完整版培优专讲天津市南大附中初中竞赛内部讲义第十二讲一元一次不等式组的应用.docx
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完整版培优专讲天津市南大附中初中竞赛内部讲义第十二讲一元一次不等式组的应用
第十二讲:
一元一次不等式(组)的应用
、能力要求:
1•能够灵活运用有关一元一次不等式(组)的知识,特别是有关字母系数的不等式(组)的知识解决有关冋题。
2•能够从已知不等式(组)的解集,反过来确定不等式(组)中的字母系数取值范围,具备逆向思维的能力。
3•能够用分类讨论思想解有关问题。
4•能利用不等式解决实际问题
、典型例题
1
1.m取什么样的负整数时,关于x的方程-x1m的解不小于一3.
2
分析:
解方程得:
x=2m+2
由题意:
2m+2>-3,所以m》-2.5符合条件的m值为-1,-2
2.已知x、y满足x
分析:
解方程组x
x
2
2yaxy2a10且x3y1,求a的取值范围.
2ya0x5a2
得
y2a10y3a1
1
代入不等式,解得a-
2
3.比较a23a1和a22a5的大小
(作差法比大小)
解:
22
a3a1a2a5
22
a3a1a2a5
a6
(1)
当
a
6
0,即
a6时,
2a
3a
1
2a
2a5
(2)
当
a
6
0,即
a6时,
2a
3a
1
2a
2a5
(3)
当
a
6
0,即
a6时,
2a
3a
1
2a
2a5
{3x+y-k1
的取值范围
亠的解为x、y,且2 分析: 用整体代入法更为简单 3kx6y93 由2k,得 3kxk2y4k4 由43,得 k26y4k9 Qk260 原不等式组可化为 3k8>0 4k9<0 -8k9 34 k取整数值为: k2,1,1,2。 6•若2(a-3)<宁,求不等式呼<“的解集 分析: 解不等式2(a-3)v-一-得: a<20 37 亠ax4 由vx-a得(a-5)x<-a 5 20因为a<—所以a-5<0 7 于是不等式ax4vx-a的解集为x>—^ 5a5 7•阅读下列不等式的解法,按要求解不等式.不等式工丄0的解的过程如下: x2 x10x10 解: 根据题意,得0①或0② x20x20 解不等式组①,得x2;解不等式组②,得x1 所以原不等式的解为x2或 x1 请你按照上述方法求出不等式 x 2 0的解 军. x 5 分析: 典型错误解法: 由不等式—0得: x 2 0 或x 2 0 x5x 5 0 x 5 0 所以原不等式的解为x 5或 x 2 正确解法: 由不等式注0得: x2 0 或x20 x5 x5 0 x50 所以原不等式的解为x 5或 x 2 8.目前使用手机,有两种付款方式,第一种先付入网费,根据手机使用年限,平均每月分 摊8元,然后每月必须缴50元的占号费,除此之外,打市话1分钟付费0.4元;第二种方式将储值卡插入手机,不必付入网费和占号费,打市话1分钟0.6元•若每月通话时间为x分 解: %580.4xy20.6x (1)若yiy则580.4x0.6x解得: x290 所以当通话时间小于290分钟时,第二种方式合算 (2)若yiy2则580.4x0.6x解得: x290 所以当通话时间等于290分钟时,两种方式相同。 (3)若yiy2则580.4x0.6x解得: x290 所以当通话时间大于290分钟时,第一种方式合算。 9•某饮料厂开发了A、B两种新型饮料,主要原料均为甲和乙,每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示,现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产,计划生产A、B两种饮料共100 瓶,设生产A种饮料x瓶,解答下列问题: (1)有几种符合题意的生产方案? 写出解答过程; (2)如果A种饮料每瓶的成本为2.60元,B种饮料每瓶的成本为2.80元,这两种饮料成本总额为y元,请写出y与x之间的关系式,并说明x取何值会使成本总额最低? 原料名称 饮料名称 甲 乙 A 20克 40克 B 30克 20克 分析: (1)据题意得: 20x30100x2800 40x20100x2800 解不等式组,得20x40 因为其中的正整数解共有21个,所以符合题意的生产方案有21种 (2)由题意得: y2.6x2.8100x 整理得: y 0.2x280 因为y随x的增大而减小,所以x=40时,成本额最低 10•某家电生产企业根据市场调查分析决定调整生产方案,准备每周(按120个工时计算) 生产空调器,彩电,冰箱共360台,且冰箱至少生产40台,已知生产这些家电产品每台所 解: 设每周应生产空调器、彩电、冰箱分别是X台、y台、z台,设此时的产值为P万元 xyz360LL (1) 111 根据题意得: 2x3y4120Ll⑵ 0x360,0y360,40z360LL⑶ x,y,z均为整数LL(4) 1 x—z 由 (1)和 (2)知2 y3603z 2 解得: 40z240 13 P0.4x0.3y0.2z=0.4z0.3(360z)0.2z=1080.05z 要使P最大,只需z最小 当z40时 P最大=108-0.05X40=106(万元) 1此时x-z20(台) 2 3y360z300(台) 2 答: 每周应生产空调器20台、彩电300台、冰箱40台,才能使产值最高,最高产值是106 万元? 