高中数学易错题分类及解析.docx
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高中数学易错题分类及解析
高中数学中的易错题分类及解析关键词:
高考数学易错题全文摘要:
“会而不对,对而不全”严重影响考生成绩.易错题的特征:
心理因素、易错点的隐蔽性、形式多样性、可控性.易错题的分类解析:
分为五大类即审题不严、运算失误、概念模糊、公式记忆不准确、思维不严,每类再分为若干小类,列举高中数学中的典型易错题进行误解与正解和错因分析.本文既是对高考中的易错题目的分类解析,同时又是第一轮复习中的一本易错题集.下表是易错题分类
表:
数学学习的过程,从本质上说是一种认识过程,其间包含了一系列复杂的心理活动.从数学学习的认知结构上讲,数学学习的过程就是学生头脑里的数学知识按照他自己理解的深度与广度,结合自己的感觉、知觉、记忆、思维与联想,组合成的一个整体结构.所以,数
学中有许多题目,求解的思路并不繁杂,但解题时,由于读题不仔细,或者对某些知识点的理解不透彻,或者运算过程中没有注意转化的等价性,或者忽略了对某些特殊情形的讨论⋯⋯等等原因,都会导致错误的出现.“会而不对,对而不全”,一直以来都是严重影响考生数学成绩的重要因素.
又与试题的难易程
一.易错题的典型特征解题出错是数学答题过程中的正常现象,它既与数学学习环境有关度有关.同时也与考生的数学水平、身体与心理状况有关.
1.考生自我心理素质:
数学认知结构是数学知识的逻辑结构与学生的心理结构相互作用的产物.而数学解题是考生主体感受并处理数学信息的创造性的心理过程.部分考生题意尚未明确,加之考试求胜心切,仅凭经验盲目做题,以至于出现主观认识错误或陷入主观思维定势,造成主观盲动性错误和解题思维障碍.
2.易错点的隐蔽性:
数学知识的逻辑结构是由数学知识之间的内在的联系联结而成的整体,而其心理结构是指智力因素及其结构,即观察力、记忆力、想象力、注意力和思维力等五个因素组成.数学解题是考生借助特定“数学语言”进行数学思维的过程,在这个过程中考生的数学知识结构和数学思维习惯起着决定性的作用.个体思维的跳跃性是产生思维漏洞的根本原因,这种思维漏洞一旦产生,考生自己是很难发现的,因此易错点的隐蔽性很强3.易错点形式多样性:
根据数学学习的一般过程及数学认知结构的特点,数学易错点一般有知识性错误和心理性错误两种等形式:
而知识性错误主要包括数学概念的理解不透彻、数学公式记忆不准确两方面;心理性错误包括审题不严、运算失误、数学思维不严谨等.4.易错题的可控性:
学生的认识结构有其个性特点.在知识总量大体相当的情况下,有的学生对知识不仅理解深刻,而且组织得很有条理,便于储存与撮;相反,有的学生不仅对知识理解肤浅,而且支离破碎,杂乱无章,这就不利于储存,也不容易提取.在学生形成了一定的数学认知结构后,一旦遇到新的信息,就会利用相应的认知结构对新信息进行处理和加工,随着认识活动的进行,学生的认知结构不断分化和重组,并逐渐变得更加精确和完善,所谓“吃一堑长一智”.只要我们在容易出错的地方提高警戒意识,建立建全解题的“警戒点”,养成严谨的数学思维好习惯,易错点就会逐渐减少.
