第31讲容斥原理.docx
- 文档编号:12367311
- 上传时间:2023-06-05
- 格式:DOCX
- 页数:19
- 大小:90.08KB
第31讲容斥原理.docx
《第31讲容斥原理.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第31讲容斥原理.docx(19页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
第31讲容斥原理
第31讲容斥原理
例题与方法
例1在1~100的自然数中,不能被3也不能被5整除的数有多少个?
例2某班有52人,其中会下棋的有48人,会画画的有37人,会跳舞的有39人,这三项都会的至少有几人?
例3100名学生中,每人至少懂一种外语,其中75人懂法语,83人懂英语,65人懂日语,懂三种语言的有50人,懂两种外语的有多少人?
例4在1~143这143个自然数中,与143互质的自然数共有多少个?
例5某班学生参加语文、数学、英语三科考试,语文、数学、英语都得满分的分别有21人、19人、20人。
语文、数学都得满分的有9人;数学、英语都得满分的有7人;语文、英语都得满分的有8人;另有5人三科都未得满分。
这个班最多能有多少人?
思考与练习
1.某班有学生46名,其中爱好音乐的有17人,爱好美术的有14人,既爱好音乐又爱好美术的有5人。
问:
两样都不爱好的有多少人?
2.分母是105的最简真分数共有多少个?
3.一个家电维修站有80%工人精通修彩电,有70%的人精通修空调,10%的人两项不熟悉。
问:
两项都精通的人占白分之几?
4.在1~100的自然数中,既不能被5整除也不能被9整除的数的和是多少?
5.在1~200的自然数中,能被2整除,或能被3整除,或能被5整除的数共有多少个?
6.在100名学生中,爱好音乐的有56人,爱好体育的有75人,那么既爱好音乐又爱好体育的最少有多少人,最多有多少人?
7.64人订A、B、C三种杂志,订A杂志的有28人,订B杂志的有41人,订C杂志的有20人,订A、B两种杂志的有10人,订B、C两种杂志的有12人,订A、C两种杂志的有12人。
三种杂志都订的有多少人?
8.有100位旅客,其中有10人既不懂英语又不懂俄语,有75人懂英语,有83人懂俄语,那么这100位旅客中既懂英语懂俄语的有多少人?
9.70名学生参加体育比赛,短跑得奖的31人,投掷得奖的36人,跳远得奖的29人,短跑与投掷两项都得奖的12人,跑、跳、投三项都得奖的有5人,只得跳远奖的7人,只得投掷奖的15人,求:
(1)只得短跑奖的人数;
(2)得两项奖的人数;(3)一项奖都未得的人数。
10.如下图所示,甲、乙、丙三个正方形的面积分别为25平方厘米、16平方厘米和9平方厘米,它们叠在一起,盖住的面积为32平方厘米,且甲、乙公共部分为10平方厘米,乙、丙公共部分为6平方厘米,甲、丙公共部分为7平方厘米,求阴影部分的面积。
第30讲列表法和图解法
例题与方法
例1甲、乙两人打乒乓球,谁先连胜头两局谁赢,如果没有人连胜头两局,则谁先胜三局谁赢,共有多少种可能呢?
例2从甲地到乙地,可坐飞机、火车、汽车,从乙地到丙地可坐飞机、火车、汽车、轮船。
某人从甲地经乙地到丙地,共有几种走法?
例3甲、乙、丙、丁、戊5人参加晚会后将帽子拿混了,没有人拿到自己的帽子。
现在知道甲拿的不是乙的,也不是丁的;乙拿的不是丙的,也不是丁的;丙拿的不是乙的,也不是戊的;丁拿的不是丙的,也不是戊的;戊拿的不是丁的,也不是甲的。
而且,没有两人互相拿错。
问:
丙拿了谁得帽子,谁拿了丙的帽子?
例4将一个正整数分成若干个小于它的正整数之和,这叫分拆,例如:
4=1+1+2,4=1+3。
如果加数只有顺序不同,不算一种分拆。
请问:
6一共有多少种不同的拆法?
例5一根绳子对折三次,然后每隔一定的长度剪一刀,共剪了6刀,这样,原来的绳子被剪成了多少段?
思考与练习
1.有144颗糖块,平均分成若干份,每份不得少于10颗,也不得多于40颗,共有几种分法?
