人教版七年级数学上册绝对值含答案3.docx

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人教版七年级数学上册绝对值含答案3

绝对值

要点一、绝对值

1.定义：

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.

要点诠释：

（1）绝对值的代数意义：

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：

（2）绝对值的几何意义：

一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．

（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．

2.性质：

绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．

要点二、有理数的大小比较

1.数轴法：

在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小.如：

a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．

2.法则比较法：

两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：

两数同号

同为正号：

绝对值大的数大

同为负号：

绝对值大的反而小

两数异号

正数大于负数

－数为0

正数与0：

正数大于0

负数与0：

负数小于0

要点诠释：

利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：

（1）分别计算两数的绝对值；

（2）比较绝对值的大小；

（3）判定两数的大小．

3.作差法：

设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．

4.求商法：

设a、b为任意正数，若

，则

；若

，则

；若

，则

；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．

5.倒数比较法：

如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.

类型一、绝对值的概念

例1．计算：

（1）

（2）|-4|+|3|+|0|（3）-|+（-8）|

【答案与解析】运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果.

解：

（1）

，

（2）|-4|+|3|+|0|＝4+3+0＝7，

（3）-|+（-8）|＝-[-（-8）]＝-8．

【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：

一种是利用绝对值的几何意义求解，一种是利用绝对值的代数意义求解，后种方法的具体做法：

首先判断这个数是正数、负数还是0．再根据绝对值的代数意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是0．从而求出该数的绝对值．

例2．若|a﹣1|=a﹣1，则a的取值范围是（　　）

A.a≥1B.a≤1C.a＜1D.a＞1

【思路点拨】根据|a|=a时，a≥0，因此|a﹣1|=a﹣1，则a﹣1≥0，即可求得a的取值范围．

【答案】A

【解析】

解：

因为|a﹣1|=a﹣1，则a﹣1≥0，

解得：

a≥1，

【总结升华】此题考查绝对值，只要熟知绝对值的性质即可解答．一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．

举一反三：

【变式1】（2015•重庆校级模拟）若a＞3，则|6﹣2a|=　　（用含a的代数式表示）．

【答案】2a-6

【变式2】如果数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为．

如果｜x－2｜＝1，那么x＝；

如果｜x｜＞3，那么x的范围是．

【答案】6或-6；1或3；

或

【变式3】已知|a|＝3，|b|＝4，若a，b同号，则|a+b|＝_________；若a，b异号，则|a+b|＝________．据此讨论|a+b|与|a|+|b|的大小关系．

【答案】7，1；若a，b同号或至少有一个为零，则|a+b|=|a|+|b|；若a，b异号，则|a+b|＜|a|+|b|，

由此可得：

|a+b|≤|a|+|b|.

类型二、比大小

例3．比较下列每组数的大小：

（1）-（-5）与-|-5|；

（2）-（+3）与0；（3）

与

；（4）

与

．

【思路点拨】先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与0、负数与0、正数与负数、两个正数还是两个负数”，然后比较．

