河南省中考数学试题含答案j.docx
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河南省中考数学试题含答案j.docx
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河南省中考数学试题含答案j
分析:
(1)由于四边形ABCD为矩形,所以A点与D点纵坐标相同,A点与B点横坐标相同;
(2)①根据相似三角形的性质求出点E的横坐标表达式即为点G的横作标表达式.代入二次函数解析式,求出纵标表达式,将线段最值问题转化为二次函数最值问题解答.
②若构成等腰三角形,则三条边中有两条边相等即可,于是可分EQ=EC,EC=CQ,EQ=EC三种情况讨论.若有两种情况时间相同,则三边长度相同,为等腰三角形.
解:
(1)因为点B的横坐标为4,点D的纵坐标为8,AD∥x轴,AB∥y轴,所以点A的坐标为(4,8).(1分)
将A(4,8)、C(8,0)两点坐标分别代入y=ax2+bx得{16a+4b=864a+8b=0解得a=-1/2,b=4,
∴抛物线的解析式为:
y=-1/2x2+4x;(3分)
(2)①在Rt△APE和Rt△ABC中,tan∠PAE=PE/AP=BC/AB,即PE/AP=4/8.
∴PE=1/2AP=1/2t.PB=8-t.
∴点E的坐标为(4+1/2t,8-t).
∴点G的纵坐标为:
-1/2(4+1/2t)2+4(4+1/2t)=-1/8t^2+8.(5分)
∴EG=-1/8t^2+8-(8-t)=-1/8t^2+t.
∵-1/8<0,∴当t=4时,线段EG最长为2.(7分)
②共有三个时刻.(8分)
(①)当EQ=QC时,
因为Q(8,t),E(4+1/2t,8-t),QC=t,
所以根据两点间距离公式,得:
(1/2t-4)^2+(8-2t)^2=t^2.
整理得13t^2-144t+320=0,
解得t=40/13或t=104/13=8(此时E、C重合,不能构成三角形,舍去).
(②)当EC=CQ时,
因为E(4+1/2t,8-t),C(8,0),QC=t,
所以根据两点间距离公式,得:
(4+1/2t-8)^2+(8-t)^2=t^2.
整理得t^2-80t+320=0,t=40-16根号5,t=40+16根号5>8(此时Q不在矩形的边上,舍去).
(③)当EQ=EC时,
因为Q(8,t),E(4+1/2t,8-t),C(8,0),
所以根据两点间距离公式,得:
(1/2t-4)^2+(8-2t)^2=(4+1/2t-8)^2+(8-t)^2,
解得t=0(此时Q、C重合,不能构成三角形,舍去)或t=163.
于是t1=16/3,t2=40/13,t3=40-16根号5.(11分)
点评:
抛物线的求法是函数解析式中的一种,通常情况下用待定系数法,即先列方程组,再求未知系数,这种方法本题比较适合.对于压轴题中的动点问题、极值问题,先根据条件“以静制动”,用未系数表示各自的坐标,如果能构成二次函数,即可通过配方或顶点坐标公式求其极值.
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