2.新学期开学了,10名同学见面,如果每2名同学都握一次手,那么共握手几次?
3.从甲村到乙村有3条路可走,从乙村到丙村有2条路可走,从甲村经过乙村再到丙村,有几条不同的路可走?
4.甲、乙、丙三人照相,如果乙一定要站在中间,可以照多少种不同的照片?
如果没有规定,可照几种不同的照片?
5.有一张表,写有从1~500的所有自然数。
在这张表里数字“5”共出现多少次?
6.小军买了6张电影票(见下图),他想撕下相连的4张,共有几种不同的方法?
1
2
3
4
5
6
7.一根绳子对折三次,然后每隔一定的长度剪一刀,共剪了5刀,这样,原来的绳子被剪成了多少段?
8.如右图,等腰梯形的下底是上底的2倍,两个底角都是60度,如何将这个梯形分成大小、形状完全相同的4块?
9.把边长是10厘米的正方形卡片按下图重叠起来(下一个正方形的顶点恰好在上一个正方形的中心),10张这样的卡片重叠之后,所组成的图形周长是多少厘米?
10.一块长方形布,长27分米,宽10分米,把它裁成直角边分别是5分米、2分米的三角巾,最多能裁多少块?
怎样裁?
第29讲数值代入法和玫举法
例题与方法
例1有黄、红、绿、蓝、黑五种颜色的铅笔,每两种颜色的铅笔为一组,最多可以配成不重复的几组?
例2有5张卡片,分别写有数字1、2、3、4、6。
现从中取出3张卡片,并排放在一起,组成一个三位数,如123。
可以组成多少个不同的偶数?
例3从3名男生、2名女生中选出3名值日生,其中至少要有1名女生,一共有多少种不同的选法?
例4对于任意自然数n,当n为奇数时加上121,当n为偶数时除以2,这算一次操作。
现在对231连续进行操作,在操作的过程中是否可能出现100?
为什么?
例5同一平面内的1988条直线,最多有多少个不同的交点?
思考与练习
1.从1~100的自然数中,每次取出2个不同的自然数想加,使其和大于100,共有几种不同的取法?
2.把六个字母A、A、E、E、F、F排成一行,使同一字母不相邻,并且自左至右前三个字母各不相同,这样的排法有几种?
3.由数字1、2、3、4、6、7,共可组成多少个没有重复数字的四位数?
4.从3、5、7、13、17、19这六个数中,每次取两个数组成真分数,这样的真分数有多少个?
5.黑板上有5和7两个数,现在规定:
将黑板上任意两个数相加的和写在黑板上。
问:
经过若干次操作后,黑板上能否出现23?
6.广州至上海的某次列车,除起点和终点外,还要停靠4个站,应准备多少种不同的车票?
若再考虑上海至广州的列车,总共应准备多少种不同的车票?
7.书架上有6本不同的画报和10种不同的故事书,请你每次从书架上取出一本画报和一本故事书,共有多少种不同的取法?
8.如图,从上往下,沿线读出“我们爱好学数学”,一共有多少种不同的路线?
我
们们
爱爱爱
好好好好
学学学
数数
学
9.4枚硬币都是国徽一面朝上放着,每次同时将其中3枚硬币翻面,至少要翻几次才能把所有的硬币都翻成另一面?
10.平面上有8个圆,最多能把平面分成多少个部分?
第28讲对策问题
例题与方法
例1有一筐苹果共53个,甲、乙两人轮流从中拿走1个或2个苹果。
规定谁拿走最后一个苹果,谁获胜。
如果甲先拿,那么他有没有必胜的策略?
例2有一个3x3的棋盘以及9张卡片,卡片上分别写有1,3,4,5,6,7,8,9,10这9个数。
甲、乙两人做游戏,轮流取一张卡片放到9格中的一格,由甲方计算上、下两行6个数的和;乙方计算左、右两列6个数的和,和数大的一方为胜。
试问:
甲方如先取一定能胜吗?
例3有9张卡片,上面分别写着1,2,3,4,5,6,7,8,9。
甲、乙两人轮流取一张,谁手上的3张卡片数字加起来等于15,谁就取胜。
问:
保证不败的对策是什么?