1.数学概念的理解不透
数学概念所能反映的数学对象的属性,不仅是不分精粗的笼统的属性,它已经是抓住了数学对象的根本的、最重要的本质属性.每一个概念都有一定的外延与内涵.而平时学习中对概念本质的不透彻,对其外延与内涵的掌握不准确,都会在解题中反映出来,导致解题出错例1.若不等式ax2+x+a<0的解集为Φ,则实数a的取值范围()
111111
A.a≤-或a≥B.a 222222 【错解】选A.由题意,方程ax2+x+a=0的根的判别式014a20 1 ≥,所以选A. 2 忽视了开口方向 【错因分析】对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握,对题目的影响. 正确解析】D.不等式ax2+x+a<0的解集为Φ,若a=0,则不等式为x<0解集不合已知条 22 件,则a0;要不等式ax2+x+a<0的解集为Φ,则需二次函数y=ax2+x+a的开口向上 例2.命题“若△ABC有一内角为,则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题是() 3 A.与原命题真值相异B.与原命题的否命题真值相异 C.与原命题的逆否命题的真值不同D.与原命题真值相同 【错解】选A.因为原命题正确,其逆命题不正确. 【错因分析】本题容易出现的错误是对几个概念的理解失误: 逆命题——将原命题的题设和结论交换、否命题——将原命题的题设和结论同时否定,逆否命题——将原命题的题设和结论交换后再同时否定,原命题与逆命题、否命题与逆命题是两对互为逆否的命题,互为逆否的命题是等价的. 【正确解析】选D.显然,原命题正确;其逆命题为: “若△ABC的三内角成等差数列,则△ABC有一内角为3”.也正确,所以选D. 1x 例3.判断函数f(x)=(x-1)1x的奇偶性为 1x f(x)1(x)21x2 f(x),所以f(x)为偶函数. 【错因分析】上述解法有两个错误: 1未考虑函数的定义域;2.x-1<0,放入根号内后根号 前应添负号. 【正确解析】非 奇非偶函数.y=f(x)的定义域为 1x0(1x)(1x)0 1x1,定义域不关于原点对称,所以此函数为非奇 1x1x0 非偶函数. 例4.(2011四川)l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是() (A)l1l2,l2l3 l1//l3 (B)l1l2,l//l3l1l3 (C)l1//l2//l3l1,l2,l3共面 (D)l1,l2,l3共点l1,l2,l3共面 【错解】错解一: 选A.根据垂直的传递性命题A正确;错解二: 选C.平行就共面; 【错因分析】错解一、二都是因为对空间的线线平行、线线垂直、共面等概念的理解不透彻所致. 【正确解答】选B.命题A中两直线还有异面或者相交的位置关系;命题C中这三条直线可 以是三棱柱的三条棱,因此它们不一定共面;命题D中的三条线可以构成三个两两相交的平面,所以它们不一定共面. 例5.x=ab是a、x、b成等比数列的() A.充分非必要条件B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件 【错解】C.当.x=ab时,a、x、b成等比数列成立;当a、x、b成等比数列时,x=ab成【错因分析】对等比数列的定义理解不透. 【正确解析】选D.若x=a=0,x=ab成立,但a、x、b不成等比数列,所以充分性不成立;反之,若a、x、b成等比数列,则x2abxab,所以x=ab不一定成立,必要性不成立.所以选D. 例6. (1)把三枚硬币一起掷出,求出现两枚正面向上,一枚反面向上的概率. (2)某种产品100件,其中有次品5件,现从中任抽取6件,求恰有一件次品的概率.分析: (1)【错解】三枚硬币掷出所有可能结果有2×2×2=8种,而出现两正一反是一种结果, 1 故所求概率P=1. 8 【正解】在所有的8种结果中,两正一反并不是一种结果,而是有三种结果: 正、正、反, 3 正、反、正,反、正、正,因此所求概率P,上述错解在于对于等可能性事件的概念理解 8 不清,所有8种结果的出现是等可能性的,如果把上述三种结果看作一种结果就不是等可能性事件了,应用求概率的基本公式Pm自然就是错误的. n (2)【错解】由题意知,这种产品的次品率为5%,且每次抽取相互独立,由独立重复实 55验概率公式,得: 6件产品中恰有1件次品的概率为: P6 (1)C165(15)50.2321. 66100100 【正解】在上题的解法中有两个错误: 第一,100件产品,其中有5件次品与次品率为5%是两个不同的概念;第二,该实验不是独立重复实验,从100件产品中任抽6件,可当作抽 2.公式理解与记忆不准 数学公式众多,学生在应用公式解决数学问题时,由于理解不准确(例如公式成立的条 件未考虑)或记忆不准确,极易导致运算失误.例如公式ab2ab(a0,b0,当且仅 当a=b时“=”成立)中极易忽略数a,b均为正和取等号的条件,还有学生把我们常用的一 1uuvuv 些公式记成下面的一系列错误公式: x2x,11x1,(u)uv2uv, xvv2 loga(xy)logaxlogay等等. 14 例7.若x0,y0,xy1,则14的最小值为. xy 错解】 1424 418,错解原因是忽略等号成立条件 (x2y)2 x y xy 正解】 1 4= xy 4(xy)5y4x9 x y= x yxy 3 例8.函数y=sin4x+cos4x-的相位,初相为.周期为, 4 单调递增区间为. 