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1.1>
其中{et}为i.i.d.序列,且Eet=0,Eet=σ2<
∞,而且et与{xt-1,xt-1,…}独立.反复使用<
式的递推关系,就可得到
xt=αxt-1+et
=et+αxt-1
=et+α{et-1+αxt-2}
=et+αet-1+α2xt-2
=…
=et+αet-1+α2et-2
+…+αn-1et-n+1+αnxt-n.<
1.2>
如果当n→∞时,
αnxt-n→0,<
1.3>
{et+αet-1+α2et-2+…+αn-1et-n+1}
→∑j=0∞αjet-j.<
1.4>
虽然保证以上的收敛是有条件的,而且要涉与到具体收敛的含义,但是,对以上的简单模型,不难相信,当|α|<
1时,<
<
式成立.于是,当|α|<
1时,模型LAR<
有平稳解,且可表达为
xt=∑j=0∞αjet-j.<
1.5>
通过上面叙述可见求LAR<
模型的解有简便之优点,此其一.还有第二点,容易推广到LAR<
p>
模型.为此考查如下的p阶线性自回归模型LAR<
xt=α1xt-1+α2xt-2+...+αpxt-p+et,
t=1,2,…<
1.6>
∞,而且et与{xt-1,xt-1,…}独立.虽然反复使用<
式的递推式,仍然可得到<
式的类似结果,但是,用扩X后的一阶多元AR模型求解时,可显示出与LAR<
模型求解的神奇的相似.为此记
Xt=
U=
A=
<
1.7>
于是<
式可写成如下的等价形式:
Xt=AXt-1+etU.<
1.8>
反复使用此式的递推关系,形式上仿照<
式可得
Xt=AXt-1+etU
=etU+et-1AU+A2xt-2
=⋯
=etU+et-1AU+et-2A2U+…
+et-n+1An-1U+Anxt-n.
如果矩阵A的谱半径<
A的特征值的最大模>
λ<
A>
满足如下条件
1,<
1.10>
由上式可猜想到<
式有如下的解:
Xt=∑k=0∞AkUet-k.<
1.11>
其中向量Xt的第一分量xt形成的序列{xt},就是模型<
式的解.由此不难看出,它有以下表达方式
xt=∑k=0∞ϕket-k.<
其中系数ϕk由<
式中的α1,α2,...,αp确定,细节从略.不过,<
式给了我们重要启发,即考虑形如
xt=∑k=0∞ψket-k,∑k=0∞ψk2<
∞,<
1.12>
的时间序列类<
其中系数ψk能保证<
式中的xt有定义>
.在文献中,这样的序列{xt}就被称为线性时间序列.
虽然以上给出了线性时间序列的定义,以下暂时不讨论什么是非线性时间序列,代之先讨论一阶非线性自回归模型---NLAR<
以便与LAR<
模型进行比较分析.首先写出NLAR<
模型如下
xt=ϕ<
xt-1>
+et,t=1,2,…<
1.13>
∞,而且et与{xt-1,xt-2,…}独立,这些假定与LAR<
模型相同,但是,ϕ<
不再是xt-1的线性函数,代之为非线性函数,比如
ϕ<
=xt-1/{a+bxt-12}.
此时虽然仍可反复使用<
式进行迭代,但是所得结果是
xt=ϕ<
+et
=et+ϕ<
et-1+ϕ<
xt-2>
>
et-2+ϕ<
xt-3>
=…
=et+ϕ<
et-2+…+ϕ<
xt-n>
…>
.
<
1.14>
根据此式,我们既不能轻易判断ϕ<
函数满足怎样的条件时,上式会有极限,也不能猜测其极限有怎样的形式.
对于p阶非线性自回归模型
xt-1,xt-2,…,xt-p>
+et,
t=1,2,…<
1.15>
仿照<
至<
1.9>
式的扩X的方法,我们引入如下记号
Φ<
xt-1,xt-2,…,xt-p>
≡
1.16>
我们得到与<
式等价的模型
Xt=Φ<
Xt-1>
+etU,t=1,2,…<
1.17>
但是,我们再也得不出<
式的结果,
至此我们已将看出,从线性到非线性自回归模型有实质性差异,要说清楚它们,并不是很简单的事情.从数学角度而言,讨论线性自回归模型可借用泛函分析方法,然而,讨论非线性自回归模型,则要借用马尔可夫链的理论和方法.这也正是本讲座要介绍的主要内容.
