八年级数学各章知识点归纳和常考题训练.docx
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八年级数学各章知识点归纳和常考题训练
全等三角形知识点总结和常考题
知识点
1.基本定义:
⑴全等形:
能够完全重合的两个图形叫做全等形.
⑵全等三角形:
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
⑶对应顶点:
全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.
⑷对应边:
全等三角形中互相重合的边叫做对应边.
⑸对应角:
全等三角形中互相重合的角叫做对应角.
2.基本性质:
⑴三角形的稳定性:
三角形三边的长度确定了,这个三角形的形状、大小就全确定,这个性质叫做三角形的稳定性.
⑵全等三角形的性质:
全等三角形的对应边相等,对应角相等.
3.全等三角形的判定方法:
⑴边边边(SSS):
三边对应相等的两个三角形全等.
⑵边角边(SAS):
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
⑶角边角(ASA):
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
⑷角角边(AAS):
两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.
⑸斜边、直角边(HL):
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
4.角平分线:
⑴画法:
⑵性质定理:
角平分线上的点到角的两边的距离相等.
⑶性质定理的逆定理:
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
5.证明的基本方法:
⑴明确命题中的已知和求证.(包括隐含条件,如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系)
⑵根据题意,画出图形,并用数字符号表示已知和求证.
⑶经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程.
常考题提高练习
一.选择题
1.使两个直角三角形全等的条件是(
)
A.一个锐角对应相等
B
.两个锐角对应相等
C.一条边对应相等
D.两条边对应相等
2.尺规作图作∠AOB的平分线方法如下:
以O为圆心,任意长为半径画弧交
OA,OB于C,D,再分别以点C,D为圆心,以大于
CD长
为半径画弧,两弧交于点
P,作射线OP由作法得△OCP≌△ODP的根据是(
)
A.SAS
B
.ASA
C
.AAS
D
.SSS
3.如图,△ACB≌△A′CB′,∠BCB′=30°,则∠ACA′的度数为(
)
A.20°
B
.30°
C
.35°
D.40°
4.如图,AD是△ABC中∠BAC的角平分线,
DE⊥AB于点E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC长是(
)
A.3
B
.4
C
.6
D
.5
第1页(共18页)
5.如图,直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则供选择的地址有()
A.1处B.2处C.3处D.4处
二.填空题
1.(西区期末)如图,已知AB∥CF,E为DF的中点,若AB=9cm,CF=5cm,则BD=cm.
2.(期末)如图,△ABC≌△ADE,∠B=100°,∠BAC=30°,那么∠AED=度.
3.(模拟)如图,△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,AB=5,CD=2,则△ABD的面积是.
4.(区二模)如图所示,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是
带去玻璃店.
三.解答题。
1.已知:
如图,OP是∠AOC和∠BOD的平分线,OA=OC,OB=OD.求证:
AB=CD.
2.已知,如图所示,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,求证:
DE=DF.
第2页(共18页)
3.已知:
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF的延长线交DC于点E.求
证:
(1)△BFC≌△DFC;
(2)AD=DE.
4.如图,点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点,且BM=CN,AM交BN于点P.
(1)求证:
△ABM≌△BCN;
(2)求∠APN的度数.
5.已知:
如图,△ABC和△DBE均为等腰直角三角形.
(1)求证:
AD=CE;
(2)求证:
AD和CE垂直.
A
D
BC
E
第3页(共18页)
轴对称知识点总结和常考题
一、知识框架:
二、知识概念:
1.基本概念:
⑴轴对称图形:
如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形.
⑵两个图形成轴对称:
把一个图形沿某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称.
(3)线段的垂直平分线:
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.
(4)等腰三角形:
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角.
(5)等边三角形:
三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
2.基本性质:
⑴对称的性质:
①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称,对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
②对称的图形都全等.
③如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。
④两个图形关于某条直线成轴对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上。
⑵线段垂直平分线的性质和判定:
①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
②到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
.
⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质
①点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(
x,-y
).
②点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(
-x,y
).
③点(x,y)关于原点对称的点的坐标为(
-x,-y
)
⑷等腰三角形的性质和判定:
①等腰三角形两腰相等.
