(完整版)重积分习题及答案.doc
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第九章重积分
(A)
1.填空题
(1)设,,定义于,,则
(2)设曲顶柱体的顶面是,,侧面是母线平行于轴,准线为的边界线的柱面,则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为。
(3)在极坐标系中,面积元素为。
2.利用二重积分的性质,比较下列积分大小
(1)与,其中积分区域由轴,轴以及直线所
围成。
(2)与,其中积分区域是由圆周所围成。
3.利用二重积分性质,估计积分的值,其中是圆形闭区域。
4.交换积分的积分次序。
5.交换积分的积分次序。
6.交换二次积分的积分次序。
7.计算,其中是由两坐标轴及直线所围成的闭区域。
8.计算,其中是顶点分别为,和的三角形区域。
9.计算,其中是顶点分别为,,和的梯形闭区域。
10.计算二重积分,其中区域由曲线与围成。
11.计算二重积分,其中是由圆周及轴所围成的右半闭区域。
12.计算,其中是圆环域。
13.计算,:
,,。
14.计算二重积分,其中:
。
15.计算。
16.求区域的面积。
17.求由,,围成的平面图形的面积。
18.求椭圆抛物面与平面所围成的立体体积。
19.设平面上半径为的圆形薄片,其上任一点处的密度与该点到圆心的距离平方成正比,比例系数为,求该圆形薄片的质量。
20.由圆,所围成的均匀薄片,面密度为常数,求它关于坐标原点的动惯量。
(B)
1.选择题
设空间区域:
,,:
,,,,则………………()
A.B.C.D.
2.根据二重积分性质,比较下列积分大小:
(1)与,其中是三角形区域,三顶点分别为,,。
(2)与,其中是矩形闭区域:
,。
3.估计积分值,其中是由圆周围成。
4.估计二重积分的值。
5.交换二次积分次序。
6.交换二次积分的次序:
。
7.改变积分次序。
8.计算二重积分,其中是由直线,,及双曲线所围成的区域。
9.计算二重积分。
10.计算积分。
11.其中是由所确定的闭区域。
12.,其中是由直线,及所围成的闭区域。
13.计算,其中由抛物线及直线所围成。
14.计算。
15.计算,是由曲线,,所围成的区域。
16.计算。
17.计算,其中为在第一象限的部分。
18.计算。
19.计算。
20.计算
21.计算三重积分,其中由三个坐标面与平面所围成。
22.计算,其中是平面和三个坐标平面所围成的区域。
23.计算积分。
24.计算积分,其中为第一象限中由旋转抛物面与圆柱面所围成的部分。
25.计算,其中是由曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面,所围的立体。
26.求由下列曲面所界的体积,,,,,。
27.求由圆锥面与旋转抛物面所围立体的体积。
28.求平面被三坐标面所割出部分的面积。
29.求底圆半径相等的两个直交圆柱面及所围立体的表面积。
30.一个物体由旋转抛物面及平面所围成,已知其任一点处的体密度与到轴的距离成正比,求其质量。
31.求由圆,所围成的均匀薄片的重心。
32.一均匀物体(密度为常量)占有的闭区域是由曲面和平面,,所围成的。
(1)求其体积;
(2)求物体的重心;(3)求物体关于轴的转动质量。
(C)
1.将下面积分化为重积分,并求的值。
,其中,为常数。
2.设区域为图中斜线部分,试将二重积分化为两种次序的二次积分。
3.计算三重积分,其中是由曲面与所围成的区域。
4.计算,:
。
5.设连续,且,其中是由,,所围区域,求。
6.