现在简单叙述一下非线性时间序列定义的复杂性,它与线性时间序列的定义有关.前一小节中<
式所显示的线性时间序列,只是一种定义方式.如果改变对系数ψk的限制条件,就会给出不同的定义.更为重要的是,在近代研究中,将<
式中的i.i.d.序列{et}放宽为平稳鞅差序列,这在预报理论中很有意义.
无论引用哪一种线性时间序列定义,都对相应的序列的性质有所研究,因为其研究成果可用于有关的线性时间序列模型解的特性研究.事实上,已经有丰富的成果被载入文献史册.
依上所述可知,由于线性时间序列定义的多样性,必然带来非线性时间序列定义的复杂性.这里需要强调指的是,对于非线性时间序列,几乎没有文章研究它们的一般性质,这与线性时间序列情况不同.于是人们要问,我们用哪些工具来研究非线性时间序列模型解的特性呢?
这正是本次演讲要回答的问题.确切地说,我们将介绍马尔可夫链,并借助于此来讨论非线性自回归模型解的问题.
第二章.非线性时间序列模型
1.概论
从<
式可见,一个线性时间序列{xt},被{et}的分布和全部系数ψi所决定.在此有无穷多个自由参数,这对统计不方便,因此人们更关心只依赖有限个自由参数的线性时间序列,这就是线性时间序列的参数模型.其中最常用的如ARMA模型.对于非线性时间序列而言,使用参数模型方法几乎是唯一的选择.由于非线性函数的多样性,带来了非线性时间序列模型的多样性.但是,迄今为止被研究得较多,又有应用价值的非线性时序模型,为数极少,而且主要是针对非线性自回归模型.在介绍此类模型之前,我们先对非线性时序模型的分类作一概述.
通用假定:
{εt}为i.i.d.序列,且Eεt=0,而且εt与{xt-1,xt-2,…}独立.
可加噪声模型:
xt-1,xt-2,…>
+εt,
2.1>
其中ϕ<
是自回归函数.当它仅依赖于有限个未知参数时,记此参数向量为α,其相应的<
模型常写成
xt-1,xt-2,…;
α>
2.2>
否则,称<
式称为非参数模型.
关于<
的模型的平稳性,要在下一章讨论,但是,它有类似于线性AR模型的几个简单性质,是重要的而且容易获得的,它们是:
E<
xt|xt-1,xt-2,…>
=E{ϕ<
+εt|xt-1,xt-2,…}
=ϕ<
+E<
εt|xt-1,xt-2,…>
2.3>
var{xt|xt-1,xt-2,…}
≡E{[xt-ϕ<
xt-1,…>
]2|xt-1,xt-2,…}
=E{εt2|xt-1,xt-2,…}
=Eεt2
=σ2.<
2.4>
P{xt<
x|xt-1,xt-2,…}
=P{ϕ<
+εt<
x|xt-1,xt-2,…}
=P{εt<
x-ϕ<
|xt-1,xt-2,…}
=Fε<
.<
2.5>
其中Fε是εt的分布函数.
带条件异方差的模型:
+S<
εt,
2.6>
和S<
也有限参数与非参数型之分,这都是不言自明的.另外,<
式显然不属于可加噪声模型.但是,它比下面的更一般的非可加噪声模型要简单得多.这可通过推广<
式看出,即有,
εt|xt-1,xt-2,…}
E{εt|xt-1,xt-2,…}
.<
’
=E{S2<
εt2|xt-1,xt-2,…}
=S2<
E{εt2|xt-1,xt-2,…}
σ2.<
=P{ϕ<
εt<
x|xt-1,xt-2,…}
[x-ϕ<
]/S<
}
一般非线性时序模型:
xt=ψ<
εt,εt-1,…>
2.7>
其中ψ<
也有参数与非参数型之区别,这也是不言自明的.显然,<
式既不是可加噪声模型,也不属于<
式的带条件异方差的模型.虽然,它可能具有条件异方差性质.相反,后两者都是<
式的特殊类型.虽说<
式是更广的模型形式,在文献中却很少被研究.只有双线性模型作为它的一种特殊情况,在文献中有些应用和研究结果出现.现写出其模型于后,可供理解其双线性模型的含义
xt=∑j=1pαjxt-j+∑j=1qβjεt-j
+∑i=1P∑j=1Qθijεt-ixt-j.
