数值分析大作业讲解.docx
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数值分析大作业讲解
超声波对金属凝固
力学性能影响的曲线拟合
摘要:
本文采用了超声波功率从0W变化到700W时处理低熔点亚共晶Al-7.3%Si合金,对使用超声波的功率-抗拉强度曲线进行分析。
采用了多项式拟合的计算方法对给定的功率和测定的抗拉强度进行拟合。
首先采用线性方程对数值进行拟合,计算程序为采用C语言编程计算其参数,计算方法采用多项式进行拟合。
然后又采用二次多项式方程对数值进行拟合,计算方法与一次多项式拟合时一样,且采用C语言进行编程。
结果表明:
超声波处理提高了该合金的抗拉强度和延伸率,采用二次多项式进行拟合其误差较小,且能较好的符合功率-抗拉强度曲线之间的变化趋势。
关键词:
超声波,力学性能,最小二乘法,多项式拟合,C语言
1前言
现代科学技术的发展不仅对材料性能要求越来越高,而且对环保要求也日趋严格。
材料的环境协调性促使绿色材料加工技术的飞速发展,传统的冶金化学手段细化凝固组织工艺受到了环境理念的质疑和挑战,凝固技术正朝着高效,环保的方向发展。
如何能在不污染环境及材料的前提下实现对金属凝固过程和凝固组织的控制是冶金及材料工作者长期追求和奋斗的目标。
基于上述发展思路,在凝固过程中施加物理场处理技术成为提高材料性能的重要工艺手段之一。
外加物理场处理技术是在金属凝固前或凝固过程中对金属熔体施加物理场,利用金属和物理场相互作用,改善其凝固过程和组织的一种技术,该技术具有环境友好和操作简便等优点。
尤其是大功率超声波由于其独特的声学效应对金属凝固过程具有十分显著的影响,因此在材料领域的研究和应用再次成为热点。
其中超声波的功率对材料的力学性能具有重大的现实意义,为工艺参数的选择和工业应用提供了理论依据。
但是几个特定的功率并不能很好的反应材料在整个处理过程中的功率-抗拉强度变化。
因此就不能研究材料在处理过程中的力学性能变化的情况。
通过采用数值分析曲线拟合的知识可以较为简便的近似得出材料在处理过程中的功率-抗拉强度变化曲线,对实际工作中课题研究上影响很大。
2正文部分
(1)最小二乘法的基本原理
从整体上考虑近似函数同所给数据点(匸0,1,...,m)误差(i=0,1,...,m)的大小,常用的方法有以下三种:
一是误差(匸绝对值的最大值,即误差向量的8■范数;二是误差绝对值的和,即误差向量r的范数;三是误差平方和的算术平方根,即误差向量r的2•范数;前两种方法简单、自然,但不便于微分运算,后一种方法相当于考虑2■范数的平方,因此在曲线拟合中常采用误差平方和来度量误差(匸0,1,m)的整体大小。
在函数的最佳平方逼近中f(x)eC[^b],如果/⑴只在一组离散点集{兀」=0丄…〃?
