高考数学二轮复习专题七数学思想方法选用第1讲函数与方程思想.docx
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高考数学二轮复习专题七数学思想方法选用第1讲函数与方程思想
第1讲 函数与方程思想、数形结合思想
高考定位 函数与方程的思想一般通过函数与导数、三角函数、数列、解析几何等知识进行考查;数形结合思想一般在选择题、填空题中考查.
1.函数与方程思想的含义
(1)函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决的思想方法.
(2)方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决的思想方法.
2.函数与方程的思想在解题中的应用
(1)函数与不等式的相互转化,对于函数y=f(x),当y>0时,就转化为不等式f(x)>0,借助于函数的图象和性质可解决有关问题,而研究函数的性质也离不开不等式.
(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点去处理数列问题十分重要.
(3)解析几何中的许多问题,需要通过解二元方程组才能解决,这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.
3.数形结合是一种数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:
(1)借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;
(2)借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.
4.在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:
第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围.数学中的知识,有的本身就可以看作是数形的结合.
热点一 函数与方程思想的应用
[应用1] 不等式问题中的函数(方程)法
【例1-1】
(1)f(x)=ax3-3x+1对于x∈[-1,1],总有f(x)≥0成立,则a=________.
(2)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是________.
解析
(1)若x=0,则不论a取何值,f(x)≥0显然成立;
当x>0即x∈(0,1]时,f(x)=ax3-3x+1≥0可化为
a≥-.
设g(x)=-,则g′(x)=,
所以g(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,
因此g(x)max=g=4,从而a≥4.
当x<0即x∈[-1,0)时,f(x)=ax3-3x+1≥0可化为a≤-,设g(x)=-,
则g(x)在区间[-1,0)上单调递增,因此g(x)min=g(-1)=4,从而a≤4.
综上a=4.
(2)设F(x)=f(x)g(x),由于f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,得F(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),即F(x)在R上为奇函数.
又当x<0时,F′(x)=f′(x)·g(x)+f(x)g′(x)>0,
所以x<0时,F(x)为增函数.
因为奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,所以x>0时,F(x)也是增函数.
因为F(-3)=f(-3)g(-3)=0=-F(3),
所以,可作y=F(x)的示意图如图所示,
由图可知F(x)<0的解集是(-∞,-3)∪(0,3).
答案
(1)4
(2)(-∞,-3)∪(0,3)
探究提高
(1)在解决不等式问题时,一种最重要的思想方法就是构造适当的函数,利用函数的图象和性质解决问题;
(2)函数f(x)>0或f(x)<0恒成立,一般可转化为f(x)min>0或f(x)max<0;已知恒成立求参数范围可先分离参数,然后利用函数值域求解.
[应用2] 数列问题的函数(方程)法
【例1-2】已知数列{an}满足a1=3,an+1=an+p·3n(n∈N*,p为常数),a1,a2+6,a3成等差数列.
(1)求p的值及数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足bn=,证明:
bn≤.
(1)解 由a1=3,an+1=an+p·3n,
得a2=3+3p,a3=a2+9p=3+12p.
因为a1,a2+6,a3成等差数列,
所以a1+a3=2(a2+6),
即3+3+12p=2(3+3p+6),得p=2.
依题意知,an+1=an+2×3n.
当n≥2时,a2-a1=2×31,
a3-a2=2×32,…,
an-an-1=2×3n-1.
将以上式子相加得an-a1=2(31+32+…+3n-1),
所以an-a1=2×=3n-3,
所以an=3n(n≥2).又a1=3符合上式,故an=3n.
(2)证明 因为an=3n,所以bn=.
所以bn+1-bn=-=(n∈N*).
若-2n2+2n+1<0,则n>,
即当n≥2时,有bn+1<bn,
又因为b1=,b2=,故bn≤.
探究提高 数列最值问题中应用函数与方程思想的常见类型:
(1)数列中的恒成立问题,转化为最值问题,利用函数的单调性或不等式求解.
(2)数列中的最大项与最小项问题,利用函数的有关性质或不等式组求解.
