第02讲 三角形及多边形角度计算.docx
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第02讲三角形及多边形角度计算
专题一、三角形内外角平分线相关模型
【专题导入】
1.如图,在△ABC中,∠B与∠C的平分线交于点P.若∠BPC=130°,则∠A=_____。
【方法技巧】
1、涉及到内角平分线夹角的题,必然需要用到三角形内角和性质及整体思想;
2、涉及到外角平分线的题,需要用到外角的性质及整体思想;
3、必要时需要用方程。
【典例剖析】
2.
(1)如图1,点P为△ABC的内角平分线BP与CP的交点,求证:
∠BPC=90°
∠A;
(2)如图2,点P为△ABC内角平分线BP与外角平分线CP的交点,请直接写出∠BPC与∠A的关系;
(3)如图3,点P是△ABC的外角平分线BP与CP的交点,请直接∠BPC与∠A的关系.
3.如图,在△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点,∠A=50°,则∠D=( )
A.15°B.20°C.25°D.30°
4.如图,在△ABC中,P是△ABC内角平分线的BP,CP的交点.Q是△ABC中∠B、∠C外角平分线的交点.
(1)求证:
∠P=90°
∠A;
(2)探索∠P+∠Q为定值.
【强化训练】
5.已知△ABC,
(1)如图1,若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点,则∠P=90°
∠A;
(2)如图2,若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点,则∠P=90°﹣∠A;
(3)如图3,若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点,则∠P=90°
∠A.
上述说法正确的个数是( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
6.如图,∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P,若∠A=50°,∠D=10°,则∠P的度数为( )
A.10°B.15°C.20°D.25°
7.如图,BE平分∠ABC,CE平分外角∠ACD,若∠A=52°,则∠E的度数为 .
8.如图,在△ABC中,BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB,∠A=50°,则∠BOE= °.
9.如图,在△ABC中,∠A=m°,∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1,得∠A1;∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2,得∠A2;…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013,则∠A2013=
度.
10.如图,BP,CP分别平分∠ABD,∠ACD,若∠A=40°,求∠P.
11.如图,已知,∠A=42°,∠D=138°,BP、CP分别平分∠ABD、∠ACD.求证:
BP⊥CP.
12.如图,AC,BD相交于点O,BP,CP分别平分∠ABD,∠ACD,且交于点P.
(1)若∠A=70°,∠D=60°,求∠P的度数;
(2)试探索∠P与∠A,∠D间的数量关系;
(3)若∠A:
∠D:
∠P=2:
4:
x,求x的值;
(4)若BP、CP分别为∠ABD、∠ACD的外角平分线,则∠P与∠A、∠D的关系为 .
13.如图,∠A=60°,线段BP、BE把∠ABC三等分,线段CP、CE把∠ACB三等分,求∠BPE的度数.
专题二、多边形边角计算
【方法技巧】
1.过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线,n边形对角线的条数为
;
2.n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3),外角和均为360°;
3.正多边形的每个内角都相等,都等于
,它的每个外角都相等,都等于
。
【典例剖析】
1.一个正多边形的内角和等于外角和的4倍,求:
(1)这个多边形的边数.
(2)这个多边形的每一个内角的度数.
2.一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的
,这个正多边形是几边形?
3.如图,在五边形ABCDE中,AP平分∠EAB,BP平分∠ABC.
(1)五边形ABCDE的内角和为 度;
(2)若∠C=100°,∠D=75°,∠E=135°,求∠P的度数.
4.一个多边形的边数每增加一条,这个多边形的( )
A.内角和增加180°B.外角和增加360°
C.对角线增加一条D.内角和增加360°
5.如图,边长相等的正五边形和正方形的一边重合,那么∠1的度数是多少( )
A.30°B.15°C.18°D.20°
6.若一个多边形的内角和等于1260°,它是 边形,从这个多边形的一个顶点出发共有 条对角线.
7.如图,五边形ABCDE中,AE∥BC,则∠C+∠D+∠E的度数为 .
8.已知在一个多边形中,除去一个内角外,其余内角和的度数是1125°,求这个多边形的边数.
9.如图,在四边形ABCD中,BE平分∠ABC交线段AD于点E,∠1=∠2.
(1)判断AD与BC是否平行,并说明理由;
(2)当∠A=∠C,∠1=40°时,求∠D的度数.
【强化训练】
10.一个多边形截去一个角后,形成另一个多边形的内角和为2520°,则原多边形的边数是( )
A.17B.16C.15D.16或15或17
11.有公共顶点A,B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放,连接AC交正六边形于点D,则∠ADE的度数为( )
A.144°B.84°C.74°D.54°
12.若一个多边形的内角和为1800°,则这个多边形的对角线条数是 .
13.如图,在△ABC中,∠A=50°,若剪去∠A得到四边形BCDE,则∠1+∠2= .
14.某数学学习小组发现:
通过连多边形的对角线,可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题.如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有3条,那么该多边形的内角和是 度.
15.如图,在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°,DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD,则∠CPD的度数是 °.
16.如图,以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD,则∠BED= °.
17.一个多边形的内角和是外角和的3倍,求这个多边形的边数.
18.如图,在四边形ABCD中,∠C=90°,∠D=130°,AP平分∠BAD,BP平分∠ABC,求∠APB的度数.
19.
(1)若一个凸多边形的内角和是2340°,求这个多边形的边数;
(2)一个凸多边形去掉一个内角后,其余所有内角的和为2008°,求这个多边形的边数和去掉的那个内角的度数.