在前一小节中的<
和<
式就是非线性自回归模型,而且属于可加噪声模型类.在这一小节里,我们将介绍几种<
式的常见的模型.
函数后的线性自回归模型:
f<
xt>
=α1f<
+α2f<
+...+αpf<
xt-p>
2.8>
其中f<
.>
是一元函数,它有已知和未知的不同情况,不过总考虑单调增函数的情况,α=<
α1,α2,…,αp>
τ是未知参数.在实际应用中,{xt}是可获得量测的序列.
当f<
是已知函数时,{f<
}也是可获得量测的序列,于是只需考虑yt=f<
所满足的线性AR模型
yt=α1yt-1+α2yt-2+...+αpyt-p+εt,
2.9>
此时可不涉与非线性自回归模型概念.在宏观计量经济分析中,常常对原始数据先取对数后,再作线性自回归模型统计分析,就属于此种情况.这种先取对数的方法,不仅简单,而且有经济背景的合理解释,它反应了经济增长幅度的量化规律.虽然在统计学中还有更多的变换可使用,比如Box-Cox变换,但是,由于缺少经济背景的合理解释,很少被使用.由此看来,当f<
有实际背景依据时,可以考虑使用<
式的模型.
是未知函数时,{f<
}不是可量测的序列,于是只能考虑<
模型.注意f<
是单调函数,可记它的逆变换函数为f-1<
于是由<
模型可得
xt=f-1<
α1f<
+...
+αpf<
+εt>
此式属于<
式的特殊情况,此类模型很少被使用.取而代之是考虑如下的模型
xt=α1f<
2.10>
是一元函数,也有已知和未知之分,可不限于单调增函数.此式属于<
式的特殊情况,有一定的使用价值.
当<
式中的f<
函数是已知时,此式还有更进一步的推广模型,
xt=α1f1<
xt-1,…,xt-s>
+α2f2<
+...+αpfp<
2.11>
其中fk<
k=1,2,…,p>
是已知的s元函数.
例如,以后将要多次提到的如下的模型:
xt=α1I<
xt-1<
0>
xt-1+α2I<
xt-1≥0>
xt-1+εt,
2.12>
其中I<
是示性函数.此模型是分段线性的,是著名的TAR模型的特殊情况.为了有助于理解它,我们写出它的分段形式:
xt=
t=1,2,…
请注意,<
式具有一个共同的特征,就是未知参数都以线性形式出现在模型中.这一特点在统计建模时带来极大的方便.此类模型便于实际应用.但是,对于{xt}而言不具有线性特性,所以,讨论它们的平稳解的问题,讨论它们的建模理论依据问题,都需要借助于马尔可夫链的工具.
已知非线性自回归函数的模型:
xt-1,xt-2,…,xt-p;
2.13>
是p元已知函数,但是其中含有未知参数α=<
τ.一般说来,α在一定X围内取值.
例如,
t=1,2,…
其中α=<
α1,α2>
τ是未知参数,它们的取值X围是:
-∞<
α<
∞,0≤α<
∞.
这里需要指出,使用上式的模型,不仅要借助于马尔可夫链的工具,而且在统计建模时遇到两种麻烦,其一是参数估计的计算麻烦,二是确定ϕ<
函数的麻烦.一般来说,只有根据应用背景能确定ϕ<
函数时,才会考虑使用此类模型.
广义线性模型<
神经网络模型>
α1xt-1+α2xt-2+…+αpxt-p>
2.14>
是一元已知或未知函数,参数α=<
τ总是未知的.为保证模型的唯一确定性,或者说是可识别性,要对α作些约定,其一,||α||=1,其二,α=<
τ中第一个非零分量为正的.不难理解,若不加这两条约定,模型<
不能被唯一确定.
当ϕ<
是一元已知函数时,与神经网络模型相通.
是一元未知函数时,与回归模型中的PP方法相通.
除了以上两类模型外,还有<
式的非参数自回归模型,以与从统计学中引入的半参数自回归模型.对它们的统计建模更困难.本讲座主旨在于介绍如何用马尔可夫链的工具,描述非线性自回归模型的基本特性问题,对这类模型不再仔细讨论.
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- 非线性 时间 序列