②等腰三角形两底角相等(等边对等角).
③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线,底边上的高相互重合(三线合一).
④等腰三角形是轴对称图形.
⑸等边三角形的性质和判定:
①等边三角形三边都相等.
②等边三角形三个内角都相等,都等于60°
③等边三角形每条边上都存在三线合一.
④等边三角形是轴对称图形,对称轴是三线合一(3条).
(6)三角形三条边的垂直平分线相交于一点,这个点到三角形三个顶点的距离相等
3.基本判定:
第4页(共18页)
⑴等腰三角形的判定:
①有两条边相等的三角形是等腰三角形.
②如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边).
⑵等边三角形的判定:
①三条边都相等的三角形是等边三角形.
②三个角都相等的三角形是等边三角形.
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
4.尺规作图基本方法:
作已知直线的垂线:
作已知线段的垂直平分线:
作对称轴:
连接两个对应点,作所连线段的垂直平分线
作已知图形关于某直线的对称图形:
在直线上作一点,使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短。
常考题提高练习
一.选择题
1.下列图形中,不是轴对称图形的是()
2.如图,∠3=30°,为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中,那么击打白球时,必须保证∠1的度数为()
A.30°B.45°C.60°D.75°
3.如图,△ABC中,AB=AC,∠B=70°,则∠A的度数是()
A.70°B.55°C.50°D.40°
4.若等腰三角形的两边长分别为4和8,则它的周长为()
A.12B.16C.20D.16或20
第5页(共18页)
二.填空题
1.如图,AC,BD相交于O,AB∥DC,AB=BC,∠D=40°,∠ACB=35°,则
∠
AOD=
.
2.如图,在3×3的正方形网格中,已有两个小正方形被涂黑,再将图中其余小正方形任意涂黑一个,使整个图案构成一个轴对称图
形的方法有种.
3.如图,△ABC中,D,E分别是AC,AB上的点,BD与CE交于点O.给出下列三个条件:
①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=
CD.上述三个条件中,哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出一种情形):
.
4.如图,已知∠AOB=30°,OC平分∠AOB,在OA上有一点M,OM=10cm,现要在OC,OA上分别找点Q,N,使QM+QN最小,则其
最小值为.
三.解答题。
1.如图,小河边有两个村庄A、B,要在小河的对岸EF建一个自来水厂P,分别向两村庄供水,要使厂部到两村的水管最省料,应建在什么地方?
(保留作图痕迹)
ABD
CF
E
2.如图:
某地有两所大学和两条相交叉的公路,(点M,N表示大学,AO,BO表示公路).现计划修建一座物资仓库,希望仓库到两所
大学的距离相等,到两条公路的距离也相等.你能确定仓库应该建在什么位置吗?
在所给的图形中画出你的设计方案.
A
M
O
N
B
3.如图,写出△ABC的各顶点坐标,并画出△ABC关于Y轴对称的△A1B1C1,写出△ABC关于X轴对称的△A2B2C2的各点坐标.
4.如图,给出五个等量关系:
①ADBC②ACBD③CEDE④DC⑤DAB
CBA.请你以其中两
个为条件,另三个中的一个为结论,推出一个正确的结论(只需写出一种情况),并加以证明.
已知:
求证:
D
C
证明:
E
AB
5.如图,已知在△ABC中,AB=AC,D是AB上一点,DE⊥BC,E是垂足,ED的延长线交CA的延长线于点F,
求证:
AD=AF.
6.如图,在△ABC中,AB=AC,在AB上取一点E,在AC延长线上取一点F,使BE=CF.
求证:
EG=FG。
第7页(共18页)
7.如图:
△ABC和△ADE是等边三角形,AD是BC边上的中线.求证:
BE=BD。
新课标第一A
网
E
BDC
8.在△ABC中,ACB90,AC
BC,直线MN经过点
C,且AD
MN于D,BE
MN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:
DEAD
BE;
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,
(1)中的结论还成立吗?
若成立,请给出证明;若不成立,说明理由.