(3)数列中前n项和的最值:
转化为二次函数,借助二次函数的单调性或求使an≥0(an≤0)成立时最大的n值即可求解.
[应用3] 解析几何问题的方程(函数)法
【例1-3】设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k>0)与AB相交于点D,与椭圆相交于E,F两点.
(1)若=6,求k的值;
(2)求四边形AEBF面积的最大值.
解
(1)
依题意得椭圆的方程为+y2=1,直线AB,EF的方程分别为x+2y=2,y=kx(k>0).如图,设D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x1<x2,且x1,x2满足方程组
故x2=-x1=.①
由=6知x0-x1=6(x2-x0),
得x0=(6x2+x1)=x2=;
由D在AB上知x0+2kx0=2,
得x0=.所以=,
化简得24k2-25k+6=0,解得k=或k=.
(2)根据点到直线的距离公式和①式知,点E,F到AB的距离分别为
h1==,
h2==.
又|AB|==,所以四边形AEBF的面积为
S=|AB|(h1+h2)
=··=
=2≤2,
当4k2=1(k>0),即当k=时,上式取等号.
所以S的最大值为2,
即四边形AEBF面积的最大值为2.
探究提高 解析几何中的最值是高考的热点,在圆锥曲线的综合问题中经常出现,求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中,抓住函数关系,将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数,然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.
热点二 数形结合思想的应用
[应用1] 利用数形结合思想讨论方程的根或函数零点
【例2-1】
(1)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是________.
(2)设函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos(πx)|,则函数h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为( )
A.5B.6C.7D.8
解析
(1)由f(x)=|2x-2|-b有两个零点,可得|2x-2|=b有两个不等的实根,从而可得函数y=|2x-2|的图象与函数y=b的图象有两个交点,如图所示.结合函数的图象,可得0<b<2,故填(0,2).
(2)根据题意,函数y=f(x)是周期为2的偶函数且0≤x≤1时,f(x)=x3,则当-1≤x≤0时,f(x)=-x3,且g(x)=|xcos(πx)|,所以当x=0时,f(x)=g(x).当x≠0时,若0 再根据函数性质画出上的图象,在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象,如图所示,有5个交点.所以总共有6个零点. 答案 (1)(0,2) (2)B 探究提高 用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的思想方法,其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两个熟悉的函数),然后在同一坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数. [应用2] 利用数形结合思想解不等式或求参数范围 【例2-2】 (1)若不等式≤k(x+2)-的解集为区间[a,b],且b-a=2,则k=________. (2)若不等式|x-2a|≥x+a-1对x∈R恒成立,则a的取值范围是________. 解析 (1)如图 ,分别作出直线y=k(x+2)-与半圆y=.由题意,知直线在半圆的上方,由b-a=2,可知b=3,a=1,所以直线y=k(x+2)-过点(1,2),则k=. (2)作出y=|x-2a|和y=x+a-1的简图,依题意知应有2a≤2-2a,故a≤. 答案 (1) (2) 探究提高 求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象,根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数,利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题,往往可以避免繁琐的运算,获得简捷的解答. [应用3] 利用数形结合思想求最值 【例2-3】 (1)已知P是直线l: 3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,A,B是切点, C是圆心,则四边形PACB面积的最小值为________. (2)已知F是双曲线C: x2-=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6),当△APF周长最小时,该三角形的面积为________. 