例4黑板上写有1993个数:
2,3,4,….1994。
甲、乙两人轮流擦去黑板上的一个数(甲先擦,乙后擦)。
如果最后剩下的两个数互质,则甲胜,否则乙胜。
问:
谁必获胜?
必获胜的对策是什么?
例5甲、乙两人进行游戏比赛,轮流在黑板上写上不超过10的自然数,并且规定:
不允许写黑板上已写过的数的约数,轮到游戏人无法再写数时,就是输者。
现甲先写,乙后写,问:
谁必获胜?
必获胜的对策是什么?
思考与练习
1.两人轮流报数,规定每次报数都是不超过8的自然数,把两人报的数累加起来,谁先到88,谁就获胜。
问:
先报数者有无必胜的策略?
2.两人轮流数数,每人每次只能连续数1个或2个,不能不数,如果甲先数1,乙接着可数2或2、3,如此继续,谁先到30谁就获胜,问:
如何取胜?
3.小红、小民两人进行如下的游戏:
取一块大的巧克力,上面有5条横线,9条竖线,这些线将巧克力分成60个小格。
小红先沿着一条线将巧克力掰成两块(两块不一定相等),吃掉其中一块,小民再沿着另一条线将剩下的巧克力掰成两块,吃掉其中一块…….这样继续下去,两人轮流掰吃这块巧克力,谁吃到最后一块算输掉。
问:
小红、小民谁有必胜的策略?
4.甲、乙两人在长方形桌上放一些大小相同的圆形硬币(不能重叠),甲先放,乙后放。
如果一方没有位置可放时,另一方就获胜。
问:
谁能胜,需什么对策?
5.两人轮流数数,每人每次可以数1个、2个或3个,但是不能不数,例如,第一个人数1、2,第二个人接着往下数3,也可以数3、4,也可以数3、4、5,如此继续。
谁数到100,谁就算胜。
请试一试,怎样才能获胜?
6.甲、乙两人轮流从1993颗棋子中取走1颗、2颗、3颗,甲先取,乙后取,谁取到最后一颗棋子的就是胜利者。
问:
甲、乙两人谁必胜?
为了取胜,应采取怎样的策略?
7.在黑板上写有2n+1个数:
2,3,4,…….,2n+1,2n+2,甲、乙两人轮流擦去黑板上的一个数(甲先擦,乙后擦),如果最后剩下的两个数互质,则甲胜,否则乙胜。
问:
谁必胜?
必胜的策略是什么?
8.甲、乙两人轮流在黑板上写上不超过14的自然数,书写规则是:
不允许写黑板上已写过的数的约数,轮到书写人无法再写时就是输者。
现甲先写,乙后写。
问:
谁能获胜?
应采取什么对策?
9.甲、乙两人轮流在1994颗棋子中取走1颗或奇数颗,甲先取,乙后取,取到最后一颗棋子者为胜者。
问:
甲、乙两人谁能获胜?
要获胜的话,应采取什么对策?
10.甲、乙两人轮流在如下图所示的空格内画符号,甲画“√”或“X”,规定每人至少画1格,至多画3格;空格画满后计数,哪一方的总数为偶数,哪一方就获胜。
如何确保获胜?
第27讲近似值与估算
例题与方法
例1已知两式:
45678÷12345,56789÷23456。
只用心算,你能比较出这两个式子的值的大小吗?
如果能,请说明理由。
例2老师在黑板上写了13个自然数,让小明计算它们的平均数(得数保留两位小数)。
小明算出的答案是12.43。
老师说:
“最后一位数字错了,其他数字都对。
”正确的答案是什么?
例3已知S=
,求S的整数部分。
例4设135********1719212325÷523212917151311197531=a,则a的小数点后的前5位数字是多少?
例5
的整数部分是多少?
思考与练习
1.A=33331÷33334,B=22221÷22223。
试比较A、B的大小
2.987654321÷123456,所得的商小数点前有几位数?
3.找两个连续自然数,使
比其中一个数大,比另一个数小。
这两个连续的自然数分别是几?
4.有30个数,1.64,1.64+
,1.64+
,…1.64+
,1.64+
。
如果取每个数的整数部分,(例如,1.64的整数部分是1,1.64+
的整数部分是2),并将这些整数相加,那么和是多少?