专题三、方程思想及整体思想与三角形计算
【方法技巧】
在三角形或多边形求角度的综合题中,经常需要用到“方程思想”及“整体思想”:
①当直接计算有困难时,考虑使用方程,一般情况下设较小的边或角为未知数;
②把相互关联的量看成一个整体,称作“整体思想”。
【典例剖析】
1.如图,△ABC中,BD平分∠ABC,∠1=∠A,∠2=∠C,求∠A的度数.
2.如图,四边形ABCD中,AE平分∠BAD,DE平分∠ADC.
(1)如果∠B+∠C=120°,则∠AED的度数= .(直接写出结果)
(2)根据
(1)的结论,猜想∠B+∠C与∠AED之间的关系,并证明.
3.如图,在Rt△ADB中,∠D=90°,C为AD上一点,∠ACB=6x,则x值可以是( )
A.10°B.20°C.30°D.40°
4.如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,如果∠A=50°,那么∠1+∠2的大小为( )
A.130°B.180°C.230°D.260°
5.在△ABC中,将∠B、∠C按如图所示方式折叠,点B、C均落于边BC上一点G处,线段MN、EF为折痕.若∠A=82°,则∠MGE= °.
6.如图,AE∥BD,∠EAF=126°,∠BDC=46°,求x的值.(写出解题过程)
【强化训练】
7.一个凸多边形的内角和比它的外角和的3倍还多180°,则这个多边形是( )
A.九边形B.八边形C.七边形D.六边形
8.如图所示,已知△ABC中,∠A=80°,若沿图中虚线剪去∠A,则∠1+∠2等于( )
A.90°B.135°C.260°D.315°
9.如图,△ABC中,∠A=80°,△ABC的两条角平分线交于点P,∠BPD的度数是( )
A.130°B.60°C.50°D.40°
10.在△ABC中,若∠A:
∠B:
∠C=2:
3:
4,则∠A、∠B、∠C的外角的比是 .
11.已知,如图,在△ABC中,BE平分∠ABC交AC于E,CD⊥AC交AB于D,∠BCD=∠A,则∠BEA的度数为 .
12.如图△ABC中,将边BC沿虚线翻折,若∠1+∠2=100°,则∠A的度数是 度.
13.在△ABC中,∠ACB=60°,CE为△ABC的角平分线,AC边上的高BD与CE所在的直线交于点F,若∠ABD:
∠ACF=2:
3,则∠BEC的度数为 .
14.如图,∠B=∠C,D在BC上,∠BAD=30°,在AC上取AE=AD,∠ADE=∠AED,求∠EDC的度数.
15.如图所示,在△ABC中,D是BC边上一点∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=69°,求∠DAC的度数.
16.探究与发现:
如图①,在△ABC中,∠B=∠C=45°,点D在BC边上,点E在AC边上,且∠ADE=∠AED,连接DE.
(1)当∠BAD=60°时,求∠CDE的度数;
(2)当点D在BC(点B、C除外)边上运动时,试猜想∠BAD与∠CDE的数量关系,并说明理由.
(3)深入探究:
如图②,若∠B=∠C,但∠C≠45°,其他条件不变,试探究∠BAD与∠CDE的数量关系.
17.已知△ABC中,CB=8cm,CA=6cm,P为一动点,沿着C﹣B﹣A﹣C的路径运动,再次到达C点,则停止运动,P点的运动速度为2cm/s.
(1)求AB的取值范围;
(2)若∠C=90°,AB=10cm.
①当P点在CB上运动时,经过几秒,PC=AC;
②P从运动开始,几秒后P点与△ABC的某一顶点的连线能将△ABC的面积分成相等的两部分.
课后作业
一.选择题(共6小题)
1.已知一个三角形两边的长分别是2和5,那么第三边的边长可能是下列各数中的( )
A.1B.2C.3D.5
2.如图所示,要使一个六边形木架在同一平面内不变形,至少还要再钉上( )根木条.
A.1B.2C.3D.4
3.若等腰三角形中的一个外角等于130°,则它的顶角的度数是( )
A.50°B.80°C.65°D.50°或80°
4.如图,△ABC中,∠A=70°,∠B=60°,点D在BC的延长线上,则∠ACD等于( )
A.100°B.120°C.130°D.150°
5.一个n边形的内角和是外角和的2倍,则n的值为( )
A.3B.4C.5D.6
6.一个多边形的内角和与外角和之比为3:
1,则这个多边形的边数是( )
A.7B.8C.9D.10
二.填空题(共8小题)
7.已知三角形的三边分别为2,a﹣1,4,那么a的取值范围是 .
8.已知a,b,c是一个三角形的三边长,化简|a+c﹣b|﹣|b﹣c+a|﹣|a﹣b﹣c|= .
9.一个三角形的三边分别为3、10﹣m、4,则m的取值范围是 .
10.等腰三角形的一边等于3,一边等于6,则它的周长等于 .
11.如果一个多边形的内角和是1800度,它是 边形.
12.等腰三角形的一个底角为50°,则它的顶角的度数为 .
13.如图,在△ABC中,∠A=50°,若剪去∠A得到四边形BCDE,则∠1+∠2= .
14.在同一平面内,正六边形和正方形如图所示放置,则∠α等于 度.
三.解答题(共3小题)
15.如图所示,在△ABC中,D是BC边上一点∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=69°,求∠DAC的度数.
16.如图,在△ABC中,D,E是BC边上两点,AD=AE,∠BAD=∠CAE.求证:
AB=AC.
17.如图,在五边形ABCDE中,∠C=90°,∠D=70°,∠E=130°,AP平分∠EAB,BP平分∠ABC,求∠P的度数.
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