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高中数学基础知识点归纳
“师”之概念,大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。
其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。
《说文解字》中有注曰:
“师教人以道者之称也”。
“师”之含义,现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。
“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。
“老”在旧语义中也是一种尊称,隐喻年长且学识渊博者。
“老”“师”连用最初见于《史记》,有“荀卿最为老师”之说法。
慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制,老少皆可适用。
只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”,其只是“老”和“师”的复合构词,所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称,虽能从其身上学以“道”,但其不一定是知识的传播者。
今天看来,“教师”的必要条件不光是拥有知识,更重于传播知识。
第一部分集合
课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。
为什么?
还是没有彻底“记死”的缘故。
要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。
可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。
这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。
这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。
(1)含n个元素的集合的子集数为2^n,真子集数为2^n-1;非空真子集的数为2^n-2;
语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。
如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。
现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。
结果教师费劲,学生头疼。
分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。
造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。
常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强语感,增强语言的感受力。
久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。
(2)注意:
讨论的时候不要遗忘了的情况。
“师”之概念,大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。
其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。
《说文解字》中有注曰:
“师教人以道者之称也”。
“师”之含义,现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。
“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。
“老”在旧语义中也是一种尊称,隐喻年长且学识渊博者。
“老”“师”连用最初见于《史记》,有“荀卿最为老师”之说法。
慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制,老少皆可适用。
只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”,其只是“老”和“师”的复合构词,所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称,虽能从其身上学以“道”,但其不一定是知识的传播者。
今天看来,“教师”的必要条件不光是拥有知识,更重于传播知识。
(3)
教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分,我常采用范读,让幼儿学习、模仿。
如领读,我读一句,让幼儿读一句,边读边记;第二通读,我大声读,我大声读,幼儿小声读,边学边仿;第三赏读,我借用录好配朗读磁带,一边放录音,一边幼儿反复倾听,在反复倾听中体验、品味。
第二部分函数与导数
1.映射:
注意①第一个集合中的元素必须有象;②一对一,或多对一。
2.函数值域的求法:
①分析法;②配方法;③判别式法;④利用函数单调性;
⑤换元法;⑥利用均值不等式;⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距离、绝对值的意义等);⑧利用函数有界性(、、等);⑨导数法
3.复合函数的有关问题
(1)复合函数定义域求法:
①若f(x)的定义域为〔a,b〕,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出②若f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域。
(2)复合函数单调性的判定:
①首先将原函数分解为基本函数:
内函数与外函数;
②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性;
③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。
注意:
外函数的定义域是内函数的值域。
4.分段函数:
值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。
5.函数的奇偶性
⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件;
⑵是奇函数;
⑶是偶函数;
⑷奇函数在原点有定义,则;
⑸在关于原点对称的单调区间内:
奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性;
(6)若所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性;
6.函数的单调性
⑴单调性的定义:
①在区间上是增函数当时有;
②在区间上是减函数当时有;
⑵单调性的判定
1定义法:
注意:
一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断符号;
②导数法(见导数部分);
③复合函数法(见2
(2));
④图像法。
注:
证明单调性主要用定义法和导数法。
7.函数的周期性
(1)周期性的定义:
对定义域内的任意,若有(其中为非零常数),则称函数为周期函数,为它的一个周期。
所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。
如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期。
(2)三角函数的周期
⑶函数周期的判定
①定义法(试值)②图像法③公式法(利用
(2)中结论)
⑷与周期有关的结论
①或的周期为;
②的图象关于点中心对称周期为2;
③的图象关于直线轴对称周期为2;
④的图象关于点中心对称,直线轴对称周期为4;
8.基本初等函数的图像与性质
⑴幂函数:
(;⑵指数函数:
;
⑶对数函数:
;⑷正弦函数:
;
⑸余弦函数:
;(6)正切函数:
;⑺一元二次函数:
;
⑻其它常用函数:
1正比例函数:
;②反比例函数:
;特别的
2函数;
9.二次函数:
⑴解析式:
①一般式:
;②顶点式:
,为顶点;
③零点式:
。
⑵二次函数问题解决需考虑的因素:
①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。
⑶二次函数问题解决方法:
①数形结合;②分类讨论。
10.函数图象:
⑴图象作法:
①描点法(特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法③导数法
⑵图象变换:
1平移变换:
ⅰ,2———“正左负右”
ⅱ———“正上负下”;
3伸缩变换:
ⅰ,(———纵坐标不变,横坐标伸长为原来的倍;
ⅱ,(———横坐标不变,纵坐标伸长为原来的倍;
4对称变换:
ⅰ;ⅱ;
5翻转变换:
ⅰ———右不动,右向左翻(在左侧图象去掉);
ⅱ———上不动,下向上翻(||在下面无图象);
11.函数图象(曲线)对称性的证明
(1)证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;
(2)证明函数与图象的对称性,即证明图象上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点在的图象上,反之亦然;
注:
①曲线C1:
f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为:
f(2a-x,2b-y)=0;
②曲线C1:
f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C2方程为:
f(2a-x,y)=0;
③曲线C1:
f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);
④f(a+x)=f(b-x)(x∈R)y=f(x)图像关于直线x=对称;
特别地:
f(a+x)=f(a-x)(x∈R)y=f(x)图像关于直线x=a对称;
⑤函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称;
12.函数零点的求法:
⑴直接法(求的根);⑵图象法;⑶二分法.