5.设A=(
)Χ385,求A的整数部分。
6.已知A=
,求A的整数部分。
7.在1−
中,从左到右算到第几个数,它的值最接近0.6?
8.
1.26,则a,b各是多少?
9.设a=
,求a的近似值(保留三位小数)。
10.已知a=
X100,求a的整数部分。
第26讲时间问题
例题与方法
例1有一个时钟,每小时快30秒,它在2006年1月1日中午12点时是准确的,下一次准确的时间是什么时候?
例2有一只钟,每小时比标准时间慢1分,中午12点校准时间,晚上该钟指向9点的时候,标准时间是晚上几点几分?
例3小王的闹钟一昼夜快3分,他想让这只钟在第二天早上北京8点准时闹响,今天下午4点种时没,这个闹钟应该往慢拨多少分?
例4某科学家设计了一只怪钟,这只钟每昼夜只有10小时,每小时100分钟。
当这只钟显示5点时,实际上是中午12点。
当这只怪钟显示7点75分时,实际上是什么时间?
例5一只快钟每小时比标准时间快10秒,一只慢钟每小时比标准时间慢20秒,若将两个钟同时调到标准时间,结果在24小时内,快钟显示7点整时,慢钟恰好显示6点50分,此时的标准时间是多少?
思考与练习
1.现在时钟显示的时间是10点整,如果分针旋转2006圈,那么时钟显示的时间是几点整?
2.有一只时钟每小时慢1分,它在3月1日上午8点对准,下一次准确的时间是什么时候?
3.有一只钟,每小时比标准时间快2分,中午12点调准,下午快钟指向6点的时候,标准时间是下午几点?
4.小张家的挂钟每小时慢2分,早上8点,小张把挂钟对准了标准时间,那么这只挂钟走到中午12点时,标准时间是几点几分?
5.王子寒家有一只闹钟,每小时比标准时间慢半分钟。
有一天晚上9点整,王子寒对准了闹钟,他想第二天早晨6点55分起床,于是他将闹钟定在了6点55分,请问:
这个闹钟将在标准时间何时响起?
6.小红家有一只闹钟,每小时比标准时间快1分钟。
星期天上午9点,小红对准了闹钟,并且设了闹铃,想让闹钟在标准时间11点的时候闹铃,提醒她帮妈妈做饭。
小红应该把闹钟设定在几点几分上?
7.小齐晚上9点将手表时间对准,但是第二天早晨他8点到校时却发现自己迟到了10分钟,那么小齐的手表每小时慢几分?
8.有甲、乙两只表,甲表8点15分,乙表8点31分,甲表比标准时间每9小时快3分钟,乙表比标准时间每7小时快3分钟。
至少再经过几小时,两只表的指针指在同一时刻?
9.甲、乙两人都要在上午11点到火车站,甲的手表实慢3分钟,但是他认为自己的手表快3分钟;乙的手表实快3分钟,但是他认为自己的手表慢3分钟。
甲、乙两人谁先到火车站?
10.王叔叔有一只手表,他发现手表比家里的闹钟每小时快60秒,而闹钟每小时比标准时间慢60秒。
那么王叔叔的手表一昼夜比标准时间相差多少秒?
第25讲时钟问题
例题与方法
例1从7点整开始,再经过多少分钟,时针正好和分针重合?
例26时整,分针和时针正好在一条直线上,至少经过多少分钟,两针正好垂直?
例3在4点与5点之间,时针和分针在什么时刻位于一条直线上?
例4在钟面上,1时50分的时刻,时针与分针的夹角是多少度(如图,指小于或等于180°的角)?
例5
现在的钟面时间如图甲所示,经过多长时间,时针与分针到“4”的距离第一次相等?
甲乙
思考与练习
1.从5点整开始,再经过多少分钟,时针正好和分针重合?
2.从7点整开始,至少经过多少分钟,两针正好垂直?
3.吃过晚饭,方宇一家出去散步,他们出门前钟面显示7点多钟,他们回来后钟面显示也是7点多钟,且两次钟面上时针和分针恰好位于一条直线上,请问:
他们散步用了多长时间?
4.现在是8点整,再过多长时间,时针和分针将第一次在一条直线上?
