初中几何定理归纳.docx
- 文档编号:12345026
- 上传时间:2023-06-05
- 格式:DOCX
- 页数:10
- 大小:30.90KB
初中几何定理归纳.docx
《初中几何定理归纳.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《初中几何定理归纳.docx(10页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
初中几何定理归纳
初中几何定理归纳整理
图形认识初步
1.两点确定一条直线;
2.两点之间,线段最短;
3.等角的余角相等;
4.等角的补角相等;
5角平分线的性质定理:
角平分线上的点到角两边的距离相等,
6.角角平分线的判定定理:
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
相交线与平行线
1、余角、补角、对顶角(相交)的性质:
同角或等角的余角相等;同角或等角的补角相等;对顶角相等。
2、垂直
(1)垂线的性质:
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;②直线外一点有与直线上各点连结的所有线段中,垂线段最短;
(2)线段垂直平分线定义:
过线段的中点并且垂直于线段的直线叫做线段的垂直平分线;
(3)线段垂直平分线的性质定理:
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
(4)线段垂直平分线的判定定理:
到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上;
3、平行
(1)平行线的定义:
在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。
(2)平行线的性质:
①两直线平行,同位角相等;②两直线平行,内错角相等;③两直线平行,同旁内角互补。
(3)平行线的判定:
①同位角相等,两直线平行;②内错角相等,两直线平行;③同旁内角互补,两直线平行。
(4)平行公理:
经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线。
(5)平行公理的推论:
如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
三角形
1、三角形的有关性质(三角形具有稳定性)
①三角形的三边关系:
三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;
②三角形的内角和定理:
三角形的三个内角的和等于1800;
推论:
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个的和;
③三角形的外角和定理:
n边形内角和:
n边形内角和是(n-2)
180°
n边形外角和是360°;
④三角形的三条角平分线交于一点(内心);
⑤三角形的三边的垂直平分线交于一点(外心);
⑥三角形中位线定理:
三角形两边中点的连线平行于第三边,并且等于第三边的一半;
2、全等三角形
(1)定义:
两个能够重合的三角形是全等三角形。
(2)性质:
全等三角形的对应边相等,对应角相等。
(3)三角形全等的条件:
①边角边(SAS):
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
②角边角(ASA):
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
③角角边(AAS):
有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
④边边边(SSS):
有三边对应相等的两个三角形全等。
⑤斜边、直角边(HL):
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
3、等腰三角形
(1)等腰三角形的性质:
①等腰三角形的两个底角相等(等边对等角);②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一)。
(2)等腰三角形的判定:
有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)。
4、等边三角形
(1)等边三角形的性质:
①等边三角形的三个内角都相等,每一个角都等于60°;②等边三角形三边上都有三线合一的性质。
(2)等边三角形的判定:
①三个角都相等的三角形是等边三角形;②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
5、直角三角形
(1)直角三角形的性质:
①直角三角形的两个锐角互为余角;②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;③直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理);④直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。
α
300
450
600
Sinα
Cosα
tanα
1
(2)直角三角形的判定:
①有两个角互余的三角形是直角三角形;②如果三角形的三边长a、b、c满足关系c2=a2+b2,那么这个三角形是直角三角形(勾股定理的逆定理)。
且最长的边c所对的角为直角。
6、三角函数:
在Rt△ABC中,∠C=900,SinA=
,cosA=
,tanA=
;sinA=cosB;0<sinA<1,0<cosA<1,tanA>0。
∠A越大,∠A的正弦和正切值越大,余弦值反而越小。
特殊角的三角函数值:
四边形
1、平行四边形(中心对称图形)
(1)平行四边形的定义:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
(2)两条平行线间的距离:
两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做两条平行线间的距离;两条平行线间的距离是一个定值,不随垂线段位置改变而改变,两条平行线间的距离处处相等。
(3)平行四边形的性质:
平行四边形的两组对边分别平行;平行四边形的两组对边分别相等;平行四边形的两组对角分别相等;平行四边形的对角线互相平分。
(4)平行四边形的判定:
①定义法:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
②?
