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导数知识点归纳及应用
导数知识点归纳及应用
•知识点归纳一、相关概念
1导数的概念
函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量x,那么函数y相应地有增量y=f(Xo+x)-f(Xo),比值一y叫做函数y=f(x)在Xo到x°+x
X
之间的平均变化率,即亠—x)f(xo)。
如果当x0时,」有
xxx
极限,我们就说函数y=f(x)在点X。
处可导,
并把这个极限叫做f(x)
在点X0处的导数,记作f'(X0)或y'|
即f(X0)=|im」=limf(X0x)f(X0)。
x0xx0x
注意:
(1)函数f(x)在点x°处可导,是指X
0时,」有极限。
如果」
xx
不存在极限,就说函数在点X。
处不可导,或说无导数。
(2)x是自变量x在x0处的改变量,x0时,而y是函数值的改变量,可以是零。
由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点Xo处的导数的步骤:
1求函数的增量y=f(Xo+x)-f(Xo);
2求平均变化率—y=丄凶—x)一;
XX
3取极限,得导数f'(Xo)=lim」。
0x
例:
设f(x)=x|x|,则f'(0)=
•••f'(0)=0
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x0,f(x。
))处的切线的斜率。
也就是说,曲线y=f(x)在点p(x。
f
(X°))处的切线的斜率是f'(x°)。
相应地,切线方程为y—y0=f/(X0)(x-X0)
例:
在函数y
x38x的图象上,其切线的倾斜角小于-的点中,坐标
4
()
D.0
为整数的点的个数是
A.3B.2C.1
[解析]:
切线的斜率为ky/3x28
又切线的倾斜角小于-,即0k1
故03x281
解得:
故没有坐标为整数的点
3.导数的物理意义
若物体运动的规律是s=(t),那么该物体在时刻t的瞬间速度v=s(t)若物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v(t),则该物体在时刻t的加速度a=v'(t)。
例:
汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把
这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数,其图像可能是()
答:
A
练习:
已知质点M按规律s2t23做直线运动(位移单位:
cm时间单位:
S)。
(1)当t=2,t0.01时,求彳;
(2)当t=2,t0.001时,求彳;
(3)求质点M在t=2时的瞬时速度。
答案:
(1)8.02叹
(2)8.002叹;(3)8叹
下列求导运算正确的是
二、导数的运算
1.基本函数的导数公式:
①C0;
(C为常数)
②xn
n1nx;
③(sinx)
cosx;
④(cosx)
sinx;
⑤(ex)
xe;
⑥(ax)
axlna;
⑦lnx
1;
5
x
1
⑧logaxlogae.
例
1
()
1
A.(x+-)1
1
B
(log2X)
=1
2
xln2
x
x
C.(3x)'=3ilog3e
D
.(x
2cosx)'=-2xsinx
[解析]:
A错,:
.•(x+1)1
1
2
x
x
B正确,
•••(log2X)
f_
1
xln2
C错,
V(3x)'=3xln3
D错,
V(x2cosx)
f_
2xcosx+x
2(-sinx)
例2:
设fo(x)=sinx,fi(x)=fo‘(x),f2(x)=(x),…,fn+
i(x)=fn‘(x),n€N,则f2005(x)=
()
A.sinxBsinxC.cosx
D.—cosx
[解析]:
fo(x)=sinx,fi(x)=fo‘(x)=cosx,f2(x)=(x)=
-sinx,
f3(x)=f2'(x)=-cosx,f4(x)=f3‘(x)=sinx,循环了则f2005(x)=fi(x)=cosx
2.导数的运算法则
法则1:
两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或
差),
即:
(uv)'u'v'.
法则2:
两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函
数,加上第一个
函数乘以第二个函数的导数,即:
(uv)'uvuv.
若C为常数,则(Cu)'C'uCu'0Cu'Cu'.即常数与函数的积的导数
等于常数乘以函数的导数:
(Cu)'Cu'.
法则3:
两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分
母的导数与分子的积,再除以分母的平方:
u匕屮(V0)。
VV
例:
设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当xv0
时,f(x)g(x)f(x)g(x)>0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)v0的解集
是(
)
A.
(-3,0)U(3,+乂)
B.
(-3,0)U(0,3)
C.
(-乂,-3)U(3,+乂)
D.