(1)计算,其中;
(2)试证。
7.求曲面Σ:
上任一点的切平面与曲面:
所围立体的体积。
8.设,其中为连续函数,存在,且,,求。
第九章重积分
(A)
1.填空题
(1)设,,定义于,,则
>
(2)设曲顶柱体的顶面是,,侧面是母线平行于轴,准线为的边界线的柱面,则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为。
(3)在极坐标系中,面积元素为。
2.利用二重积分的性质,比较下列积分大小
(1)与,其中积分区域由轴,轴以及直线所
围成。
解:
在区域内,,两边乘以,得,故由性质得:
(2)与,其中积分区域是由圆周所围成。
解:
令两被积函数相等,得或,直线与圆周交点为由图知:
位于的半平面内故,因而。
3.利用二重积分性质,估计积分的值,其中是圆形闭区域。
解:
因为,故,故
4.交换积分的积分次序。
解:
由积分上下限画出积分区域,,故重积分交换积分次序为:
。
5.交换积分的积分次序。
解:
画出积分区域图,易知。
6.交换二次积分的积分次序。
解:
积分的上下限作出积分区域的图形,原式。
7.计算,其中是由两坐标轴及直线所围成的闭区域。
解:
。
8.计算,其中是顶点分别为,和的三角形区域。
解:
原式
9.计算,其中是顶点分别为,,和的梯形闭区域。
解:
原式
10.计算二重积分,其中区域由曲线与围成。
解:
解,得交点,
:
,
原式
11.计算二重积分,其中是由圆周及轴所围成的右半闭区域。
解:
原式
12.计算,其中是圆环域。
解:
在极坐标系下计算积分
的边界曲线的极坐标方程为:
,,
极点在内,射线与的边界交于两点,,,故
原式。
13.计算,:
,,。
解:
原式
14.计算二重积分,其中:
。
解:
在极坐标下计算
原式
15.计算。
解:
需改变积分次序才能完成积分,积分区域如图所示
原式
16.求区域的面积。
解:
区域在极坐标下可表示为
故区域的面积为:
17.求由,,围成的平面图形的面积。
解:
设所求面积为,由,得交点,
18.求椭圆抛物面与平面所围成的立体体积。
解:
考虑到图形的对称性,只需计算第一卦限部分即可
即
故
19.设平面上半径为的圆形薄片,其上任一点处的密度与该点到圆心的距离平方成正比,比例系数为,求该圆形薄片的质量。
解:
建立坐标系如图。
则,在处的密度为,取的微元,于是
化为极坐标,有,于是
20.由圆,所围成的均匀薄片,面密度为常数,求它关于坐标原点的动惯量。
解:
由题意知转动惯量
(B)
1.选择题
设空间区域:
,,:
,,,,则………………(B)
A.B.C.D.
2.根据二重积分性质,比较下列积分大小:
(1)与,其中是三角形区域,三顶点分别为,,。
解:
经过顶点与的直线方程为,由于区域在该直线下方,所以区域中的点满足,因而满足。
类似地又知区域中的点满足,,因而满足,进一步可知,在不等式两边乘以得,因而有。
(2)与,其中是矩形闭区域:
,。
解:
在上有,所以,,因而有。
3.估计积分值,其中是由圆周围成。
解;以下求出被积函数的最大,最小值,再由二重积分性质估计积分值。
在内部,,,因此在区域内设有驻点,故最值一定在边界上达到,作-函数:
令,
解得驻点为,,比较得,,积分区域的面积,于是。
4.估计二重积分的值。
解:
以下用二重积分的中值定理估计积分值,其本质上与用单调性估值是一致的,因为在闭区域上连续,所以在上至少有一点,使得,显然,而,所以
5.交换二次积分次序。
解:
原式。
事实上,由图即可知积分区域是由三条直线,,所围成。
6.交换二次积分的次序:
。
解:
积分区域:
,积分区域,:
,:
,:
,则
。
7.改变积分次序。
解:
由积分上下限画出积分区域,积分区域是由上半圆周,,抛物线,;与直线三者所围成。
原式。
8.计算二重积分,其中是由直线,,及双曲线所围成的区域。
解:
采用先后的次序积分(先后将带来困难)
原式
9.计算二重积分。
解:
直接计算有困难,先交换积分次序,
原式
10.计算积分。
解:
先对积分较困难,先对积分可以用凑微分法求得,因此交换次序,
原式
11.其中是由所确定的闭区域。
解:
原式
12.,其中是由直线,及所围成的闭区域。
解:
原式
13.计算,其中由抛物线及直线所围成。
解:
画出的图形,选择先对积分,这时表示为:
,从而
原式
14.计算。
解:
按原式所给的次序计算积分,需进行二次分部积分,若交换积分次序,求积分较易,将:
,重新表示为:
,则
原式
15.计算,是由曲线,,所围成的区域。
