本理论基础,这节课既是立体几何的开头课,又是基础课,学生对本节内容理解和掌握得如何,是能否学好立体几何的关键之一.这节课的教学重点是平面的基本性质,难点是平面的基本性质的应用及建立空间概念、正确应用符号语言.
教学目标
1.在引导学生观察思考生活中的实例、实物模型等的基础上,总结和归纳出平面的基本性质,初步学会用数学的眼光去认识和感受现实的三维空间.
2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述三个公理,能用公理及推论解决有关问题,提高学生的逻辑推理能力.
3.通过画图和识图,逐步培养学生的空间想象能力,使学生在已有的平面图形知识的基础上,建立空间观念.
教学任务
这节课是立体几何学习的基础,但学生空间立体感还不强.为此,教学时要充分联系生活中的实例,如自行车有一个脚撑等,通过实例,使学生尽快形成对空间的正确认识,建立初步的空间观念;在联系实际提出问题和引入概念时,要合理运用教具,如讲解公理1时,可让学生利用手中的直尺去测桌面是不是平的;讲解公理2时可让学生观察教室的墙面的关系等.通过这些方式加强由模型到图形,再由图形返回模型的基本训练,逐步培养学生由图形想象出空间位置关系的能力.当用文字和符号描述对象时,必须紧密联系图形,使抽象与直观结合起来,即在图形的基础上发展其他数学语言.在阐述定义、定理、公式等重要内容时,宜先结合图形,再用文字和符号进行描述,综合运用几种数学语言,使其优势互补,这样,就有可能收到较好的效果,给学生留下较为深刻的印象.
教学过程设计
一、问题情景
1.利用你手中的直尺,如何判定你课桌的桌面是不是平的.
2•你骑的自行车有一个脚撑就可站稳,为什么?
3.矩形硬纸板的一顶点放在讲台面上,硬纸板与讲台面不重合,能否说这两个平面只有一个公共点?
(利用多媒体屏幕呈现问题情景,即在屏幕上出现桌子与直尺、有一个脚撑的自行车、矩形硬纸与讲台面及相应的问题.与现实生活联系紧密的实物通过多媒体给出,能够活跃课堂气氛,激发学生学习兴趣,从而引导学生积极主动的去探究问题)
二、建立模型
1.探究公理
(1)问题1的探究
教师提出问题,引发学生思考:
如何用直尺这个工具来判定你的桌面是不是平的呢?
(把直尺放在物体表面的各个方向上,如果直尺的边缘与物体的表面不出现缝隙,就可判断物体表面是平的)
教师点拔:
这是判断物体表面是不是平的的一个常用方法.如果物体表面是平的,把直尺边缘无论如何放在平面上,则边缘与平面都没有缝隙,也就是说,如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内.由此,可以归纳出公理1.
公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内(如图14-1).
这时我们说,直线在平面内或平面经过直线.这一性质是平面的主要特征.弯曲的面就不是处处具有这种性质.教师进一步分析:
为了书写的简便,我们把代数中刚学习过的有关集合的符号,引入立体几何中.把点作为基本元素,直线、平面即为“点的集合”,这样:
点A在直线a上,记作A€a;
点A在直线a外,记作Aa;
点A在平面a内,记作A€a;
点A在平面a外,记作Aa;
直线a在平面a内,记作aa;
直线a在平面a外,记作aa.
公理1用集合符号表示为:
A€a,B€a,A€a,B€a,则有aa.
例:
证明如果一个三角形的两边在一个平面内,那么第三边也在这个平面内.
注意:
在分析过程中,一定要强调“要证明直线在平面内,则应该证明什么?
条件中有没有,没有如何去创造”.通过这种逆推思路的分析,培养学生良好的思考习惯.
练习:
判断下列命题的真假
1如果一条直线不在平面内,则这条直线与平面没有公共点.
2过一条直线的平面有无数多个.
3与一个平面没有公共点的直线不存在.
4如果线段AB在平面a内,则直线AB也在平面内a.
(2)问题2的探究
教师提出问题,引发学生思考:
自行车有一个脚撑就可站稳,为什么?
(因为前轮着地点、后轮着地点、脚撑着地点三点在一个平面上,而且为了站稳,前轮着地点、后轮着地点、脚撑着地点三点不共线,因此我们可以推测:
过不共线的三点有且只有一个平面)
教师演示:
用相交于一点的三根小棍的三个端点作为空间不在一直线
上的三个点(如图14-2),当把作为平面的硬纸板放在上面时,这张作为平面的硬纸板不能再“动”了,因为一动就要离开其中的一个点,硬纸板所在平面就不能确定了,正如同刚才的发现:
过不共线的三点有且只有一个平面.