两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形
④对角线互相平分的四边形是平行四边形。
⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
2、矩形(轴对称图形)
(1)定义:
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)。
(2)矩形的性质:
①两组对边分别平行且相等;②矩形的四个角都是直角;③矩形的对角线相等且互相平分;
(3)矩形的判定:
①定义法:
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形;②有三个角是直角的四边形是矩形;③对角线相等的平行四边形是矩形。
3、菱形(轴对称图形)
(1)定义:
。
(2)菱形的性质:
;①菱形的四边相等,两组对边分别平行;②对角相等,邻角互补;③菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角;
(3)菱形的判定:
①定义法:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形;②四边相等的四边形是菱形;③对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
4、正方形(既是轴对称又是中心对称)
(1)定义:
四条边都相等且一个角是直角的四边形叫做正方形。
(2)正方形的性质:
;①正方形的四边相等,对边平行;②正方形的四个角都是直角;③正方形的两条对角线相等,且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角;
(3)正方形的判定:
①有一个角是直角的菱形是正方形;②有一组邻边相等的矩形是正方形。
轴对称
1定义:
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形完全,称这两个图形为轴对称,这条直线叫做,两个图形中对应的点叫做对称点。
2、轴对称的基本性质:
.如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线,即对应点所连的线段被对称轴平分;
3、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆是轴对称图形。
图形的平移
1、平移的概念:
在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移,平移不改变图形的形状和大小。
①平移是运动的一种形式,是图形变换的一种,本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换;
②图形的平移有两个要素:
一是图形平移的方向,二是图形平移的距离,这两个要素是图形平移的依据;
③图形的平移是指图形整体的平移,经过平移后的图形,与原图形相比,只改变了位置,而不改变图形的大小,这个特征是得出图形平移的基本性质的依据。
2、平移的基本性质:
由平移的基本概念知,经过平移,图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离,平移不改变图形的形状和大小,因此平移具有下列性质:
经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等。
注:
(1)要注意正确找出“对应线段,对应角”,从而正确表达基本性质的特征;
(2)“对应点所连的线段平行且相等”,这个基本性质既可作为平移图形之间的性质,又可作为平移作图的依据。
图形的旋转
1、图形旋转的基本性质:
对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前后的图形全等;
2、中心对称图形:
在同一平面内,如果把一个图形绕某一点旋转1800,旋转后的图形能和原图形完全重合,那么这个图形就叫做中心对称图形。
3、关于中心对称的两个图形是全等形;
4、.关于中心对称的两个图形,对称点的连线都经过对称中心,且被对称中心平分.
5、平行四边形、矩形、菱形、正多边形(边数是偶数)、圆是中心对称图形。
圆
1、圆有关的概念
(1)圆:
平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
其中,定点为圆心,定长为半径。
(2)圆心角:
顶点在圆心的角叫做圆心角。
(3)圆周角:
顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角。
(4)弧:
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。
(5)弦:
连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径。
2、圆的有关的性质
(1)圆既是轴对称图形,任意一条直径所在直线都是它的对称轴,圆又是中心对称图形;
(2)垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧;
垂径定理推论:
平分弦(非直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
(3)圆心角、弦和弧三者之间的关系:
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量分别相等;
(4)圆周角定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;
(5)圆周角定理推论:
①同弧或等弧所对的圆周角相等
②半圆或直径所对的圆周角是90°;90°的圆周角所对的弦是直径;
(6)圆内接四边形的对角互补;
(7)不共线三点确定一个圆;
(8)切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线;
(9)切线的性质定理:
圆的切线垂直于过切点的半径;
(10)切线长定理:
从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角;
3、三角形的内心和外心
(1)确定圆的条件:
不在同一直线上的三个点确定一个圆;
(2)三角形的外心:
三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点,叫做三角形的外心;
(3)三角形的内心:
和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心。
4、点与圆的位置关系:
点在圆外,点在圆上,点在圆内,设圆的半径为r,点到圆心的距离为d,
则点在圆外←→d>r,点在圆上←→d=r,点在圆内←→d<r。
5、直线和圆的位置关系有三种:
相交、相切、相离。
设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,
则直线与圆相交←→d<r,直线与圆相切←→d=r,直线与圆相离←→d>r。
6、圆与圆的位置关系:
设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为R和r,则
(1)两圆外离←→d>R+r;
(2)两圆外切←→d=R+r;(3)两圆相交←→R-r<d<R+r(R>r);
(4)两圆内切←→d=R-r(R>r);(5)两圆内含←→d<R—r(R>r)。
7、圆有关的计算:
(1)弧长计算公式:
l=
(R为圆的半径,n0是弧所对的圆心角的度数,l为弧长)
(2)扇形面积:
S扇形=
或S扇形=
lR(R为半径,n0是扇形所对的圆心角的度数,l为扇形的弧长)
(3)圆锥:
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。
该直角边叫圆锥的轴
。
S侧=
l·2πr=πrlS表=S侧+S底=πrl+πr2=πr(l+r)
相似
1、比例的基本性质:
如果
=
,则ad=bc,如果ad=bc,则
=
(b≠0,d≠0)。
2、相似三角形的判定:
①定义法:
三边对应成比例,三组角对应相等;②平行法:
平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似;;③三边对应成比例的两个三角形相似。
④两边对应成比例且夹角对应相等的两个三角形相似;⑤两组角对应相等的两个三角形相似;
3、相似三角形的性质:
①相似三角形的对应角相等;②相似三角形的对应边成比例;③相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比等于相似比;④相似三角形的周长之比等于相似比⑤相似三角形的面积比等于相似比的平方。
4、位似的概念
(1):
对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫.
(2):
在中,对应顶点连线的交点叫.
(3)位似与相似的关系:
①位似与相似既有联系又有区别,相似仅要求两个图形形状完全相同;而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点.
②如果两个图形是位似图形那么这两个图形必是相似图形,但是相似的两个图形不一定是位似图形,因此位似是相似的特殊情况.利用位似,可以把一个图形放大或缩小.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 初中 几何 定理 归纳
![提示](https://static.bingdoc.com/images/bang_tan.gif)