解:
原式
16.计算。
解:
本题采用极价值计算:
原式
17.计算,其中为在第一象限的部分。
解:
采用极坐标计算:
原式
18.计算。
解:
利用函数和积分区域的对称性,
原式(为积分区域在第一象限的部分)
19.计算。
解:
由于积分区域是一个正方形,坐标轴将分成四个相等的子区域,被积函数关于这四个子区域是对称的,故
原式
20.计算
解:
根据绝对值,将积分区域分成两部分,
记区域为,,,:
,;:
,,则
原式
21.计算三重积分,其中由三个坐标面与平面所围成。
解:
先对积分,的变化范围是,可表示为:
,,
原式
22.计算,其中是平面和三个坐标平面所围成的区域。
解:
原式
。
23.计算积分。
解:
:
其中下底为平面,上底面为平面,它在平面上的投影是由,以及所围成,于是
注:
若将投影在平面上再进行计算,则
24.计算积分,其中为第一象限中由旋转抛物面与圆柱面所围成的部分。
解:
采用柱面坐标计算
原式
25.计算,其中是由曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面,所围的立体。
解:
用柱坐标计算
。
26.求由下列曲面所界的体积,,,,,。
解:
由题意,,积分区域是轴,轴及直线围成的三角形,于是
27.求由圆锥面与旋转抛物面所围立体的体积。
解:
选用极坐标计算
以下求立体在平面上的投影区域:
由,得
,,(舍)
因此,由,即围成
故得。
28.求平面被三坐标面所割出部分的面积。
解:
所求平面在面上的投影区域为以、为直角边的直角三角形。
,,
。
29.求底圆半径相等的两个直交圆柱面及所围立体的表面积。
解:
由对称性可知,所围立体的表面积等于第一卦限中位于圆柱面上的部分面积的16倍,这部分曲面的方程为
30.一个物体由旋转抛物面及平面所围成,已知其任一点处的体密度与到轴的距离成正比,求其质量。
解:
由题意,密度,于是物体的质量为,其中为曲面及平面所围成的区域。
在坐标面上的投影区域为圆,过内的任意点引平面于轴的直线,其与表面相交两点的竖坐标分别是与,于是
注:
在圆域上二重积分是用极坐标计算的。
31.求由圆,所围成的均匀薄片的重心。
解:
两圆所围成的区域如图所示。
由图形的对称性知,该薄片的重心在轴上,即。
又,而
,所以,故所求重心坐标为。
32.一均匀物体(密度为常量)占有的闭区域是由曲面和平面,,所围成的。
(1)求其体积;
(2)求物体的重心;(3)求物体关于轴的转动质量。
(1)由图形的对称性知:
(2)
(3)
(C)
1.将下面积分化为重积分,并求的值。
,其中,为常数。
解:
根据积分限画出积分区域,采用极坐标计算。
由两个积分限,及,,得积分区域是在第一角限中由半径,的两上同心圆:
,;轴及直线所围成,以下利用极坐标计算。
2.设区域为图中斜线部分,试将二重积分化为两种次序的二次积分。
解:
由,求得交点坐标,抛物线与轴的交点坐标为,则
。
3.计算三重积分,其中是由曲面与所围成的区域。
解:
由于曲面是一个圆锥面,曲面是上半单位球面,因此选用球面坐标计算最方便。
作球坐标变换,则曲面在坐标系中的方程为,曲面在的坐标系中的方程为,,。
因此积分区域变成:
,,,
注意到,因此
4.计算,:
。
解:
本题可利用三角函数的周期性解。
作极坐标变换,,则:
,,于是
原式
其中,。
由周期函数的积分性质,有
原式
5.设连续,且,其中是由,,所围区域,求。
解:
注意到是个数。
令,则是常数,此时,等式两边同时取二重积分得
即,得,故
6.
(1)计算,其中;
解:
积分区域在极坐标系下表示为
,则
.
(2)试证。
证:
考虑正方形区域,于是
作内切圆域与外接圆域,于是,因,故有
由
(1)的结果,得
令,由夹逼准则,得即
因此,广义积分收敛,其值为,因为偶函数,故,即
7.求曲面Σ:
上任一点的切平面与曲面:
所围立体的体积。
解:
以下先求切平面方程,然后求切平面与的交线,它在平面上的投影,最后求体积。
(1)先求切平面方程
设是Σ上任意点,则,Σ在点的法向量,切平面方程是
,即
(2)求切平面与的交线及切平面与所围立体在平面的投影区域。
交线
在平面的投影是,即。
它围成的区域记为,即在平面投影区域。
(3)求的体积
令,
上式
8.设,其中为连续函数,存在,且,,求。
解:
先用球面坐标表示三重积分,再用洛必达法则求出。
,
26
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