公理2经过不在同一条直线上的三点,有且只
有一个平面.(如图14-3)
公理2也可以简单地说成:
不共线的三点确定个平面.
教师演示课件:
在空间给定不共线的三点A,B,C(如图14-4),作直线ABBCCA再在直线BCCAAB上分别取动点P,QR作直线APBQCR让P,QR分别在直线BCCAAB上运动,我们可以看到这些直线“编织”成一个平面.
教师出示问题:
试举出一个应用公理2的实例.
(例如,一扇门用两个合页和一把锁就可以固定了)
(3)问题3的探究
教师将矩形硬纸板的一顶点放在讲台面上,让学生观察,并同时提出问题:
能否说这两个平面只有一个公共点?
(不能,因为平面是无限延展的,所以这两个平面应该有一条经过这公共点的直线)
教师点拔:
我们只能用有限的模型或图形来表示无限延展的平面,所以我们有时要看模型或图形,但又不能受模型或图形的限制来影响我们对平面的无限延展的了解.这个实例说明了平面具有如下性质.
公理3如果两个不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.(如图14-5)
公理3的数学符号语言:
P€a,pE卩Q门卩=a,P€a.
教师进一步概括:
为了简便,以后说
到两个平面,如不特别说明,都是指两
个不重合的平面.如果两个平面有一条公
共直线,则称这两个平面相交.这条公共直线叫作这两个平面的交线.由
公理3可见,两个平面如果有一个公共点,那么就有无穷多个公共点,所有公共点在公共直线上,即它们的交线上;交线上的每一个点都是两平面的公共点.
练习:
判断下列命题的真假.
①如果两个平面有两个公共点A,B,那么它们就有无数个公共点,并且这些公共点都在直线AB上.
②两个平面的公共点的集合可能是一条线段.
2.推出结论
教师明晰:
由于两点确定一条直线,根据公理2容易得出如下推论:
推论1经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面.
已知:
点A,直线a,Aa.(如图14-6)
求证:
过点A和直线a可以确定一个平面.
分析:
“确定一个平面”包含两层意思:
一是存在,二是唯一.这两层都应证明.
(说明:
这个证明可以由教师引导学生一起分析完成,但步骤教师一定要板书)
证明:
存在性.
因为Aa,在a上任取两点B,C,
所以过不共线的三点A,B,C有一个平面a.(公理2)
因为B€a,C€a,
所以a€a.(公理1)
故经过点A和直线a有一个平面a.唯一性.如果经过点A和直线a
因为B€a,C€a,
所以B€p,B€p.(公理1)
故不共线的三点A,B,C既在平面a内又在平面B内.
所以平面a和平面B重合.(公理2)
所以经过点A和直线a有且只有一个平面.有时“有且只有一个平面”,我们也说“确定一个平面”.
类似地可以得出下面两个推论:
推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面.(如图14-7)
推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面.(如图14-8)
三、解释应用
[例题]
已知:
ABAAC=A,ABABC=B,ACBC=C.
求证:
直线ABBCAC共面.
证法1:
因为ABAAC=A,
所以直线AB,AC确定一个平面a.(推论2)
因为B€AB,C€AC
所以B€a,C€a,
故BCa.(公理1)
因此,直线ABBCCA都在平面a内,即它们共面.
证法2:
因为A直线BC,
所以过点A和直线BC确定平面a.(推论1)
因为A€a,B€BC所以B€a.
故AB'=a,
同理ACa,
所以ABAC,BC共面.
证法3:
因为A,B,C三点不在一条直线上,
所以过A,B,C三点可以确定平面a.(公理2)
因为A€a,B€a,所以ABa.(公理1)
同理BCa,ACa,所以ABBCCA三直线共面.
思考:
在这道题中“且不过同一点”这几个字能不能省略,为什么?
(不能,如果二条直线两两相交且过同一点,则这二条直线可以不共面)
[练习]
1.三角形、梯形是平面图形吗?
2.已知:
平面a外有一个厶ABC并且△ABC三条边所在的直线分别与平面a交于三个点P,QR.求证P,Q,R三点共线.
四、拓展延伸
1.四条直线两两相交且不过同一点,这四条直线是否一定共面?
2.两个平面最多可以把空间分成几个部分?
三个平面呢?
四个平面呢?
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