全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法有答案Word格式文档下载.docx
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例3、如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证:
AD平分/BAE.
应用:
1、(09崇文二模)以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰
RtACE,BADCAE90,连接DE,M、N分别是BC、DE的中点.探究:
AM与DE的位置关系及数量关系.
(1)如图①当ABC为直角三角形时,AM与DE的位置关系是,
线段AM与DE的数量关系是;
(2)将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(0<
<
90)后,如图②所示,
(1)问中得到的两个结论是否发生改变?
并说明理由.
二、截长补短
1、如图,ABC中,AB=2AC,AD平分BAC,且AD=BD,求证:
CD丄AC
求证:
AC1800
5、如图在厶ABC中,AB>
AC,/1=Z2,P为AD上任意一点,求证;
AB-AC>
PB-PC
C
如虱在四边JgAltCD申点丘毘皿上一个动点.若乙疗朋二血・R
肚"
叭判斷J/J>
MC*-j恥的关系幷征期你的结i:
、平移变换
例1ADABC的角平分线,直线MN丄AD于A.E为MN上一点,△ABC周长记
为FA,△EBC周长记为PB.求证PB>
PA.
例2如图,在△ABC的边上取两点D、E,且BD=CE,求证:
AB+AOAD+AE.
四、借助角平分线造全等
1、如图,已知在厶ABC中,/B=60
OE=OD
2、如图,△ABC中,AD平分/BAC,DG丄BC且平分BC,DE丄AB于E,DF丄AC
于F.
(1)说明BE=CF的理由;
(2)如果AB=a,AC=b,求AE、BE的长.
应用:
1、如图①,0P是/MON的平分线,请你利用该图形画一对以0P所在直线为对称轴的全
等三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:
(1)如图②,在△ABC中,/ACB是直角,/B=60°
AD、CE分别是/BAC、/BCA的平分线,AD、CE相交于点F。
请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;
(2)
如图③,在△ABC中,如果/ACB不是直角,而⑴中的其它条件不变,请问,
五、旋转
例1正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求/EAF
分别交BC,CA于点E,F。
的度数•
例2D为等腰RtABC斜边AB的中点,DM丄DN,DM,DN
(1)当MDN绕点D转动时,求证DE=DF。
例3如图,ABC是边长为3的等边三角形,BDC是等腰三角形,且BDC120°
以D为顶点做一个60°
角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则AMN
的周长为
1、已知四边形ABCD中,ABAD,BCCD,ABBC,/ABC120o,
ZMBN60o,/MBN绕B点旋转,它的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)于E,F.
当ZMBN绕B点旋转到AECF时(如图1),易证AECFEF.
当ZMBN绕B点旋转到AECF时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成
立?
若成立,请给予证明;
若不成立,线段
AE,CF,EF又有怎样的数量关系?
请写出
你的猜想,不需证明.
2、(西城09年一模)已知:
PA=2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点
落在直线AB的两侧.
(1)如图,当/APB=45°
时,求AB及PD的长;
(2)当/APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应/APB的大小.
(3)
图1图2图3
(I)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数
Q
量关系是;
此时一;
L
(II)如图2,点M、N边AB、AC上,且当DMDN时,猜想(I)问的两个结论还成立吗?
写出你的猜想并加以证明;
(III)如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,
若AN=X,贝UQ=(用x、L表示).
参考答案与提示
解:
延长AD至E使AE=2AD,连BE,由三角形性质知
AB-BE<
2AD<
AB+BE故AD的取值范围是1<
AD<
4
例2、如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE丄DF,D是中点,试比较BE+CF
与EF的大小.
(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长FD至G使FG=2EF,连BG,EG,
显然BG=FC,
在厶EFG中,注意到DE丄DF,由等腰三角形的三线合一知
EG=EF
在厶BEG中,由三角形性质知
EG<
BG+BE
故:
EF<
BE+FC例3、如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证:
延长AE至G使AG=2AE,连BG,DG,
显然DG=AC,/GDC=/ACD
由于DC=AC,故/ADC=/DAC
在厶ADB与厶ADG中,
BD=AC=DG,AD=AD,
/ADB=/ADC+/ACD=/ADC+/GDC=ZADG
故厶ADBADG,故有/BAD=/DAG,即AD平分/BAE
腰RtACE,BADCAE90-连接de,M、N分别是BC、DE的中点•探究:
AM
与DE的位置关系及数量关系.
(1)如图①当ABC为直角三角形时,AM与DE的位置关系是,
(2)将图①中的等腰RtABD绕点a沿逆时针方向旋转(0<
90)后,如图②所示,
(1)问中得到的两个结论是否发生改变?