5.现在是12点整,时针和分针重合,至少再经过多少分钟,时针和分针将再次重合?
6.4时整时,时针与分针的夹角是多少度(指小于180°的角)?
7.在钟面上,8时25分的时刻,时针与分针的夹角是多少度(指小于180°的角)?
8.6点过多少分时,时针与分针到“6”的距离第一次相等?
9.8点到9点之间,在什么时刻时针与分针之间的夹角是60°?
10.9点26分,时钟的分针与时针的夹角(指小于180°的角)是多少度?
第24讲优化与统筹
(二)
例题与方法
例1刘叔叔在星期一、三、五乘公共汽车上下班,星期二、四乘公共汽车上班,搭朋友的小轿车下班回家。
如果刘叔叔乘公共汽车,单程票价是1元,周票是9元,你认为刘叔叔买周票合算还是不买周票合算?
为什么?
例2某车队的大卡车载重量8吨,耗油量是15升;小卡车的载重量2吨,耗油量是4升。
现要装运100吨的货物,用几辆大卡车和几辆小卡车耗油量最少?
例3甲、乙两厂生产某一规格的上衣和长裤,甲厂每月用16天生产上衣,14天生产长裤,正好配为448套;乙厂每月用12天生产上衣,18天生产长裤,正好配成720套。
现在两厂合并,每月最多可生产多少套?
例4甲、乙两位探险者要到沙漠深处探险,他们每天可走30千米,已知每人最多可带一个人24天的食物和水,如果允许将部分食物存放在途中,那么其中一个人最多可走入沙漠多少千米?
例5仓库内有一批14米长的钢材,把它们割成3米长和5米长的各50根。
如果不计损耗,最少要从仓库内取出多少根钢材?
思考与练习
1.烧一道菜要七道工序,每道工序所需要的时间是:
敲蛋1分钟,洗葱切葱2分钟,打蛋3分钟,洗锅2分钟,烧热锅2分钟,烧热油4分钟,炒蛋4分钟。
你认为做好这道菜最短的时间是多少?
2.有157吨货物要运到A地,大卡车每次载重5吨,耗油10升;小卡车每次载重2吨,耗油5升。
用大、小卡车各多少辆运输耗油量最少?
3.双休日48名学生去公园划船,每只小船坐3人,租金20元;每只大船坐5人,租金30元。
最少要付租金多少元?
4.时新服装厂的工人,每人每天可生产8件上衣或14条裤子,一件上衣和一条裤子为一套。
现在有154名工人参加生产,每天最多能生产多少套服装?
5.李厂长要把一个紧急通知传达给全厂的975名员工,如果用电话联系,每通知1人需1分钟,而见面一次可通知60人,但需要7分钟。
李厂长要在最短的时间里通知完,最少需要多少分钟?
6.一个棱长为3厘米的正方体,一只小虫从一个顶点出发沿棱爬行,如果要求不走重复路线,小虫回到起点的最长路线是多少?
7.把一块面积为108平方厘米的正方形铁皮做成一个无盖的正方体盒子,这个盒子的表面积最大是多少?
8.一个盒子里装有标号1~100的100张卡片,某人从盒子里随意抽卡片,如果要求取出的卡片中至少有两张卡片的标号之差为5,那么此人至少要抽出多少张卡片?
9.一只猴子每天吃桃子,如果每天吃的桃子数量互不相同,那么100个桃子最多够几只猴子吃几天?
10.某种机床,重庆需要8台,武汉需要6台,正好北京有10台,上海有4台,每台机床的运费如下表:
单位:
元
武汉
重庆
北京
400
800
上海
300
500
请问应该怎样调度,才能使总运费最节省?
第23讲优化与统筹
(一)
例题与方法
例1一只平底锅上只能煎两只饼。
用它煎1只饼需要2分钟(正、反面各1分钟)。
问:
煎3只饼需几分钟?
怎样剪?
例26个人各拿一只水桶到水龙头接水。
水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟。
现在只有这一个水龙头可用,问:
怎样安排这6个人的打水次序,可使他们总的等候时间最短?
这个最短时间是多少?