解析 (1) 从运动的观点看问题,当动点P沿直线3x+4y+8=0向左上方或右下方无穷远处运动时,直角三角形PAC的面积SRt△PAC=|PA|·|AC|=|PA|越来越大,从而S四边形PACB也越来越大;当点P从左上、右下两个方向向中间运动时,S四边形PACB变小,显然,当点P到达一个最特殊的位置,即CP垂直直线l时,S四边形PACB应有唯一的最小值, 此时|PC|==3, 从而|PA|==2. 所以(S四边形PACB)min=2××|PA|×|AC|=2. (2)设双曲线的左焦点为F1,连接PF1,根据双曲线的定义可知|PF|=2+|PF1|,则△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+2+|PF1|+|AF|=|PA|+|PF1|+|AF|+2, 由于|AF|+2是定值,要使△APF的周长最小,则|PA|+|PF1|最小,即P,A,F1三点共线,如图所示. 由于A(0,6),F1(-3,0), 直线AF1的方程为: +=1, 即x=-3, 代入双曲线方程整理可得 y2+6y-96=0,解得y=2或y=-8(舍去), 所以点P的纵坐标为2. 所以S△APF=S△AFF1-S△PFF1=×6×6-×6×2=12. 答案 (1)2 (2)12 探究提高 破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形,注意数形结合的相互渗透,并从相关的图形中挖掘对应的信息加以分析与研究.直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种,一种是通过数形结合建立相应的关系式,另一种是通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论. 1.当问题中涉及一些变化的量时,就需要建立这些变化的量之间的关系,通过变量之间的关系探究问题的答案,这就需要使用函数思想. 2.借助有关函数的性质,一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题,二是在问题的研究中,可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解. 3.许多数学问题中,一般都含有常量、变量或参数,这些参变量中必有一个处于突出的主导地位,把这个参变量称为主元,构造出关于主元的方程,主元思想有利于回避多元的困扰,解方程的实质就是分离参变量. 4.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都是实现以形助数的途径,当试题中涉及这些问题的数量关系时,我们可以通过图形分析这些数量关系,达到解题的目的. 5.有些图形问题,单纯从图形上无法看出问题的结论,这就要对图形进行数量上的分析,通过数的帮助达到解题的目的. 6.利用数形结合解题,有时只需把图象大致形状画出即可,不需要精确图象. 一、选择题 1.直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切,则实数m等于( ) A.或-B.-或3 C.-3或D.-3或3 解析 圆的方程(x-1)2+y2=3,圆心(1,0)到直线的距离等于半径=|+m|=2m=或m=-3. 答案 C 2.已知函数f(x)满足下面关系: ①f(x+1)=f(x-1);②当x∈[-1,1]时,f(x)=x2,则方程f(x)=lgx解的个数是( ) A.5B.7C.9D.10 解析 由题意可知,f(x)是以2为周期,值域为[0,1]的函数. 又f(x)=lgx,则x∈(0,10],画出两函数图象, 则交点个数即为解的个数. 由图象可知共9个交点. 答案 C 3.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为( ) A.(-1,1)B.(-1,+∞) C.(-∞,-1)D.(-∞,+∞) 解析 f′(x)>2转化为f′(x)-2>0,构造函数F(x)=f(x)-2x, 得F(x)在R上是增函数. 又F(-1)=f(-1)-2×(-1)=4,f(x)>2x+4, 即F(x)>4=F(-1),所以x>-1. 答案 B 4.已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值是( ) A.B.2C.D.2 解析 如图,设=a,=b,=c,则=a-c,=b-c.由题意知⊥, ∴O,A,C,B四点共圆. ∴当OC为圆的直径时,|c|最大,此时,||=. 答案 A 5.当0<x≤时,4x<logax,则a的取值范围是( ) A.B. C.