(1)ED2AM,AMED;
证明:
延长AM到G,使MGAM,连BG,贝UABGC是平行四边形
•••ACBG,ABGBAC180又•••DAEBAC180
•ABGDAE
再证:
DAEABG
•••DE2AM,BAGEDA
延长MN交DE于H
•/BAG
DAH
90
•HDA
•••AMED
(2)结论仍然成立.
如图,延长CA至F,使ACFA,FA交DE于点P,并连接BF
DABA,
EAAF
BAF90
DAF
EAD
在FAB和
EAD中
FAAE
BAFEAD
BADA
•FABEAD(SAS)
•BFDE,FAEN
•FPDFAPEAEN90
•FBDE
又•••CAAF,CM
MB
•AM//FB,且AM
1FB
2
•AMDE,AM-DE
1、如图,ABC中,AB=2AC,AD平分BAC,且AD=BD,求证:
CD丄AC解:
(截长法)在AB上取中点F,连FD
△ADB是等腰三角形,F是底AB中点,由三线合一知
DF丄AB,故/AFD=90°
△ADF◎△ADC(SAS)
/ACD=ZAFD=90。
即:
2、如图,AD//BC,EA,EB
(截长法)在AB上取点
△ADE◎△AFE(SAS)
/ADE=ZAFE,
/ADE+/BCE=180°
/AFE+/BFE=180°
故/ECB=ZEFB
△FBECBE(AAS)
故有BF=BC从而;
AB=AD+BC
3、如图,
已知在△ABC内,
BAC60,
C400,P,Q分别在BC,CA上,并且
AP,BQ
分别是BAC,
ABC的角平分线。
BQ+AQ=AB+BP
(补短法,计算数值法)延长AB至D,使BD=BP,连DP在等腰△BPD中,可得/BDP=40
从而/BDP=40°
=ZACP
△ADPACP(ASA)故AD=AC
又/QBC=40°
=ZQCB故BQ=QC
BD=BP
从而BQ+AQ=AB+BP
4、如图,在四边形
ABCD中,BC>
BA,AD=CD,BD平分ABC,
A
C1800
(补短法)延长
BA至F,使BF=BC,连FD
△BDF◎△BDC(SAS)
故/DFB=ZDCB
又AD=CD
FD=DC
故在等腰厶BFD中
/DFB=ZDAF
故有/BAD+/BCD=180
(补短法)延长AC至F,使AF=AB,连PD
△ABP◎△AFP(SAS)
故BP=PF
由三角形性质知
PB—PC=PF—PC<
CF=AF—AC=AB—AC
如虱在四边JgAlfCO中*仞/7肮\点遐是曲上一个诵点,若ABBC,Fl
斷小!
-jBC的关系并证明你的结唸.
分析:
此题连接AC,把梯形的问题转化成等边三角形的问题,然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题。
有BCADAE
连接AC,过E作EF〃BC并AC于F点
则可证AEF为等边三角形
即AEEF,AEFAFE60
•••CFE120
又•••AD//BC,B60
BAD120
又•••DEC60
•AEDFEC
在ADE与FCE中
EADCFE,AEEF,AEDFEC
•ADEFCE
•ADFC
•BCADAE
点评:
此题的解法比较新颖,把梯形的问题转化成等边三角形的问题,然后利用全等三角
形的性质解决。
例1AD为厶ABC的角平分线,直线MN丄AD于A.E为MN上一点,△ABC周长记
为PA,△EBC周长记为Pb.求证Pb>
FA.
(镜面反射法)延长BA至F,使AF=AC,连FE
ADABC的角平分线,MN丄AD
知/FAE=ZCAE
故有
△FAE◎△CAE(SAS)
故EF=CE
在厶BEF中有:
BE+EF>
BF=BA+AF=BA+AC
从而Pb=BE+CE+BC>
BF+BC=BA+AC+BC=Pa
AB+AC>
AD+AE.
取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN.
•••BD=CE,
•••DM=EM,
•••△DMNEMA(SAS),
•••DN=AE,
同理BN=CA.
延长ND交AB于P,贝UBN+BP>
PN,DP+PA>
AD,
相加得BN+BP+DP+PA>
PN+AD,
各减去DP,得BN+AB>
DN+AD,
AD+AE。
1、如图,已知在厶ABC中,/B=60°
△ABC的角平分线AD,CE相交于点0,求证:
贝U/0AC+/OCA=60度=/A0E=/C0D;
/AOC=120度.
在AC上截取线段AF=AE,连接OF.
又AO=AO;
/OAE=/OAF
.则/OAEOAF(SAS),
OE=OF;
AE=AF;
/AOF=/AOE=60度.
贝U/COF=/AOC-/AOF=60度=/COD;
又CO=CO;
/OCD=/OCF.
故/OCD也AOCF(SAS),
OD=OF;
CD=CF.
DC+AE=CF+AF=AC.
