大一高等数学第九章第二节二重积分的计算法.docx
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大一高等数学第九章第二节二重积分的计算法
第二节二重积分的计算法
•一、二重积分在直角坐标系中的计算法
•二、二重积分在极坐标系中的计算法
•三、小结思考题练习题
一、二重积分在直角坐标系中的计算法
如果积分区域为:
a [X—型] 其中函数©(劝、02(兀)在区间[“,6上连续・ 的值等于以。 为底,以曲面z= f(x,y)为曲顶柱体的体积. 应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法, SR cy=fdyr2>f(x,y)dx. 兴切(丿) X型区域的特点: 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点: 穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. 若区域如图,则必须分割. 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式 n勿+u• DD、D2D、 例1改变积分f(xyy)dy的次序. 例2改变积分 ’/(X』)心的次序. 解积分区域如图 2 J=2-x X 、 »=\2x- 5^ • ■ 7 0.91 \* ・53 原式=』dyJ二缶ff(x,y)dx. 例3改变积分j^-p/(x,j)Jy(«>0)的次序. f(x^y)dx +他(: 丹八3)必+f"dy0gy)必. 解两曲线的交点产二=>(0,0),(1,1),1兀=厂 +y)dxdy{x1+y)dy D =x-x2)+^(x-x4)]rfx=豊・ Jo2140 例5求JJx2e'y2dxdy,其中D是以0,0),(1,1), ( x2e~ydxdy=^dy^x2eydxD □□ 成的立体如图. -卩f了- exdx^\dy\exdx. y 解^exdx不能用初等函数表示 ・•・先改变积分次序. =fx(e—ex)dx=-e—- 码82 例7求由下列曲面所围成的立体体积,z=x+j,z=xy9x+‘=l,x=0,j=0. 所围立体在xoy面上的投影是 •・•0 D (x-hy-xy)dy 訂: 住(1一兀)+£(1-兀尸血=召 二、二重积分在极坐标系中计算法1^1. Aa,=-(巧+ZV;$・一乙叮・ =-(2r;+zXrf)Ar;• 2 2 =片•Arz• -"+叫・M “A JJf(x9y)dxdy=f(rcosG3rsinO)rdrd0. DD 二重积分化为二次积分的公式 (1) 区域特征如图 a<0<.py (p\O} JJf(rcos0^rsin0)rdrd0 D =f(rcos^,rsin^)rJr. JaJ卩i(0) 区域特征如图 aV&V0, 0(&)<厂V02(&)・ JJf(rcos09rsin0)rdrdO =\pdorO} JaJ®©) 01(0) f(rcosGyrsin0)rdr. CQE 二重积分化为二次积分的公式 (2) SB JJf(rcos^,rsin0)rdrdO D “r(p2、 =Jdo]f(rcos^,rsin^)rJr. 二重积分化为二次积分的公式(3) ||f(rcos^,rsinff)rdrd0 D /(rcos^,rsin^)rJr. 极坐标系下区域的面积a=\\rdrdO. 例8写出积分\\f(x.y)dxdy的极坐标二次积分形式,其中积分注域 D={(x9y)\1-x 所以圆方程为厂=1, 直线方程为厂=^―1—- sin&+cos& SR 豈」 例9计算^e~x^ydxdy,其中D是由中心在原点,半径站的圆周所围成的闭区域. 解在极坐标系下 D: 0 \\e~x~ydxdy=J冷町: ”皿 A^e~x2~y: dxdy<帖宀怙心ffe'^dxdy. DtSD2 又•・•1=^e~xdxdy s =e~xldxe~ydy=([e~'dx)2;=jje~xydxdy D\ 同理笃=fje~x'ydxdy=^(\-e~1R"); UH •・・/j 兀“-R2\/-X2J\2兀-2R2\ •••(l- )<(edx)<(1-e); 4J。 4 TTIt 当/? —>8时,人一>G/Tr 44 故当Z? T8时,即(J;厂必)'弓' 所求广义积分^e'x2dx=耳・ 例11计算+y2)dxdy,其D为由 D x2-Fy2=2y9X2-by2=4,及直线工_3y=0,丿一\3*=0所围成的平面闭区域. x—\3j=0n0、=手 6 X24-j2=2j=>r=2sin& Jj(x2y2)dxdy=%2-rdr=15(寸一、3)・ D6Sn/ snag] 例12计算二重积分□沁字¥二必小,其中积分区域为D={(x9j)I1^x2+j2<4}. 