31【错解】y=sin4x+cos4x-=cos4x,所以相位为4x,初相为0,周期为,增区间为⋯. 442 【错因分析】应先把函数转化为正弦型函数.教材中关于相位、初相⋯⋯的定义是在正弦型 函数的基础上. 3.审题不严 审题,是解题的第一步,考生在审题过程中可能发生读题不清楚、未发现隐含条件及字母的意义含混不清等错误 1)读题不清 1 ()x1过点(0,2),所以选B. 错解】选B.因为y()x在x0内递减,且f(x) 2 【错因分析】考生未看清楚题目是求f(x)的反函数的图像. 【正确解答】A.根据函数与其反函数的性质,原函数的定义域与值域同其反函数的值域、 1x 定义域相同.当x0,0 (2)x1,1y2,所以选A.或者首先由原函数过点(0,2),则其反函数过点(2,0),排除B、C;又根据原函数在x0时递减,所以选A. 例10.编号为1,2,3,4,5的五个人,分别坐在编号为1,2,3,4,5的座位上,则至多有两个号码一致的坐法种数为() A.120B.119C.110D.109 【错解】“至多有两个号码一致”的对立事件是“三个或四个(即五个)号码一致”,三个号码一致有C53A22种,四个号码一致仅一种,所以所求的坐法种数为A55C53A22199, 无选项. 【错因分析】三个号一致时,另两个号则不能一致,例如已经选择了1、2和3号一致,则 4号人只能坐5号位且5号人坐4号位,仅一种坐法而不是A22种.读题不清导致解题出错.【正确解析】选D.“至多有两个号码一致”的对立事件是“三个或四个(即五个)号码一 3 致”,三个号码一致有C53种(若三个号一致,另外两个不在自己号位仅一种方法),四个号 码一致仅一种,所以所求的坐法种数为A55C531109.选D. 例11.一箱磁带最多有一盒次品.每箱装25盒磁带,而生产过程产生次品磁带的概率是0.01. 则一箱磁带最多有一盒次品的概率是. 【错解】一箱磁带有一盒次品的概率0.01(10.01)24,一箱磁带中无次品的概率 252425 (10.01)25,所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是0.01(10.01)24+(10.01)25. 【错因分析】由于这一箱磁带共25盒,则一箱磁带有一盒次品的概率应为124 C1250.01(10.01)24. 正确解析】一箱磁带有一盒次品的概率C1250.01(10.01)24,一箱磁带中无次品的概率 025 C25(10.01),所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是 124025 C1250.01(10.01)24+C205(10.01)25. 【点评】在做文字较多的排列组合或概率题时应特别细心读题,读懂题目中的关键词的含义 (2)忽视隐含条件 数学题目中有很多隐含条件,例如已知“直线与圆有公共点”,这就隐含着“联立直线 1与圆的方程消元后的二次方程的判别式0”,又如“求函数y1的值域”隐含sinx2 着“1sinx1”这个有界性条件⋯⋯.审题过程应尽可能找出这些隐含条件后再解题. 例12.设、是方程x22kxk60的两个实根,则 (1)2 (1)2的最小值是 () 49 (A)(B)8(C)18(D)不存在 4 错解】 利用一 元二次方程根与系数的关系易得: 2k,k6, ( 1)2 (1)2 22122 1 ( )222() 2 32 49 4(k )2 .选A. 4 4 错因分析】受选择答案( A)的诱惑,一看到 4(k 3)2 49 则立即选了答案 49.这 4 4 4 正是思维缺乏反思性的体现.忽视了一元二次方程有根,则判别式0这个隐含条件 ( 1)2 ( 1)222122 4(k 3)2 49. 原方程有两个实根、 4 4. k 2或 k 3. 1()222()2 ∴4k24(k6)0 当k3时, (1)2 (1)2的最小值是8; 当k2时, (1)2 (1)2的最小值是18.选B. 2 例13.已知(x+2)2+y=1,求x2+y2的取值范围. 4 828【错解】由已知得y2=-4x2-16x-12,因此x2+y2=-3x2-16x-12=-3(x+)2+ 3382828∴当x=-3时,x2+y2有最大值3,即x2+y2的取值范围是(-∞,3]. 错因分析】没有注意x的取值范围要受已知条件的限制 性等. 3x110或3x13 错因分析】产生了增根 0所以x=1或x=2.所以解集为{1,2}. x=1.实际上当3x110时,3x12<0导致对数的真数为负数则原方程无意义 log2(9x15)log2(3x12)2 0 log2(9x15)log2(3x12)log240 9x 15 4(3x12) log2(9x1 5) log24(3x12) 3x 12 03x130x2 9x 15 0 正 解 所以解集为{2}. 例15.已知在6个电子元件中,有2个次品,4个合格品,每次任取一个测试,测试完不再放回,直到2个次品都找到为止,求经过4次测试恰好将2个次品全部找出的概率.分析: 错解一: 经过4次测试恰好将2个次品全部找出,表示前4次中有2次取到正品和2次 A2A21 取到次品,故所求概率为A4A44=1.. A645 错解二: 经过4次测试恰好将2个次品全部找出表示第4次正好取到次品,故所求概率为 C21C42A33 A64 正解: 若仔细审题,我们会发现: 经过4次测试恰好将2个次品全部找出,不仅包括4次正好取到次品,前3次中有一次取到次品,还有前4次正好都取到合格品的情况,即此时剩下 3)字母意义含混不清 22 例16.