2、如图,△ABC中,AD平分/BAC,DG丄BC且平分BC,DE丄AB于E,DF丄AC于F.
(垂直平分线联结线段两端)连接BD,DC
DG垂直平分BC,故BD=DC
由于AD平分/BAC,DE丄AB于E,DF丄AC于F,故有
ED=DF
故RT△DBE也RT△DFC(HL)
故有BE=CF。
AB+AC=2AE
AE=(a+b)/2
BE=(a-b)/2
如图③,在△ABC中,如果/ACB不是直角,而
(1)中的其它条件不变,请问,
(1)
(2)答:
FE与FD之间的数量关系为FEFD
(1)中的结论FEFD仍然成立。
证法一:
如图1,在AC上截取AGAE,连结FG
1
2,AF为公共边,
AEFAGF
AFEAFG,FEFG
•/B60,AD、CE分别是BAC、BCA的平分线
•••2360
•••AFECFDAFG60
•CFG60
•••34及FC为公共边
•CFGCFD
•FGFD
•FEFD
证法二:
如图2,过点F分别作FGAB于点G,FH
•/B60,AD、CE分别是BAC、BCA的平分线
•可得2360,F是ABC的内心
•GEF601,FHFG
又•••HDFB1
•GEFHDF
•可证EGFDHF
BC于点H
将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度,至三角形ABG
贝UGE=GB+BE=DF+BE=EF
又AE=AE,AF=AG,
所以三角形AEF全等于AEG
所以/EAF=/GAE=/BAE+/GAB=/BAE+/DAF
又/EAF+/BAE+/DAF=90
所以/EAF=45度
例2D为等腰RtABC斜边AB的中点,DM丄DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。
⑴当MDN绕点D转动时,求证DE=DF。
(2)若AB=2,求四边形DECF的面积。
(计算数值法)
(1)连接DC,
D为等腰RtABC斜边AB的中点,故有CD丄AB,CD=DA
CD平分/BCA=90°
,/ECD=ZDCA=45°
由于DM丄DN,有/EDN=90°
由于CD丄AB,有/CDA=90°
从而/CDE=ZFDA=
故有△CDE◎△ADF(ASA)故有DE=DF
(2)S△ABC=2,S四DECF=S△acd=1
例3如图,ABC是边长为3的等边三角形,BDC是等腰三角形,且BDC120°
的周长为;
(图形补全法,“截长法”或“补短法”,计算数值法)AC的延长线与BD的延长线交于点F,在线段CF上取点E,使CE=BM
•/△ABC为等边三角形,△BCD为等腰三角形,且/BDC=120°
•••/MBD=/MBC+/DBC=60°
+30°
=90°
/DCE=180°
-/ACD=180°
-/ABD=90°
又•••BM=CE,BD=CD,
•••△CDE◎△BDM,
•••/CDE=/BDM,DE=DM,
/NDE=/NDC+/CDE=/NDC+/BDM=/BDC-/MDN=120°
-60°
=60°
DM=DE
/MDN=/EDN=60°
DN=DN
•••△DMN◎△DEN,
•••MN=NE
•••在△DMA和厶DEF中,
/MDA=60°
-/MDB=60°
-/CDE=/EDF(/CDE=/BDM)
/DAM=/DFE=30°
•△DMN◎△DEN(AAS),
•MA=FE
AMN的周长为AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6
1、已知四边形ABCD中,ABAD,BCCD,ABBC,ZABC120o,
ZMBN60o,ZMBN绕B点旋转,它的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)
于E,F.
当ZMBN绕B点旋转到AECF时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?
若不成立,线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,不需证明.
2、(西城09年一模)已知:
PA=2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点
(1)•••ABAD,BCCD,ABBC,AECF
ABE
CBF
(SAS);
BE
BF
ABC
120,
MBN
60
30,
BEF为等边三角形
BE
EF
BF,
CFAE-BE
AE
CF
(2)图2成立,图3不成立。
证明图2,延长DC至点K,使CKAE,连接BK则BAEBCK
(1)如图,当/APB=45°
当/APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应/APB的大小.
(1)作辅助线,过点A作AEPB于点E,在RtPAE中,已知APE,AP的值,根据三角函数可将AE,PE的值求出,由PB的值,可求BE的值,在RtABE中,根据勾股定理可将AB的值求出;
求PD的值有两种解法,解法一:
可将PAD绕点A顺时针旋转90得到PAB,可得PADPAB,求
PD长即为求PB的长,在RtAPP中,可将PP的值求出,在RtPPB中,根据勾股定理可将PB的值求出;
解法二:
过点P作AB的平行线,与DA的延长线交于F,交PB于G,在RtAEG中,可求出AG,EG的长,进而可知PG的值,在RtPFG中,可求出PF,在
PBPPPB可求PB的最大值
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