13.导数
⑴导数定义:
f(x)在点x0处的导数记作;
⑵常见函数的导数公式:
①;②;③;
⑶导数的四则运算法则:
⑷(理科)复合函数的导数:
⑸导数的应用:
①利用导数求切线:
注意:
ⅰ所给点是切点吗?
ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的切线?
②利用导数判断函数单调性:
ⅰ是增函数;ⅱ为减函数;
ⅲ为常数;
③利用导数求极值:
ⅰ求导数;ⅱ求方程的根;ⅲ列表得极值。
④利用导数最大值与最小值:
ⅰ求的极值;ⅱ求区间端点值(如果有);ⅲ得最值。
14.(理科)定积分
⑴定积分的定义:
⑵定积分的性质:
①(常数);
③(其中。
⑶微积分基本定理(牛顿—莱布尼兹公式):
⑷定积分的应用:
①求曲边梯形的面积:
;
3求变速直线运动的路程:
;③求变力做功:
。
第三部分三角函数、三角恒等变换与解三角形
1.⑴角度制与弧度制的互化:
弧度,弧度,弧度
⑵弧长公式:
;扇形面积公式:
。
2.三角函数定义:
角中边上任意一点为,设则:
3.三角函数符号规律:
一全正,二正弦,三两切,四余弦;
4.诱导公式记忆规律:
“函数名不(改)变,符号看象限”;
5.⑴对称轴:
;对称中心:
;
⑵对称轴:
;对称中心:
;
6.同角三角函数的基本关系:
;
7.两角和与差的正弦、余弦、正切公式:
①
8.二倍角公式:
①;
9.正、余弦定理:
⑴正弦定理:
(是外接圆直径)
注:
①;②;③。
⑵余弦定理:
等三个;注:
等三个。
10。
几个公式:
⑴三角形面积公式:
;
⑵内切圆半径r=;外接圆直径2R=
11.已知时三角形解的个数的判定:
第四部分立体几何
1.三视图与直观图:
注:
原图形与直观图面积之比为。
2.表(侧)面积与体积公式:
⑴柱体:
①表面积:
S=S侧+2S底;②侧面积:
S侧=;③体积:
V=S底h
⑵锥体:
①表面积:
S=S侧+S底;②侧面积:
S侧=;③体积:
V=S底h:
⑶台体:
①表面积:
S=S侧+S上底S下底;②侧面积:
S侧=;③体积:
V=(S+)h;
⑷球体:
①表面积:
S=;②体积:
V=。
3.位置关系的证明(主要方法):
⑴直线与直线平行:
①公理4;②线面平行的性质定理;③面面平行的性质定理。
⑵直线与平面平行:
①线面平行的判定定理;②面面平行线面平行。
⑶平面与平面平行:
①面面平行的判定定理及推论;②垂直于同一直线的两平面平行。
⑷直线与平面垂直:
①直线与平面垂直的判定定理;②面面垂直的性质定理。
⑸平面与平面垂直:
①定义---两平面所成二面角为直角;②面面垂直的判定定理。
注:
理科还可用向量法。
4.求角:
(步骤-------Ⅰ。
找或作角;Ⅱ。
求角)
⑴异面直线所成角的求法:
1平移法:
平移直线,2构造三角形;
3②补形法:
补成正方体、平行六面体、长方体等,4发现两条异面直线间的关系。
注:
理科还可用向量法,转化为两直线方向向量的夹角。
⑵直线与平面所成的角:
①直接法(利用线面角定义);②先求斜线上的点到平面距离h,与斜线段长度作比,得sin。
注:
理科还可用向量法,转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角。
⑶二面角的求法:
①定义法:
在二面角的棱上取一点(特殊点),作出平面角,再求解;
②三垂线法:
由一个半面内一点作(或找)到另一个半平面的垂线,用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角,再求解;
③射影法:
利用面积射影公式:
其中为平面角的大小;
注:
对于没有给出棱的二面角,应先作出棱,然后再选用上述方法;
理科还可用向量法,转化为两个班平面法向量的夹角。
5.求距离:
(步骤-------Ⅰ。
找或作垂线段;Ⅱ。
求距离)
⑴两异面直线间的距离:
一般先作出公垂线段,再进行计算;
⑵点到直线的距离:
一般用三垂线定理作出垂线段,再求解;
⑶点到平面的距离:
①垂面法:
借助面面垂直的性质作垂线段(确定已知面的垂面是关键),再求解;
5等体积法;