第8页(共18页)
整式的乘法与因式分解知识点总结和常考题
知识点
1.基本运算:
⑴同底数幂的乘法:
amanamn
⑵幂的乘方:
amnamn
⑶积的乘方:
abnanbn
2.整式的乘法:
⑴单项式单项式:
系数系数,相同字母相同字母,不同字母为积的因式.
⑵单项式多项式:
用单项式乘以多项式的每一项.
⑶多项式多项式:
用一个多项式每一项乘以另一个多项式每一项.
3.乘法公式:
⑴平方差公式:
ababa2b2
⑵完全平方公式:
ab2a22abb2;ab2a22abb2
4.整式的除法:
⑴同底数幂的除法:
am
an
amn
⑵单项式
单项式:
系数
系数,同字母
同字母,不同字母作为商的因式.
⑶多项式
单项式:
用多项式每一项分别除以单项式.
5.因式分解:
把一个多项式化成几个整式的积的形式
这种变形叫做把这个式子因式分解.
6.因式分解方法:
⑴提公因式法:
找出最大公因式.
⑵公式法:
①平方差公式:
a2b2abab
②完全平方公式:
a2
2abb2
a
2
b
③立方和:
a3
b3
(a
b)(a2
ab
b2)
④立方差:
a3
b3
(a
b)(a2
ab
b2)
第9页(共18页)
⑶十字相乘法:
x2pqxpqxpxq
⑷拆项法
⑸添项法
常考题提高练习
一.选择题
1.下列运算中,结果正确的是(
)
A.x3?
x3=x6
B
.3x2+2x2=5x4
C.(x2)3=x5
D.(x+y)2=x2+y2
2.计算(ab2)3的结果是(
)
A.ab5
B
.ab6
C
.a3b5
D
.a3b6
3.计算2x2?
(﹣3x3)的结果是(
)
A.﹣6x5
B
.6x5
C
.﹣2x6
D.2x6
4.下列各式由左边到右边的变形中,是分解因式的为()
A.a(x+y)=ax+ay
B
.x2
﹣4x+4=x(x﹣4
)+4
C.10x2﹣5x=5x(2x﹣1)
D.x2
﹣16+3x=(x﹣4
)(x+4)+3x
5.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()
2
2
2
2
﹣y
2
2
+9
A.a+(﹣b)
B.5m﹣20mn
C.﹣x
D.﹣x
6.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是()
A.x2+x+1B.x2+2x﹣1C.x2﹣1D.x2﹣6x+9
7.下列因式分解错误的是(
)
A.x2﹣y2=(x+y)(x﹣y)
B.x2+6x+9=(x+3)2
C.x2+xy=x(x+y)D
.x2+y2=(x+y)2
8.把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式,下列结果中正确的是(
)
A.a(x﹣2)2
B
.a(x+2)2
C.a(x﹣4)2
D
.a(x+2)(x﹣2)
9.(x+m)(x+3)的乘积中不含
x的一次项,则m的值为(
)
A.﹣3
B
.3
C
.0
D
.1
10.在边长为a的正方形中挖去一个边长为
b的小正方形(a>b)(如图甲),把余下的部分拼成一个矩形(如图乙),根据两个图
形中阴影部分的面积相等,可以验证(
)
第10页(共18页)
A.(a+b)2=a2+2ab+b2B.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2C.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)D.(a+2b)(a﹣b)=a2+ab﹣2b2
11.图
(1)是一个长为2a,宽为2b(a>b)的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长
方形,然后按图
(2)那样拼成一个正方形,则中间空的部分的面积是()
A.ab
B
2
C
2
D
2
2
.(a+b)
.(a﹣b)
.a﹣b
二.填空题
分解因式:
3x2﹣27=
.x
3﹣4x=
.2a
2﹣4a+2=
.ab
2﹣2ab+a=
.
三.解答题
1.计算:
(x﹣y)2﹣(y+2x)(y﹣2x)
2.若2x+5y﹣3=0,求4x?
32y的值.
3.已知:
a+b=3,ab=2,求下列各式的值:
(1)a2b+ab2
(2)a2+b2.
4.若x+y=3,且(x+2)(y+2)=12.
(1)求xy的值;
(2)求x2+3xy+y2的值.
5.先化简,再求值3a(2a2﹣4a+3)﹣2a2(3a+4),其中a=﹣2.