(1,)D.(,2) 解析 利用指数函数和对数函数的性质及图象求解. ∵0<x≤,∴1<4x≤2,∴logax>4x>1, ∴0<a<1,排除答案C,D; 取a=,x=,则有4=2,log=1, 显然4x<logax不成立,排除答案A;故选B. 答案 B 二、填空题 6.已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为________. 解析 如图, 设双曲线E的方程为-=1(a>0,b>0),则|AB|=2a,由双曲线的对称性,可设点M(x1,y1)在第一象限内,过M作MN⊥x轴于点N(x1,0), ∵△ABM为等腰三角形,且∠ABM=120°, ∴|BM|=|AB|=2a,∠MBN=60°, ∴y1=|MN|=|BM|sin∠MBN=2asin60°=a,x1=|OB|+|BN|=a+2acos60°=2a.将点M(x1,y1)的坐标代入-=1,可得a2=b2,∴e===. 答案 7.已知e1,e2是平面内两个相互垂直的单位向量,若向量b满足|b|=2,b·e1=1,b·e2=1,则对于任意x,y∈R,|b-(xe1+ye2)|的最小值为________. 解析 |b-(xe1+ye2)|2=b2+x2e+y2e-2xb·e1-2yb·e2+2xye1·e2=4+x2+y2-2x-2y=(x-1)2+(y-1)2+2≥2, 当且仅当x=1,y=1时,|b-(xe1+ye2)|2取得最小值2,此时|b-(xe1+ye2)|取得最小值. 答案 8.设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆C: (x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是________. 解析 设直线l的方程为x=ty+m,A(x1,y1),B(x2,y2), 把直线l的方程代入抛物线方程y2=4x并整理得y2-4ty-4m=0, 则Δ=16t2+16m>0,y1+y2=4t,y1y2=-4m,那么x1+x2=(ty1+m)+(ty2+m)=4t2+2m,则线段AB的中点M(2t2+m,2t). 由题意可得直线AB与直线MC垂直,且C(5,0). 当t≠0时,有kMC·kAB=-1, 即·=-1,整理得m=3-2t2, 把m=3-2t2代入Δ=16t2+16m>0, 可得3-t2>0,即0<t2<3. 由于圆心C到直线AB的距离等于半径, 即d===2=r, 所以2<r<4,此时满足题意且不垂直于x轴的直线有两条. 当t=0时,这样的直线l恰有2条,即x=5±r,所以0<r<5. 综上,可得若这样的直线恰有4条,则2<r<4. 答案 (2,4) 三、解答题 9.已知数列{an}是一个等差数列,且a2=1,a5=-5. (1)求{an}的通项an; (2)求{an}前n项和Sn的最大值. 解 (1)设{an}的公差为d,由已知条件, 解得a1=3,d=-2. 所以an=a1+(n-1)d=-2n+5. (2)Sn=na1+d=-n2+4n=4-(n-2)2. 所以n=2时,Sn取到最大值4. 10.椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在y轴上,短轴长为,离心率为,直线l与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A,B,且=3. (1)求椭圆C的方程; (2)求m的取值范围. 解 (1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),设c>0,c2=a2-b2,由题意,知2b=,=, 所以a=1,b=c=. 故椭圆C的方程为y2+=1,即y2+2x2=1. (2)当直线l的斜率不存在时,由题意求得m=±; 当直线l的斜率存在时, 设直线l的方程为y=kx+m(k≠0),l与椭圆C的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2), 由得(k2+2)x2+2kmx+m2-1=0, Δ=(2km)2-4(k2+2)(m2-1) =4(k2-2m2+2)>0,(*) x1+x2=,x1x2=. 因为=3,所以-x1=3x2. 所以所以3(x1+x2)2+4x1x2=0. 所以3·+4·=0. 整理得4k2m2+2m2-k2-2=0, 即k2(4m2-1)+(2m2-2)=0. 当m2=时,上式不成立;当m2≠时,k2=. 由(*)式,得k2>2m2-2, 又k≠0,所以k2=>0. 解得-1<m<-或<m<1. 综上,所求m的取值范围为∪. 11.设函数f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2-lnx(a,b∈R),已知它们在x=1处的切线互相平行. (1)求b的值; (2)若函数F(x)=且方程F(x)=a2有且仅有四个解,求实数a的取值范围. 