现代控制理论数学基础.docx
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现代控制理论数学基础
现代控制理论数学基础
现代控制理论基础
数学基础:
主讲丁立军
一:
矢量空间的定义
矢量空间是线性空间,矢量空间中的运算,属于线性运算法则范畴。
例如:
属于二维矢量空间,属于n维矢量空间。
当x属于某一矢量集V时,称x是V的元素,即x∈V。
线性空间的定义:
如果V是非空的集合,P为数域,设V具有如下性质:
1:
V中的元素定义有加法,使任何x,y∈V有z=x+y∈V,并且加法运算具有下列性质:
1)x+y=y+x
2)x+y+z=(x+y)+z
2:
V中有这样的元素,称为零向量,记作0,它具有如下性质:
1)对任何x∈V,有x+0=0+x=x
2)对任何x∈V,存在-x∈V,使x+(-x)=0,则-x为x的逆元素。
3:
在V中定义了数乘,使任何α∈P,x∈V,有αx∈V,且
1)α,β∈P,x∈V有(αβ)x=α(βx)
2)(α+β)x=αx+βx
3)α(x+y)=αx+αy
4)1·x=x
在上述条件下,称V为数域P上的线性空间,若P为复数域C(或实数域R)则V为C(或R)上的线性空间。
线性空间中的元素称为矢量,因此线性空间也叫矢量空间。
二:
空间的维数
1:
空间矢量的线性相关性和线性无关性
设V是线性空间,x1,x2,…xm∈V,如果能找到一个数组(k1,k2,…km)≠(0,0,…0),使k1x1+k2x2+…+kmxm=0成立,则称x1,x2,…xm线性相关。
反之,如果仅当(k1,k2,…km)=(0,0,…0),才有k1x1+k2x2+…+kmxm=0成立,则称x1,x2,…xm线性无关。
例1:
求矢量x=(1,1),y=(2,2)的线性相关性。
解:
令k1x+k2y=0,得:
即:
有非零解,故x,y线性相关。
例2:
求矢量x=(1,0),y=(0,1)的线性相关性。
解:
令k1x+k2y=0,得:
故x,y线性无关。
例3:
求矢量x=(1,4,1),y=(1,2,3),z=(1,3,6)的线性相关性。
解:
令k1x+k2y+k3z=0,得:
其系数行列式:
故x,y,z线性无关。
定理一:
设有n个矢量:
a1=(a11,a12,…a1n)
a2=(a21,a22,…a2n)
…
an=(an1,an2,…ann)
如果行列式:
则a1,a2…an必线性无关。
定理二:
当m≥2时,矢量a1,a2…am线性相关的充要条件是其中至少有一个矢量可表示成其它m-1个矢量的线性组合。
定义:
在线性空间V中,若存在n个元素a1,a2…an满足:
1):
a1,a2…an线性无关;
2):
V中的任一元素a总可由a1,a2…an线性表示,则称a1,a2…an为线性空间V的一个基,n称为V的维数,记为dimV=n。
维数为n的线性空间称为n维向量空间Vn,实n维列向量空间记为Rn,复n维列向量空间记为Cn。
2:
矩阵的秩与矢量相关性的关系
(1)秩的定义:
矩阵中所含不等于零的子行列式的最高阶数,称为矩阵的秩。
矩阵A的秩记为rankA。
若A为n阶方阵:
rankA rankA=n,称A为满秩矩阵(非奇异矩阵),此时 detA≠0。 (2)矩阵的秩与矢量相关性的关系 定理三: 若rankA=r,则A中有r个行(列)矢量线性无关,而其余的行(列)矢量是这r个行(列)矢量的线性组合。 定理四: n阶行列式的行(列)矢量线性无关的充要条件是其行列式不等于零。 定理五: 设A∈Rn×m,B∈Rm×s,则 rank(AB)≤min(rankA,rankB)。 (3)线性方程式的解与秩的关系 设线性方程组: a11x1+a12x2+…a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…a2nxn=b2 … am1x1+am2x2+…amnxn=bm 可写成矩阵形式AX=b 其中: 增广矩阵: 定理六: 线性方程组有解的充要条件是: 定理七: 线性方程组有唯一解的充要条件是: 有无穷多个解的充要条件是: 定理八: 对于齐次方程组AX=0,当m 三: 逆矩阵和矩阵的微分和积分 1: 逆矩阵 对于非奇异矩阵A,存在着一个逆矩阵A-1,使AA-1=A-1A=I。 逆矩阵具有如下性质: (A-1)K=(AK)-1、(A-1)T=(AT)-1、(A-1)*=(A*)-1 其中AT、A*分别为A的转置矩阵和共轭转置矩阵。 若A、B均为非奇异矩阵,有(AB)-1=B-1A-1。 例: 设 求A-1。 解: |A|=17 2: 矩阵的微分 设: 矩阵的微分法则: 3: 矩阵的积分 设 四: 格兰姆矩阵和格兰姆行列式 设x1,x2,…xn为m维向量空间V中的一组向量,下列n×n矩阵称为x1,x2,…xm的格兰姆矩阵G,其行列式detG称为格兰姆行列式。 其中: 定理: F(t)的列向量f1,f2,…fn线性独立的充要条件是它们的格兰姆矩阵非奇异。 证明: 充分性: 设格兰姆矩阵非奇异,求证f1,f2,…fn线性无关。 即: (1) 只有零解。 (1)式左乘fjT(j=1,2,…n),对t积分: (2) 即: 或写为: (3) 由于f1,f2,…fn的格兰姆矩阵非奇异,故上式只有零解,即: 说明f1,f2,…fn线性无关。 必要性: 若f1,f2,…fn线性无关,求证f1,f2,…fn的格兰姆矩阵非奇异。 或f1,f2,…fn的格兰姆矩阵奇异,求证f1,f2,…fn线性相关。 显然,由于f1,f2,…fn的格兰姆矩阵奇异,说明(3)式有非零解,即存在使(3)式成立。 (3)式成立说明 (2)式成立,对于 (2)式,分别乘以αj(j=1,2,…n),并相加,得: (4) 上式中为一列向量,其转置为行向量。 故具有非负性,由(4)式可知存在 使成立。 说明f1,f2,…fn线性相关。
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