}上给出,这就是科学实验中经常可以见到的实验数据
{(兀,兀),心0,1,...加}的曲线拟合,这里yt=f(xi\i=0,1,--•),要求一个函数y=S*⑴与所给的数据{(x.,yJ,i=0丄…〃7}拟合,若记误差=5*(兀)-y.,(/=0,1…加),5=(%,q,…刁”了,,设%(x),叭⑴,…©(%)是C[a,b]上线性无关函数族,在(p=span{(p0(x),(pY(x),«--(pn(x)}中找一个函数S*(x),使误差平方和
mm「[m2
HL=乞&=£卜匕)一yj=mm£[s(xj-yf]
(1)
z=0Z=0兀gg)
这里
s(X)=do00(x)+d]%(X)+…+Cin(pn(x)(n (2) 这就是一般的最近二乘逼近,用几何语言说,就称为曲线拟合的最小二乘法。 特别地,当n二1时,称为线性拟合或直线拟合。 用最小二乘法求拟合曲线时,首先要确定S(x)的形式,这不是单纯的数学问题,还与不仅是数学问题,还与问题的实际背景有关.通常要用问题的运动规律及给定的数据进行数据描图,确定S(x)的形式,然后通过实际计算选出较好的结果。 由多元函数求极值的必要条件,得 J=0丄…3 ⑶ (亍玉才-”国二0 叫•i-0JO 即 ftm 另(另尹血=23兀映,丿=o丄…少 A-C2-02-0(4) 即上式子为法方程组,其是关于妁W•处的线性方程组,用矩阵表示为 可以证明,方程组(5)的系数矩阵是一个对称正定矩阵,故存在唯一解。 从式(5)中解出耳(k=O,l,...,n),从而可得多项式 n 几0)二工弧J jo(6) 可以证明,式(6)中的/㈤满足式 (1),即以㈤为所求的拟合多项式。 我r(、—p 们把称为最小二乘拟合多项式/㈤的平方误差,记作 H厂另 i-0 多项式拟合的一般方法可归纳为以下儿步: 1)由己知数据画出函数粗略的图形一散点图,确定拟合多项式的次数g 3)写出正规方程组,求岀如吗严叫; n 几0)二工弧J 4)写出拟合多项式1。 在实际应用中,«当«时所得的拟合多项式就是拉格朗「]或牛顿插值多项式。 ⑵问题的描述 本文首先釆用此技术处理了低熔点亚共晶A1-7.3%Si合金,未处理试样的抗拉强度为155MPa,200W处理后试样的抗拉强度稍有提高为163MPa,随后400W和600W处理,试样抗拉强度分别为182MPa和ZllMPaz,700W超声波处理后,合金的抗拉强度达232MPa,比未处理试样的提高了50%〃。 试通过用多项式拟合的方法近似的计算合金在处理时的超声波功率-抗拉强度曲线。 测试的几个点如表1所示。 功率 /W 0 100 200 300 400 500 600 700 抗拉 强度 /Mpa 155 160 163 171 182 196 211 232 表1合金在超声波功率处理下的不同抗拉强度 为方便计算通过把表1中变换一下为表2 功率 /W 0 1 2 3 4 5 6 7 抗拉强度/Mpa 155 160 163 171 182 196 211 232 表2合金在超声波功率处理下的不同抗拉强度 (3)问题的求解过程 首先对数据进行一次多项式拟合即令Si(x)=a+bx,(po(x)=l,cpi(x)=x, (cpo,cpo)=22i=lxl+lxl+...1x1=8 j-0 ((pi,cpo)=(cpo,(pi)=£兀=0+1+2十・・・+7=28 /-0 ((pi,(pi)=^2x;=0+1+4+...+49=140 /-0 (f,cpo)=£”X1=155十160+163...十232=1470 1-0 由法方程组得: <828丫°_(1470) .28140丿匕广(5597丿 解得a=146.09b=10.76 因此其线性方程组为S】(x)=146.09+10.76% 然后再对数据进行一次多项式拟合即令Si(x)=a+bx+cx2,cpo(x)=l,(pi(x)=x,(p2(x)=x2 ((pi,(p2)=(甲2,(pi)=£#=°十1十8十…十343=784 i-O (cp2>(p2)=°十1十16十…十22401=4676 i-O (f,(P2)=52>•,.XX,2=0x155+1x160+4x163+...+49x232=29127 r-0 ((pi,(pi)=((p2,(po)=(cpo,(p2)=140 所以由上式且有法方程组得: ,8 28 140、 Q、 r1470、 28 140 784 b — 5597 J40 784 4676丿 、29127, 解得方程组得a=156.03b=0・82c=1.42 所以此二次多项式为S】(x)=156.03+0.82兀+1.42疋 以上结果的计算程序也可以通过C语言程序计算而來的,计算程序见附录。 (4)问题的计算结果及其分析 由编程程序可得一次多项式的结果如下: "C: \DocumentsandSettings\Administrator\桌面\Debug\l錢性(取1..toks、曲銭…-p, 换元三角直接分解系数LU矩阵: 解向量x二 0.28571429851.0000000000146.0833129883 0.69999998810.300000011910.7619094849 拟合曲线表达式为: f(x)二146.083313+10.761909x 偏差为: -8.9166870117-3・15478515634.60713195807.3690490723 7.13095092773.8928527832-0.3452301025-10.5833129883 均方差为: 18.5234712740 Pressanykeytocontinue 由编程程序可得二次多项式的结果如下: "C: \DocumentsandSettings\Administrator\^面\Debug\l线性(取1.x>x^2力…-□X 换元三角直接分解系数LU矩阵: 解向量忘 拟合曲线表达式为’f(x)二156.000076+0.845164x+l.416677/2 偏差为: 1.0000762939-1.73808288570.35711669920.2856597900 0.0475616455-0.35717773441.0714263916-0.6666107178 閤方差为: 2.4397502196 Pressanykeytocontinue (5)图形的对比 240 230・ 220・ ■ 210- 200- ■ 由以上计算结果可知: 1)由法方程组计算的一次和二次多项式与编程所得的式子高度一样,其误差可能是由计算机的舍入造成的 2)由计算的均方误差和偏差可知,二次多项式的均方误差和偏差比一次多项式都要小,且图形更加吻合。 这就说明用二次多项式拟合超声波功率-抗拉强度关系比一次多项式更好,更能吻合曲线的分布和趋势。 3参考文献 [11李清扬,王能超,易人义.数值分析[M].北京: 清华人学出版社,200&51-96 [2]谭浩强,C语言程序设计[M]•北京: 清华人学出版社,1991 [3]李红,徐长发.数值分析学习辅导.习题解析[M].武汉: 华中科技大学出版社, 2006,73-109 完成人签名: 完成时间: 2013-12-15 【附录】 1)用C语言编程一次多项式的程序如下: 严用二维数组实现2X3阶矩阵的三角直接分解(由于系数矩阵是对称正定矩阵,不必换元)a[i][j](i=O,l;j=O,l)用于存放系数矩阵A,a[i][2](i=0,l)ffl于存放向量b */ #include #include voidmain() { voidjuzh(floatb[2][3],floatfl[],floatxl[],mtn); voidzhy(floatb[2][3],intn); voidjie(floatb[2][3]); voidpia(floatb[],floatfl[]); floatss(floatb[]); floatx[8]={0,l,2,3,4,5,6,7}; floatf(8]={155,160,163,171,182,196,211,232}; floats[8]jp[2]; floata[2][3]; mtij; fdi(i=O;i<=l;i++) juzh(aXx,i); for(i=0;i<=1;i-H-)/*求比例因子*/ {ip[i]=a[i][OJ; for(j=Oj<=lJ++) {if(fabs(ip[i]) ip[i]=a[i]|j]; } } fdi(i=O;i<=l;i++) {for(j=0j<=2j++) } fdi(i=O;i<=l;i++) zhy(a,i); Jie(a); fdi(i=0;i<=7;i++) {s[i]=a[0][2]+a[l][2]*x[iJ; } pia(s,f); pmitf(”换元三角直接分解系数LU矩阵: 解向量x=“); fdi(i=O;i<=l;i++) {for(j=0j<=2j++) {if(j%3=0) pnntf(M%5.10f>[1]0]); } } prmtf(”拟合曲线表达式为: f(x)=%.6f4-%.6fx",a[0][2],a[l][2]);pmitfCE); pmitf(”偏差为: ”); fbi(i=0;i<=7;i++) {if(i%4=0)pnntffW); pnntf(M%.10fM,s[i]); } prmtf(”\n”); prmtf(”均方差为: ”); pnntff*%.10f\ss(s)); pmitfCE); } voidjuzh(floatb[2][3],floatfl[],floatxl[]jntn)/*求内积矩阵(法方程)*/{mti,j;floatsum=O; fbr(i=O;i<=l;i++) {sum=0; fbr(j=Oj<=7j++) sum+=pow(xl[j]4i)*pow(xl[j]a); b[n][i]=sum;} sum=0; fbi(i=O;i<=7;i++) sum+=pow(xl[i],n)*fl[i]; b[n][2]=sum; } voidzhy(floatb[2][3],iiitn)/*换元三角分解*7 {mti,j; floatsum=O; if(n=0) {fbr(i=n;i<=l;i++) b[i][n]=b[i][n]; } else {fbr(i=n;i<=l;i++) {sum=0; foi(j=O;j<=n-l;j++) sum-=b[i][j]*b|j][n]; b[i][n]=b[i][n]+sum; } } fbi(i=n+1;i<=1;i++) (主yoAJE •r.3oHumsleos(口qleou)ss-eou宀 宀 EIHS丄Te(++.Y20L).屉•rmsaleoDaqwoswdPOA s曰q/E日qnEsqwms+g日qHEKlq^•sq*s=q=-nms (丄T oHums)、卜xn^^*、(ixohao.! l=£xEsqMEEq)丄dsq oHums sms+smqnsEqxesq*曰曰qKnms(++r-7'ilvroHn.TE oHums) ・*qd告密体 =■5.3oHumsleos (Egq-couv二P-OA "ums+曰sq丄saq「三曰q*mu」qqums(++r打UHVroHmE oHums)(++「T2T+uA・g 宀3旦qlssq(++「T2T+uA・g (ORS七oHums "Egq/g曰qHgKlq sum=sum+b[i]*b[i];} sum=sqrt(sum);return(sum); } 2)用C语言编程二次多项式的程序如下: *用二维数组实现3X4阶矩阵的三角直接分解(由于系数矩阵是对称正定矩阵,可不必换元)a[i][j](i=0,l,2j=0,l,2)ffl于存放系数矩阵A,a[i][习(i-0,1,2)用于存放向量b */ #include #include voidmain() { voidjuzh(floatb[3][4],floatfl[],floatxl[]jntn); voidzhy(floatb[3][4].iiitn); voidjie(floatb[3][4]); voidpia(floatb[],floatfl[]);floatss(floatb[]); floatx[8]={0,l,2,3,4,5,6,7}; floatf[8]={155,160,163,171,182,196,211,232}; floats[8]jp[3]; floata[3][4]; mtij; fbr(i=0;i<=2;i-H-) juzh(a.f^i); for(i=0;i<=2;i-H-)/*求比例因子*/ {ip[i]=a[i][0]; for(j=0;j<=2j++) {if(fabs(ip[i]) ip[i]=a[i]|j]; } } fbr(i=0;i<=2;i-H-) {for(j=0j<=3j++) a[i][j]=a[i][jFip[i]; } fbr(i=0;i<=2;i-H-) zhy(a,i); Jie(a); fbr(i=0;i<=7;i-H-) {s[i]=a[0][3]+a[l][3]*x[i]+a[2][3]*pow(x[i],2); } pia(s,f); pmitf(”换元三角直接分解系数LU矩阵: 解向量x=“); fbr(i=0;i<=2;i-H-) {for(j=0j<=3j++) {if(j%4=0) pnntf(M%5.10f } } printfC1拟合曲线表达式为: f(x)=%・6f^%・6fx+%・6ficA2”,a[0][3],a[l][3],a[2][3]); pmitfpE); pmitf(”偏差为: ”); foi(i=0;i<=7;i++) {if(i%4=0)pnarffg”); pnntf(M%.10fH? s[i]); } pnntf(n\nn); prmtf(”均方差为: ”); printf(M%.10f\ss⑸); pmitfpE); } voidjuzh(floatb[3][4],floatfl[],floatxl[]jntn)严求内积矩阵(法方程)*/ {mtij; floatsum=O; foi(i=0;i<=2;i++) {sum=0; for(j=0j<=7j++) sum+=pow(xl[j]4i)*pow(xl b[n][i]=sum;} sum=0; foi(i=0;i<=7;i++) sum+=pow(xl[i],n)*fl[i]; b[n][3]=sum; } voidzhy(floatb[3][4],intn)/*换元三角分解*/ {mtij; floatsum=O; if(n=0) {foi(i=n;i<=2;i++) b[i][n]=b[i][n]; } else {foi(i=n;i<=2;i++) {sum=0; for(j=OJ<=n-lj++) sum-=b[i][j]*b[j][n]; b[1][n]=b[1][n]+sum; } } J=n; for(i=n+1;i<=2;i++) b[i][n]=b[i][n]/b[n][n]; sum=0; 日ms+EmqHEKlq^==q*m二qLuns oHums) Tqd告密抹M++^HvmL)尼 =■5.3oHumsleos (gEq-couv二PTOA 日ms+三sq丄二sqs曰q*二sqLuns(++r-「UHV「oHmE oHums)(£e2T+UHv& UST: 宀s巨qHsgq(£e2T+UHv& (ORS七 「•sq*二q+umsHums (主yoAJE •r.3 oHumsleos (口qleou)ss-eou 宀 宀 EIHS丄Te •rmaaleoaaqleoswdPOA 3曰q/EaqnEaq"ums+Eaq丄uaq」E曰q*mxLuns(丄I+T4E尼oHums)、*A=xn密抹tT-oHcmLMExssqMEsqfEsqoHums }sum=sqrt(sum);retuin(sum); } 〔值分析课程学习心得体会 在当今信息时代,数学知识在科学研究、工程技术、人文社会科学以及经济 生活等领域中的作用越來越显现重要。 可以说,通过数值分析课程的学习,不仅使我们获取一定的数学算法理论和算法应用能力,而更重要的是培养我们今后的科学素质,开发我们的创新意识,培育我们的创新能力。 所以数值分析课程在数学专业和工科有关专业的课程体系中占有十分特殊的地位。 为此我对于这一学期的数值分析课程具有很深的体会及感悟。 数值分析课程的内容是研究算法,其基础是数学分析与微分方程(或高等数学),高等代数(或线性代数),要学好数值分析课程,必须对以上的有关内容比较熟悉。 数值分析课程内容既有纯数学的高度抽象性、严密的理论性和逻辑性,乂有应用的广泛性与实际实验的技术性、近似性。 即理论与实践的紧密结合是课程的特点之一。 这对于层次不齐的我们來说带來了一定的困难,所以对同一个问题,我们给出的算法可能是不同的,从而应用效果也有一定区别。 数值分析课程中的内容都是为了解决实际问题而产生的,所以课程内容具有广泛的物理背景或实际应用价值。 其各类算法在许多工程设计、科学计算、社会、经济和生态领域的问题中都有广泛的应用。 随着计算技术与科学技术的发展,算法在更多的领域内发挥越來越重要的核心作用。 研究算法是为了更好地解决实际问题,因此课程内容对培养我们解决实际问题的能力有很大的作用,对培养我们的创新意识和科学素养有重要的帮助。 在一开始,我就问我们的黄老师,问“为什么要学这个课或内容? 学了有什么用”? 后来慢慢才发现我们是要真正的理解这些思想,因为这些思想才是真正接近生活的。 我们不能满足于能够运用定理而己,我们更要结合实际深刻的理解定理、算法,不断的有意识的无意识的发现并接受定理、算法中蕴含的思想。 让这些思想内化为自我知能的一部分,去引领我们的生活。 我认为这样的数学才是美的。 这样不断有意识无意识的将本己工具化的数学转化为内在的知识,进而真正让数学帮助我们全方位的成长。 比如“等价转换”的思想,这里的“等价”不是完全意义上的“等价”,而是要求转换前后转换主体的主要特征没变。 插值法的基本思想是抓住己知函数或者己知点的儿个主要特征,用另外一个具备了这几个主要特征的简单的函数來代替己知函数或拟合己知数据点。 埃尔米特插值就是要求插值多项式在节点上与原函数的函数值,节点上对应的导数值相等;数值积分和数值微分中的主要思想是设法构造某个简单函数p(“近似f(x),然后对p(x)求积(求导)得到f(x)的积分(导数)的近似值。 对于这门课程來说,也给我在精神上带來感悟,主要有一下几点: 第一,兴趣,爱因斯坦说过“兴趣是最好的老师。 ”我觉得非常有道理,我曾对于数学很感兴趣,因此在学习过程中不会感到枯燥乏味,一个人一旦对某事
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