(-乂,-3)U(0,3)
[解析]
:
T当xv0时,f(x)g(x)
f(x)g(x)>0,
即[f(x)g(x)]/0
•••当xv0时,f(x)g(x)
为增函数,
又g(x)是偶函数且g(3)=0,二g(-3)=0,二f(-3)g(-3)=0故当x3时,f(x)g(x)v0,又f(x)g(x)是奇函数,当x>0时,f(x)g(x)为减函数,且f(3)g(3)=0故当0x3时,f(x)g(x)v0
故选D
3.复合函数的导数
形如y=f(x)的函数称为复合函数。
复合函数求导步骤:
分解——>求导——>回代。
法则:
yz|x=y7|u
•uz|X或者f[(x)]f()*(X).
2322
(2)y=(x+3x+2)(x+3)=x+6x+11x+6,「.y‘=3x+12x+11.
(3)Vy=si町吨》inx,
y
1.
sinx
](sinx)
1
cosx.
2
2
2
(4)
1
y
1
1
x1
x2
y
1、
x1,x
(1
■x)(1
.x)1
2
2(1x)
2
…y
1x
(1x)2
(1
x)2'
三、导数的应用
1.函数的单调性与导数
(1)设函数yf(x)在某个区间(a,b)可导,如果f'(x)0,则f(x)
在此区间上为增函数;如果f'(x)0,则f(x)在此区间上为减函数。
(2)如果在某区间内恒有f'(x)0,则f(x)为常数。
例:
函数f(x)x33x21是减函数的区间为()
A.(2,)B.(,2)C.(,0)D.(0,2)
[解析]:
由f/(x)3x26x<0,得0 函数f(x)x33x21是减函数的区间为(0,2) 2.极点与极值: 曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正; 例: 函数f(x)x3ax23x9,已知f(x)在x3时取得极值,则a=() A.2B.3C.4D.5 [解析]: TJx)3x22ax3,又f(x)在x3时取得极值 f/(3)306a0 则a=5 3.最值: 在区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值。 但在开区间(a,b)内连续函数f(x)不一定有最大值,例如 3 f(x)x3,x(1,1)。 (1)函数的最大值和最小值是一个整体性的概念,最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值,最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。 (2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的,函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。 函数的极值可以有多有少,但最值只有一个,极值只能在区间内取得,最值则可以在端点取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值,极值可能成为 最值,最值只要不在端点处必疋是极值。 例: 函数f(x)x33x1在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是. [解析]: 由f'(x)3x23=0,得x1, 当x1时,f/(x)>0,当1x1时,f/(x)<0,当x1时,f/(x)>0,故f(x)的极小值、极大值分别为f (1)3f (1)1, 而f(3)17、f(0)1 故函数f(x)x33x1在[-3,0]上的最大值、最小值分别是3、-17。 •经典例题选讲 例1.已知函数yxf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中yf(x)的图象大致是() [解析]: 由函数yxf(x)的图象可知: 当x1时,xf(x)<0,f(x)>0,此时f(x)增 当1x0时,xf(x)>0,f(x)<0,此时f(x)减 当0x1时,xf(x)<0,f(x)<0,此时f(x)减 当x1时,xf(x)>0,f(x)>0,此时f(x)增 故选C 例2.设f(x)ax3x恰有三个单调区间,试确定a的取值范围,并求其单调区间。 解: f(x)3ax21 若a0,f(x)0对x(,)恒成立,此时f(x)只有一个单调区间,矛盾 若a0,f(x)10二x(,),f(x)也只有一个单调区间, 矛盾 11‘,_ 若a0-f(x)3a(x)(x),此时f(x)恰有三个 占|a|v'3|a| 单调区间 •••a0且单调减区间为(,一1—)和(一1—,),单调增区间为 U3|a|v'31a| (3|a「、3|a|) P(0,2),且在点 例3.已知函数f(x)x3bx2axd的图象过点 M1,f (1))处的切线方程为6xy70. (I)求函数yf(x)的解析式; (H)求函数yf(x)的单调区间. 