解由对称性,可只考虑第一象限部分, D=4D\ 注意: 被积函数也要有对称性. =4『坷: 警"=-4・ SB 例13求曲线(x2+y2)2=2a2(x2-y2) 和x2+j2所围成的图形的面积. 解根据对称性有D=4巧在极坐标系下 222 x+y=a=>r=ay (x2+)2)2=2a2(x2—y2)r=“、2cos2&, r=a、2cos2&- —'得交点心叫), 所求面积 fa.2cos20 =4£je£rdr =a2(V3-^). SR 三、小结 二重积分在直角坐标下的计算公式jjf(x,y)dcr=y)dy.[X—型] f(x,y)dcr=f<;: /(x,y)〃x.[Y—型] (在积分中要正确选择积分次序) 二重积分在极坐标下的计算公式 Jjf(rcos^,rs\r\O)rdrdG "Pp叭(8) =Jdffj$f(rcos0^rsin0)rdr・ «=JdOyf(rcos0^rsinO)rdr・ =0f(rcos0,rsin0)rdr. (在积分中注意使用对称性) SB 思考题1 设/(X)也0,1]上连续,并设£/(x)dr=A,求JMf(x)f(y)dy・ 思考题1解答 v不能直接积出,・・・改变积分次序. 令/=jdxjxf(x)f(y)dy9则原^=jdy^f(x)f(y)dx・ =j/(x)dx^f(y)dy, 故2“=」: /(兀)必[/(刃心+£/(x)Jx£'f(y)dy =£/(x)Jx[(£+f)f(y)dy] SR 思考题2 交换积分次序: C-pacosQ (aA0)< /=』/礼f(r,Q)dr 练习题1 填空题: ]、Jj(x'+3x2y+j')rfo-=•其中 D DWSMlgyMl. 2、JJxcos(x+y)da=.其中^是顶 £分别为(。 小),(“°),(兀皿)的三角形闭区域・ 3、将二重积分其中°是构轴及半 x2+j2=r2(j>0)所围成的闭区域,化为先对后对工的二次积分,应为. HR 4、将二壓积分J打其中D是由直线 I) y=X,X=2及双曲线y=i(X>0)所围成的闭区 X 域化为先对后对的二次积分,应为 5.将二次积分『力丄: 改换积分次序, 应为〔. 6、将二次积分改换积分次序, 应为・ 7.将二次积分心仁 f(x.y)dx改换积分次序, 应为• 2.画出积分区域,并计算下列二重积分: 1、其和是由|x|+|j|<1所确定的闭区域. D 2、JJX+h一其和是由直线 y=2』=x及j=2兀所围成的闭区域 3、沪(“必=讼「厂叫如 SR 4*-*心如其中°: -lSxSl,US_yS2. 三、设平面薄片所占的闭区域"由直线x+y=2,y=x 和r轴所围成,它的面密度p(x.y)=x2+y2f求该薄片的质量・ 成的 四、求由曲面z=+2丁’及z=6-2x? -〉,? ,所 立体的体积. 练习题1答案 "如宀f(x,y)dy; 4、Ji*rfy£/(x,y)dx+j'rfyj/(x,y)dx; 5、J匈: ;F/g皿: .0.”_pl./»/r-arcslny 6、丄切亠“丿小处订叽的/(工』皿; I 7、£rfx£*x/(x’yMy・ CQB 练习题2 一、填空题: 1、将\\f *,表示为极坐 标形式的二次积分,为・ 2、将^f(x.y)dxdyD为表 D 示內极坐轻形式的二次积分为. 3、将£Vf^x1+y2)dy化为极坐标形式的二 次积分亦• 4、将化为极坐标形式的二次积分 为. 三、试将对极坐标的二次积分 I•-r2acosO /=j4n^eJ()/(rcose,rsin0)rJr^^积分次序. 四、设平面薄片所占的闭区墀是由螺线厂=2&上一段 TT7t 弧(0VeV2)与直线°=2所围成,它的面密度为p(x,y)=x2+y2f求这薄片的质量. 底,而以曲面z为顶的曲顶柱体的体积. 练习题2答案 岸j»2cos6 、1、j2ndQyf(rcos0,rsin9)rJr; /(rcos0,rsin0)rJr; f—/»(cos04-sin0> 2、IM 「于#2sec0 secO 3、J^0jof(r)rdr; 4、f4rf0(f(rcosG,rsin0)rJr; JoJsec0U1II0nslnO| 5、J;坷,宀一皿厂,\‘2-1. 二、一4(2,n2-,); SR 三、 四、 五、 R\4、 彳、尹一3)? =£1r^rj4nf(rcos0,rsin0)J0 一4 (加farccos— +(rdr\larf(rcos0,rsin0)rf0. J2aJ-urccos— 2a 40* 3n4a 32
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