【答案与解析】

解：

（1）化简得：

-（-5）＝5，-|-5|＝-5．

因为正数大于一切负数，所以-（-5）＞-|-5|．

（2）化简得：

-（+3）＝-3．因为负数小于零，所以-（+3）＜0．

（3）化简得：

．这是两个负数比较大小，因为

，

，且

．所以

．

（4）化简得：

-|-3.14|＝-3.14，这是两个负数比较大小，因为|-π|＝π，|-3.14|＝3.14，而π＞3.14，所以-π＜-|-3.14|．

【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：

先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断．

举一反三：

【变式1】比大小：

（1）－0.3

（2）

．

【答案】＞；＞

【变式2】比大小：

（1）

______－1.384；

（2）－π___－3.14．

【答案】＞；＜

【变式3】若m＞0，n＜0，且|m|＞|n|，用“＞”把m，-m，n，-n连接起来．

【答案】解法一：

∵m＞0，n＜0，

∴m为正数，-m为负数，n为负数，-n为正数．

又∵正数大于一切负数，且|m|＞|n|，

∴m＞-n＞n＞-m．

解法二：

因为m＞0，n＜0且|m|＞|n|，

把m，n，-m，-n表示在数轴上，如图所示．

∵数轴上的数右边的数总比左边的数大，

∴m＞-n＞n＞-m．

类型三、含有字母的绝对值的化简

例4.（2016春•都匀市校级月考）若﹣1＜x＜4，则|x+1|﹣|x﹣4|=　．

【思路点拨】根据绝对值的性质：

当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a,可得|x+1|=x+1，|x﹣4|=﹣x+4，然后再合并同类项即可．

【答案】2x﹣3．

【解析】

解：

原式=x+1﹣（﹣x+4），

=x+1+x﹣4，

=2x﹣3.

【总结升华】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值的性质，正确判断出x+1，x﹣4的正负性．

举一反三：

【变式1】已知有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示：

化简：

.

【答案】

解：

由图所示，可得

．

　　∴

，

，

，

　　∵

．

　　∴原式

．

【变式2】求

的最小值．

【答案】

解法一：

当

时，则

当

时，则

当

时，则

综上：

当

时，

取得最小值为：

5.

解法二：

借助数轴分类讨论：

①

；②

；③

.

的几何意义为

对应的点到-2对应点的距离与

对应点到3对应点的距离和．

由图明显看出

时取最小值．

所以，

时，

取最小值5.

类型四、绝对值非负性的应用

例5.已知a、b为有理数，且满足：

，则a=_______，b=________．

【答案与解析】由

，

，

，可得

∴

【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0，要使这两个数的和为0，需要这两个数都为0．几个非负数的和为0，则每一个数均为0．

举一反三：

【变式1】已知

，则x的取值范围是________．

【答案】

；提示：

将

看成整体

，即

，则

，故

，

．

【变式2】已知b为正整数，且a、b满足

，求

的值．

【答案】解：

由题意得

∴

所以，

类型五、绝对值的实际应用

例6．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果（单位：

克）：

-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?

请说明理由．

【答案与解析】

解：

因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．

【总结升华】绝对值越小，越接近标准.

举一反三：

【变式】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程（单位：

cm）依次记为：

+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?

【答案】

解：

小虫爬行的总路程为：

|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54（cm）

小虫得到的芝麻数为54×2＝108（粒）

答：

小虫一共可以得到108粒芝麻.

课后练习

一、选择题

1．以下选项中比|﹣

|小的数是（　　）

A．1B．2C．

D.

2．如图

（一），数O是原点，A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c.根据图中各点的位置，

下列各数的绝对值的比较何者正确？

A．|b|＜|c|B．|b|＞|c|C．|a|＜|b|D．|a|＞|c|

3．满足|x|＝-x的数有（）．

A．1个B．2个C．3个D．无数个

4.若|x﹣5|=5﹣x，下列不等式成立的是（　　）

A.x﹣5＞0B.x﹣5＜0C.x﹣5≥0D.x﹣5≤0

5．a、b为有理数，且a＞0、b＜0，|b|＞a，则a、b、-a、-b的大小顺序是（）．

A．b＜-a＜a＜-bB．-a＜b＜a＜-bC．-b＜a＜-a＜bD．-a＜a＜-b＜b

6．下列推理：

①若a＝b，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若a≠b，则|a|≠|b|；④若|a|≠|b|，则a≠b．其中正确的个数为（）．

A．4个B．3个C．2个D．1个

7．设a是最小的正整数，b是最大的负整数的相反数，c是绝对值最小的有理数，则a、b、c的大小关系是（）．

A．a＜b＜cB．a＝b＞cC．a＝b＝cD．a＞b＞c

二、填空题

8．如果|a﹣2|+|b+1|=0，那么a+b等于　．

9.已知|x|=|﹣3|，则x的值为　　．　

10.绝对值不大于11的整数有个.