第11页(共18页)
6.计算(2a+b+1)(2a+b﹣1)
7.分解因式:
(1)a4﹣16;
(2)x2﹣2xy+y2﹣9;
(3)x2(x﹣y)+(y﹣x);(4)a2(x﹣y)+16(y﹣x);
(5)(x2+y2)2﹣4x2y2.
8.若x2+2xy+y2﹣a(x+y)+25是完全平方式,求a的值.
第12页(共18页)
分式知识点总结和常考题
知识点:
1.
分式:
形如
A
B不等于0的整式叫做分式.其中A叫做分式的分子,
B叫做分式的分母.
,A、B是整式,B中含有字母且
B
2.
分式有意义的条件:
分母不等于0.
3.
分式的基本性质:
分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为
0的整式,分式的值不变.
4.
约分:
把一个分式的分子和分母的公因式
(不为1
的数)约去,这种变形称为约分.
5.
通分:
异分母的分式可以化成同分母的分式,这一过程叫做通分.
6.
最简分式:
一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式,约分时,一般将一个分式化为最简分式
.
7.分式的四则运算:
⑴同分母分式加减法则:
同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.用字母表示为:
abab
ccc
⑵异分母分式加减法则:
异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示
a
c
adcb
为:
d
bd
b
.用字母表示为:
a
c
ac
⑶分式的乘法法则:
两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分
母相乘的积作为积的分母
b
d
bd
⑷分式的除法法则:
两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘
.用字母表示为:
a
c
a
d
ad
b
d
b
c
bc
⑸分式的乘方法则:
分子、分母分别乘方.用字母表示为:
8.整数指数幂:
⑴am
an
amn(m、n是整数)
⑵
am
n
amn(m、n是整数)
⑶
ab
n
anbn(n是整数)
⑷am
an
amn(a
0,m、n是整数)
n
n
⑸
a
an(n是正整数)
b
b
anan
bbn
第13页(共18页)
⑹an1(a
0,n是正整数)
an
9.分式方程的意义:
分母中含有未知数的方程叫做分式方程
.
10.分式方程的解法
:
①去分母(方程两边同时乘以最简公分母
将分式方程化为整式方程
);②按解整式方程的步骤求出未知
数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根
因为在把分式方程化为整式方程的过程中
扩大了未知数的取值范围
可能产
生增根).
常考题提高训练
一.选择题。
1.在式子、、、、、中,分式的个数有()
A.2个B.3个C.4个D.5个
2.化简的结果是()
A.x+1B.x﹣1C.﹣xD.x
3.如果把分式中的x和y都扩大2倍,则分式的值()
A.扩大4倍B.扩大2倍C.不变D.缩小2倍
4.把分式方程的两边同时乘以(x﹣2),约去分母,得()
A.1﹣(1﹣x)=1B.1+(1﹣x)=1C.1﹣(1﹣x)=x﹣2D.1+(1﹣x)=x﹣2
5.化简÷(1+)的结果是()
A.B.C.D.
6.计算的结果为()
A.B.C.D.
7.已知关于x的分式方程+=1的解是非负数,则m的取值范围是()
A.m>2B.m≥2C.m≥2且m≠3D.m>2且m≠3
8.下列运算正确的是()
A.a2?
a3=a6B.()﹣1=﹣2C.=±4D.|﹣6|=6
第14页(共18页)
9.某服装加工厂计划加工
400套运动服,在加工完
160套后,采用了新技术,工作效率比原计划提高了
20%,结果共用了
18天完成
全部任务.设原计划每天加工
x套运动服,根据题意可列方程为(
)
A.
B
.
C.
D
.
10.货车行驶25千米与小车行驶
35千米所用时间相同,已知小车每小时比货车多行驶
20千米,求两车的速度各为多少?
设货车的速
度为x千米/小时,依题意列方程正确的是(
)
A.
B
.
C.
D.
11.A,B两地相距48千米,一艘轮船从A地顺流航行至B地,又立即从
B地逆流返回A地,共用去
9小时,已知水流速度为
4千米/
时,若设该轮船在静水中的速度为
x千米/
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