、【问题引入与归纳】 我国著名数学家华罗庚先生曾经说过: “先从少数的事例中摸索出规律来,再从理论上来证明这一规律的一般性,这是人们认识客观法则的方法之一”。 这种以退为进,寻找规律 的方法,对我们解某些数学问题有重要指导作用,下面举例说明。 能力训练点: 观察、分析、猜想、归纳、抽象、验证的思维能力。 、【典型例题解析】 3、用黑、白两种颜色的正六边形地面砖(如图所示)的规律,拼成若干个图案: (1)第3个图案中有白色地面砖多少块? (2)第n个图案中有白色地面砖多少块? 4、观察下列一组图形,如图,根据其变化规律,可得第10个图形中三角形的个数为多少? 第n个图形中三角形的个数为多少? 5、观察右图,回答下列问题: (1)图中的点被线段隔开分成四层,则第一层有1个点,第二层有 3个点,第三层有多少个点,第四层有多少个点? (2)如果要你继续画下去,那第五层应该画多少个点,第n层有多 少个点? (3)某一层上有77个点,这是第几层? (4)第一层与第二层的和是多少? 前三层的和呢? 前4层的和呢? 你有没有发现什么 规律? 根据你的推测,前12层的和是多少? 6、读一读: 式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和,由于上 100 述式子比较长,书写也不方便,为了简便起见,我们可将“1+2+3+4+5+…+100”表示为n, n1 这里“”是求和符号,例如“1+3+5+7+9+…+99”(即从1开始的100以内的连续奇数的和) 5010 可表示为(2n1);又如“132333435363738393103”可表示为n3,同学们, n1n1 通过以上材料的阅读,请解答下列问题: 为 7、 (1)2+4+6+8+10+…+100(即从2开始的100以内的连续偶数的和)用求和符号可表示 5 (2)计算: (n21)=(填写最后的计算结果) n1 观察下列各式,你会发现什么规律? 3X5=15,而15=4-15X7=35,而35=g-1 11X13=143,而143=12^-1 将你猜想的规律用只含一个字母的式子表示出来 &请你从右表归纳出计算 13+23+33+…+1003的值。 三、【跟踪训练题】1 1、有一列数a],a2,a3,a4Lan,其中: a1=6X2+1,a2=6X3+2,a3=6X4+3,a4=6X5+4;…贝U 第n个数an=,当an=2001时,n=。 2、将正偶数按下表排成5列 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第一行 2 4 6 8 第二行 16 14 12 10 第三行 18 20 22 24 28 26 根据上面的规律,则2006应在行列。 3、已知一个数列2,5,9,14,20,x,35…则x的值应为: () 4、在以下两个数串中: 1,3,5,7,…,1991,1993,1995,1997,1999和1,4,7,10,…,1990,1993, )个。 A.333B.334 1996,1999,同时出现在这两个数串中的数的个数共有( C.335D.336 r△△ △门△a||△ △△△ 3、学校阅览室有能坐4人的方桌,如果多于4人,就把方桌拼成一行,2张方桌拼成一行能坐6人(如右图所示)按照这种规定填写下表的空格: 4、 拼成一行的桌子数 1 2 3 … n 人数 4 6 … 6、给出下列算式: 32 12 8 1 52 32 8 2 72 52 8 3 92 72 8 4 观察上面的算式,你能发现什么规律,用代数式表示这个规律: 7、通过计算探索规律: 152=225可写成100X1X(1+1)+25 252=625可写成100X2X(2+1)+25 352=1225可写成100X3X(3+1)+25 452=2025可写成100X4X(4+1)+25 752=5625可写成 归纳、猜想得: (10n+5)2= 根据猜想计算: 19952= 1 8、已知122232n2—nn12n1,计算: 6 112+122+1于+…+192=; 9、从古到今,所有数学家总希望找到一个能表示所有质数的公式,有位学者提出: 当n是自然数时,代数式n2+n+41所表示的是质数。 请验证一下,当n=40时,n2+n+41的值是什么? 这位学者结论正确吗?
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