11.已知a、b都是有理数，且|a|=a，|b|=－b、，则ab是.

12.式子|2x-1|+2取最小值时，x等于.

13．数a在数轴上的位置如图所示，则|a-2|＝__________．

14.若

，则

0；若

，则

.

三、解答题

15．将

，

，

按从小到大的顺序排列起来．

16．正式的足球比赛对所用足球的质量都有严格的规定，标准质量为400克．下面是5个足球的质量检测结果（超过规定质量的克数记为正数，不足规定质量的克数记为负数）：

-25，+10，-20，+30，+15．

（1）写出每个足球的质量；

（2）请指出哪个足球的质量好一些，并用绝对值的知识进行说明．

17.定义：

数轴上表示数a和数b的两点A和B之间的距离是|a﹣b|．完成下列问题：

（1）数轴上表示x和﹣4的两点A和B之间的距离是　　；如果|AB|=2，那么x为　　；

（2）利用数轴以及已知中的定义，可得式子|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是　　．

（3）拓展：

当x=　　时，式子|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2011|的值最小，最小值是　　．

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】D

【解析】解：

∵|﹣

|=

，A、1＞

，故本选项错误；B、2＞

，故本选项错误；C、

=

，故本选项错误；D、﹣

＜

，故本选项正确；故选D．

2.【答案】A

【解析】由图

（一）可知，距离原点最远的是点C，其次是点A，最近的是点B，所以他们对应的数的绝对值的大小为：

或

，所以A正确.

3．【答案】D

【解析】x为负数或零时都能满足|x|＝-x，故有无数个．

4．【答案】D

5．【答案】A

【解析】画数轴，数形结合．

6．【答案】C

【解析】①正确；②错误，如|-2|＝|2|，但是-2≠2；③错误，如-2≠2，但是|-2|＝|2|；④正确．故选C．

7.【答案】B

【解析】a＝1，b＝-（-1）＝1，c＝0，故a＝b＞c．

二、填空题

8.【答案】1

【解析】解：

由题意得，a﹣2=0，b+1=0，

解得，a=2，b=﹣1，

则a+b=1，

故答案为：

1．

9.【答案】±3

10.【答案】23

　【解析】要注意考虑负数.绝对值不大于11的数有：

-11、-10……0、1……11共23个.

11.【答案】负数或零（或非正数均对）

【解析】非负性是绝对值的重要性质.由题意可知

≥0,

≤0.

12.【答案】

【解析】因为|2x-1|≥0，所以当2x-1=0，即x=

时，|2x-1|取到最小值0，同时|2x-1|+2也取到最小值2.

13.【答案】-a+2

【解析】由图可知：

a≤2，所以|a-2|=-（a-2）=-a+2.

14.【答案】＜；任意数.

三、解答题

15.【解析】

解：

因为

，

，

，

因为

，即

，

所以

．

16.【解析】

解：

（1）每个足球的质量分别为375克，410克，380克，430克，415克；

（2）质量为410克（即质量超过+10克）的足球的质量好一些.理由：

将检测结果求绝对值，再比较绝对值大小，绝对值最小的质量最好．

17.【解析】

解：

（1）数轴上表示x和﹣4的两点A和B之间的距离是|x﹣（﹣4）|；

如果|AB|=2，那么|x﹣（﹣4）|=2，

x+4=±2，解得x=﹣2或﹣6；

（2）x=2有最小值，最小值=|2﹣1|+|2﹣2|+|2﹣3|=1+0+1=2；

（3）1～2011共有2011个数，最中间一个为1006，此时|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2011|取得最小值，

最小值|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2011|

=|1006﹣1|+|1006﹣2|+|1006﹣3|+…+|1006﹣2011|

=1005+1004+1003+…+2+1+0+1+2+3+…+1005

=1011030．

故答案为|x﹣（﹣4）|；﹣2或﹣6；2；1006；1011030．