解: (I)由f(x)的图象经过P(0,2),知d=2, 所以f(x)x3bx2cx2, 2 f(x)3x2bxc. 32bc6,即 2bc 3 3解得b c 3. 1bc21. bc 0, 故所求的解析式是 f(x) x33x2 3x 2. (H)f(x)3x2 6x3. 令3x2 6x 30,即x22x10 解得x11;$2,x2 1,2. 当x1 .2, 或x1・、2时,f(x) 6f (1)70,即f (1)1,f (1)6. 12时,f(x)0. 0; 当12x 故f(x)X33x23x2在(,1.2)内是增函数, 在(1,2,1.2)内是减函数,在(1,2,)内是增函数. 例4.设函数fxx3bx2cx(xR),已知g(x)f(x)f(x)是奇函数。 (I)求b、c的值。 (H)求g(x)的单调区间与极值。 解: (I): fx 32 xbxcx,・・ fx3x2 2bxc。 从而 g(x)f(x) f(x) 3.22 xbxcx(3x 2bxc)= 32 x(b3)x(c2b)xc 是 一个奇函数,所以g(0)0得c0,由奇函数定义得b3; (H)由(I)知g(x)x36x,从而g(x)3x26,由此可知, (,■2)和(、2,)是函数g(x)是单调递增区间;(、、2,'、2)是函数g(x)是单调递减区间; g(x)在x、2时,取得极大值,极大值为4.2, g(x)在x、、2时,取得极小值,极小值为4;2。 例5.已知f(x)=x3ax2bxc在x=1,x=-时,都取得极值。 3 (I)求a、b的值。 (2)若对x[1,2],都有f(x)-恒成立,求c的取值范围。 c 解: (1)由题意f/(x)=3x22axb的两个根分别为1和- 3 由韦达定理,得: 12=药,b1 (2) 3333 则a-,b2 2 (2)由 (1),有f(X)=x3-x22xc,f/(X)=3x2x2 2 当X[1,3)时,f/(x)0,当x(3,1)时,f/(x)0,当x(1,2]时, f/(x)0, 当x2时,f(x)有极大值22c,f (1)1c,f (2)2c, 3272 .•.当x[1,2],f(x)的最大值为f (2)2c 对x[1,2],都有f(x)1恒成立,.2c-, cc 解得0c.21,或c.21, 例6.已知x1是函数f(x)mx33(m1)x2nx1的一个极值点,其中 m,nR,m0, (I)求m与n的关系式; (II)求f(x)的单调区间; (III)当x1,1时,函数yf(x)的图象上任意一点的切线斜率恒 大于3m,求m的取值范围. 解: (I)f(x)3mx26(m1)xn因为x1是函数f(x)的一个极值点, 所以f (1)0,即3m6(m1)n0,所以n3m6 2 (II)由(I)知,f(x)3mx26(m1)x3m6=3m(x1)x1— m 当m0时,有11—,当x变化时, m f(x)与f(x)的变化 如下表: x 222 1—11-,1mmm 1 1, f(x) 000 0 0 f(x) 调调递减极小值单调递增极大值单调递减 故有上表知,当m0时,f(x)在,1-单调递减, m 立, —m又m0 3 所以—m0 3 2 令f'(x)0,解得x2a,或xa2由a§知,2aa2. 以下分两种情况讨论。 (1)若a>-,贝S2aVa2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如 3 x 2a 2a 2a,a2 a2 a2, + 0 — 0 + 极大值 极小值 所以f(x)在(,2a),(a2,)内是增函数,在(2a,a2)内是减函数 函数f(x)在x2a处取得极大值f(2a),且f(2a)3ae2a. 函数f(x)在xa2处取得极小值f(a2),且f(a2)(43a)ea2. (2)若aV2,贝S2a>a2,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如3 x a2 a2 a2,2a 2a 2a, + 0 — 0 + 极大值 极小值 所以f(x)在(,a2),(2a,)内是增函数,在(a2,2a)内是减函数。 函数f(x)在xa2处取得极大值f(a2),且f(a2)(43a)ea2 (1)当a0时,求曲线yf(x)在点(1,f (1))处的切线的斜率; (2)当a-时,求函数f(x)的单调区间与极值。 3 本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。 满分12分。 解: (I)当a0时,f(x)x2ex,f'(x)(x22x)ex,故f' (1)3e. 所以曲线yf(x)在点(1,f (1))处的切线的斜率为3e. (II)f'(x)x2(a2)x2a24aex.
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