例3小红放学回家,想让爸爸、妈妈下班就能吃上晚饭。
她准备做大米饭和炒鸡蛋。
小红家有两个炉灶。
她估计一下,洗锅要1分钟,淘米要5分钟,做大米饭要用30分钟,打蛋要用1分钟,洗炒勺要用1分钟,烧油要1分钟,炒鸡蛋要3分钟。
你认为经过最合理的安排后,只要多少分钟就能做好饭菜?
例4如下图,在公路上,每隔100千米有一个仓库,共有5个仓库。
1号仓库有10吨货物,2号仓库有20吨货物,5号仓库有40吨货物,其余两个仓库是空的。
现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里,若每吨货物运输1千米要0.5元运输费,那么至少要花费多少元运费才行?
例5工地上有手推车20辆,其中10辆从A1运垃圾到B1,要60车次运完,另外10辆从A2运砖头到B2,要40车次运完。
工地上的可行道路及路程如图(单位:
米)。
有人说上面的安排不合理,因为跑空车的路程还可以更少些。
那么,怎样安排才算合理呢?
思考与练习
1.有7个满杯水、7个半杯水、7个空杯,不许倒掉水,你能把这些东西平均分给3个人,使得每人有7只杯子和3杯半水吗?
2.有8个人在交通事故中受伤,救援人员1人可以救护2人,而1辆救护车只可以坐4个人(包括司机)。
至少应开出几辆救护车到事故现场?
3.理发室有甲、乙两位理发师,同时来了5位顾客,根据顾客所要理的发型,分别需要10分钟、12分钟、15分钟、20分钟和24分钟。
怎样安排他们理发顺序,才能使这5个人的理发及等候所用时间的和最少?
最少要花多少时间?
4.甲、乙两村相距10千米,要在两村之间建一所联合小学。
甲村有60人上学,乙村有40人上学。
那么学校应该建在什么地方,才能使这100名学生每天上学的总行程最短?
5.妈妈让小明给客人烧水沏茶。
洗开水壶要1分钟,烧开水要15分钟,洗茶壶要1分钟,洗茶杯要1分钟,拿茶叶要2分钟。
为了使客人能早点喝上茶,按你认为最合理的安排,多少分钟就能沏茶了?
6.在一条公路上有四家工厂,相邻的每两家工厂距离相等(如下图所示)。
现在要在这条公路上设一车站,使得这四家工厂的所有工人步行到车站的总行程最少,这个车站应设在几号工厂门口?
7.小明骑在牛背上赶牛过河。
共有甲、乙、丙、丁4头牛,甲牛过河需要1分钟,乙牛过河需要2分钟,丙牛过河需要5分钟,丁牛过河需要6分钟。
每次只能赶两头牛过河,那么小明要把4头牛都赶到对岸,至少要用多少分钟?
8.甲、乙两个仓库各有100吨化肥。
春耕生产时,北乡要60吨化肥,南乡要80吨化肥。
两个仓库到两乡的路程如下图所示(单位:
千米)。
如果每吨化肥每运1千米要1元的运费。
问:
(1)要使运费最省,必须从甲库运多少吨?
(2)最省的总运费是多少?
9.A、B两家钢铁公司分别存有钢材1100吨和2000吨。
现要用火车从这两家公司把这批钢材分别运送到甲、乙、丙、丁四个城市,支援那里的重点工程建设。
这四个城市的重点工程所需钢材数量依次是100吨、1500吨、400吨、1100吨。
A、B两家公司与四个城市之间的铁路长(单位:
千米))
如下表:
钢铁
公司
工程所在地
甲
乙
丙
丁
A
150
370
510
510
B
140
70
210
250
问:
怎样调运这两批钢材,运费最少?
10.沿铁路有5家工厂A,B,C,D,E(如图),各厂每天都有10吨货物要外运。
现在想建一座车站,统一运送货物,要使这5家工厂的货物运到车站的行程总和最小,车站应该建于何处?
第22讲商业中的数学
(二)
例题与方法
例1某旅游景点的门票价格及优惠办法如下表:
人数
1~49人
50~99人
100人以上
每人票价
12元
10元
8元
现有两个旅游团,如果分别购票,两个团共应付门票费1166元,如果两个旅游团合并在一起购票,两个团一共只需门票费880元。
这两个旅游团分别是多少人?
例2
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 31 讲容斥 原理
![提示](https://static.bingdoc.com/images/bang_tan.gif)