若双曲线x2y2 a2b2 5 1的离心率为,则两条渐近线的方程为 4 A.x 9 y 16 0 B. x 16 y0 9 C. x 3 y0 4 D. x 4 y 3 0 【错解】 选 D. c 5 2c 25 a2b 2b2 b2 9 b 3 3 x y e y x 0 2 16 2 12 2 16 a 4 a a a a a 4 4 4 3 ,选D. a和题目中方程的a的意义. 【错因分析】审题不认真,混淆双曲线标准方程中的 22正确解析】x2y2a2b2 22yx 1221,与标准方程中字母a,b互换了.选C.ba 4.运算错误 运算能力是思维能力和运算技能的结合.运算包括对数字的计算、估值和近似计算,对式子的组合变形与分解变形,对几何图形中各几何量的计算求解等.运算能力包括分析运算 条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力,也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力.而计算出错,已经成为影响数学成绩的最重要因素之一.运算出错主要有以下几种: (1)数字与代数式运算出错数字运算,移项、合并同类项、因式分解等整式变形、繁分式化简、无理式变形等式子的等价变形是考生最容易出错的地方. 例17.若a (5,7),b(1,2),且(ab) b,则实数的值为__ 【错解】ar rb (5, 72), rr rr 则(ab ) b(ar b)b05 2(72)03. 错因分析】计算过程中数字运算出错, (5) (1)仍等于5导致出错. 正确解析】arb(5,72), 例18.已知直线l与点A(3,3)和B(5,2)的距离相等,且过二直线l1: 3x-y-1=0和 l2: x+y-3=0的交点,则直线l的方程为 【错解】先联立两直线求出它们交点为(1,2),设所求直线的点斜式,再利用A、B到它的 距离相等建立方程得|2k1||4k|k1,所以所求直线为x+2y-5=0. k21k212 【错因分析】显然,解方程时漏了一根,含绝对值的方程应讨论(或平方)求解,一般有两根. 【正确解析】x-6y+11=0或x+2y-5=0.联立直线l1: 3x-y-1=0和l2: x+y-3=0的方程得它 们的交点坐标为( 1,2),令过点(1,2)的直线l为: y-2=k(x-1) (由图形可看出直线 l的 斜率必然存在), 由点到直线的距离公式得: |2k 1| |4k| k1,k 6 1, 所以 k2 1 k21 2 直线l的方程为: x-6y+11=0或x+2y-5=0. (2)运算方法(如公式、运算程序或运算方向等)选择不当导致运算繁杂或不可能得解而出错 在同样的题目条件下,不同公式的选择及不同运算程序都将极大影响运算的速度和准确 度. 例19.已知圆(x-3)2+y2=4和直线y=mx的交点分别为P,Q两点,O为坐标原点,则OPOQ的值为. 运算繁杂的解法】联立直线方程y=mx与圆的方程(x-3)2+y2=4消y,得关于x的方程 22 (1m)x6x50,令P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1x2 uuuruuur55m2 所以OPOQOPOQx1x2y1y2525m25. 1m21m2【分析】上述解法正确,也得出了正确答案,但运算繁杂.下面的解法简洁明了.【正确解析】根据圆的切割线定理,设过点O的圆的切线为OT(切点为T),由勾股定理, 则OPOQOT232225. 例20.长为1的正四面体内有一点P,由点P向各面引垂线,垂线段长度分别为d1,d2,d3, d4,则d1+d2+d3+d4的值为 【运算繁杂的解法】在正四面体S-ABC内任取一点P,则 34(d1d2d3d4)d1d2d3d43 法,运算更为简洁 分析】上述解法正确,但如果采用下面的特殊值(特殊点) 一条满足条件. 所以所求值为4r= 3 两点,满足条件的有上、下各一条(关于x轴对称),所以共3条. (4)计量单位缺乏量纲意识 例22.甲、乙两种商品,经营销售这两种商品所能获得的利润依次为P万元和Q万元,它 们与投入资金x(万元)的关系有经验公式P1x,Qx.现有3万元资金投入经营甲、55 乙两种商品,为获得最大利润,对甲、乙两种商品的资金投入分别是多少元? 【错解一】设对甲种商品投入金额x元,则乙种商品投资为30000-x元,获得利润总额为y 13 y1x330000x,x[0,30000],如法炮制,令 55 30000xt,则x30000t2,t[0,1003] 1231329 y(30000t2)t(t)26000,t[0,1003]. 555220 3 tx29997.75(元),30000x2.2(5元). 2 【错解二】设对甲种商品投入金额x元,则乙种商品投资为30000-x元,获得利润总额为y元. 把利润总额单位转化为元,则y1x10000330000x,x[0,30000] 55 令30000xt,则x300000t2,t[0,1003] 339 y2000(30000t2)t2000(t)26107105,t[0,1003]. 5200002 332 t.时y最大,此时对甲商品资金投入量为x30000()229999.9999999775 2000020000 元,对乙商品资金投入量为0.0
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