解 函数g(x)=bx2-lnx的定义域为(0,+∞), (1)f′(x)=3ax2-3af′ (1)=0, g′(x)=2bx-g′ (1)=2b-1, 依题意得2b-1=0,所以b=. (2)x∈(0,1)时,g′(x)=x-<0, 即g(x)在(0,1)上单调递减, x∈(1,+∞)时,g′(x)=x->0,即g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以当x=1时,g(x)取得极小值g (1)=; 当a=0时,方程F(x)=a2不可能有四个解; 当a<0,x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0,即f(x)在(-∞,-1)上单调递减,x∈(-1,0)时,f′(x)>0, 即f(x)在(-1,0)上单调递增, 所以当x=-1时,f(x)取得极小值f(-1)=2a, 又f(0)=0,所以F(x)的图象如图 (1)所示,从图象可以看出F(x)=a2不可能有四个解. 当a>0,x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0, 即f(x)在(-∞,-1)上单调递增,x∈(-1,0)时,f′(x)<0, 即f(x)在(-1,0)上单调递减, 所以当x=-1时,f(x)取得极大值f(-1)=2a. 又f(0)=0,所以F(x)的图象如图 (2)所求, 从图 (2)看出,若方程F(x)=a2有四个解,则<a2<2a,得<a<2,所以,实数a的取值范围是. 精美句子 1、善思则能“从无字句处读书”。 读沙漠,读出了它坦荡豪放的胸怀;读太阳,读出了它普照万物的无私;读春雨,读出了它润物无声的柔情。 读大海,读出了它气势磅礴的豪情。 读石灰,读出了它粉身碎骨不变色的清白。 2、幸福幸福是“临行密密缝,意恐迟迟归”的牵挂;幸福是“春种一粒粟,秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下,悠然见南山”的闲适;幸福是“奇闻共欣赏,疑义相与析”的愉悦。 幸福是“随风潜入夜,润物细无声”的奉献;幸福是“夜来风雨声,花落知多少”的恬淡。 幸福是“零落成泥碾作尘,只有香如故”的圣洁。 幸福是“壮志饥餐胡虏肉,笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。 幸福是“先天下之忧而忧,后天下之乐而乐”的胸怀。 幸福是“人生自古谁无死,留取丹心照汗青”的气节。 3、大自然的语言丰富多彩: 从秋叶的飘零中,我们读出了季节的变换;从归雁的行列中,我读出了集体的力量;从冰雪的消融中,我们读出了春天的脚步;从穿石的滴水中,我们读出了坚持的可贵;从蜂蜜的浓香中,我们读出了勤劳的甜美。 4、成功与失败种子,如果害怕埋没,那它永远不能发芽。 鲜花,如果害怕凋谢,那它永远不能开放。 矿石,如果害怕焚烧(熔炉),那它永远不能成钢(炼成金子)。 蜡烛,如果害怕熄灭(燃烧),那它永远不能发光。 航船,如果害怕风浪,那它永远不能到达彼岸。 5、墙角的花,当你孤芳自赏时,天地便小了。 井底的蛙,当你自我欢唱时,视野便窄了。 笼中的鸟,当你安于供养时,自由便没了。 山中的石! 当你背靠群峰时,意志就坚了。 水中的萍! 当你随波逐流后,根基就没了。 空中的鸟! 当你展翅蓝天中,宇宙就大了。 空中的雁! 当你离开队伍时,危险就大了。 地下的煤! 你燃烧自己后,贡献就大了 6、朋友是什么? 朋友是快乐日子里的一把吉它,尽情地为你弹奏生活的愉悦;朋友是忧伤日子里的一股春风,轻轻地为你拂去心中的愁云。 朋友是成功道路上的一位良师,热情的将你引向阳光的地带;朋友是失败苦闷中的一盏明灯,默默地为你驱赶心灵的阴霾。 7、一粒种子,可以无声无息地在泥土里腐烂掉,也可以长成参天的大树。 一块铀块,可以平庸无奇地在石头里沉睡下去,也可以产生惊天动地的力量。 一个人,可以碌碌无为地在世上厮混日子,也可以让生命发出耀眼的光芒。 8、青春是一首歌,她拨动着我们年轻的心弦;青春是一团火,她点燃了我们沸腾的热血; 青春是一面旗帜,她召唤着我们勇敢前行;青春是一本教科书,她启迪着我们的智慧和心灵。 精美句子 1、善思则能“从无字句处读书”。 读沙漠,读出了它坦荡豪放的胸怀;读太阳,读出了它普照万物的无私;读春雨,读出了它润物无声的柔情。 读大海,读出了它气势磅礴的豪情。 读石灰,读出了它粉身碎骨不变色的清白。 2、幸福幸福是“临行密密缝,意恐迟迟归”的牵挂;幸福是“春种一粒粟,秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下,悠然见南山”的闲适;幸福是“奇闻共欣赏,疑义相与析”的愉悦。 幸福是“随风潜入夜,润物细无声”的奉献
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