理科还可用向量法:
。
⑷球面距离:
(步骤)
(Ⅰ)求线段AB的长;(Ⅱ)求球心角∠AOB的弧度数;(Ⅲ)求劣弧AB的长。
6.结论:
⑴从一点O出发的三条射线OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,则点A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分线上;
⑵立平斜公式(最小角定理公式):
⑶正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为,则S侧cos=S底;
⑷长方体的性质
①长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为则:
cos2+cos2+cos2=1;sin2+sin2+sin2=2。
②长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则有cos2+cos2+cos2=2;sin2+sin2+sin2=1。
⑸正四面体的性质:
设棱长为,则正四面体的:
1高:
;②对棱间距离:
;③相邻两面所成角余弦值:
;④内切2球半径:
;外接球半径:
;
第五部分直线与圆
1.直线方程
⑴点斜式:
;⑵斜截式:
;⑶截距式:
;
⑷两点式:
;⑸一般式:
,(A,B不全为0)。
(直线的方向向量:
(,法向量(
2.求解线性规划问题的步骤是:
(1)列约束条件;
(2)作可行域,写目标函数;(3)确定目标函数的最优解。
3.两条直线的位置关系:
4.直线系
5.几个公式
⑴设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),⊿ABC的重心G:
();
⑵点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离:
;
⑶两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是;
6.圆的方程:
⑴标准方程:
①;②。
⑵一般方程:
(
注:
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C≠0且B=0且D2+E2-4AF>0;
7.圆的方程的求法:
⑴待定系数法;⑵几何法;⑶圆系法。
8.圆系:
注:
当时表示两圆交线。
9.点、直线与圆的位置关系:
(主要掌握几何法)
⑴点与圆的位置关系:
(表示点到圆心的距离)
①点在圆上;②点在圆内;③点在圆外。
⑵直线与圆的位置关系:
(表示圆心到直线的距离)
①相切;②相交;③相离。
⑶圆与圆的位置关系:
(表示圆心距,表示两圆半径,且)
①相离;②外切;③相交;
④内切;⑤内含。
10.与圆有关的结论:
⑴过圆x2+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为:
x0x+y0y=r2;
过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为:
(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;
⑵以A(x1,y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程:
(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0。
第六部分圆锥曲线
1.定义:
⑴椭圆:
;
⑵双曲线:
;⑶抛物线:
略
2.结论
⑴焦半径:
①椭圆:
(e为离心率);(左“+”右“-”);
②抛物线:
⑵弦长公式:
注:
(Ⅰ)焦点弦长:
①椭圆:
;②抛物线:
=x1+x2+p=;(Ⅱ)通径(最短弦):
①椭圆、双曲线:
;②抛物线:
2p。
⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为:
(同时大于0时表示椭圆,时表示双曲线);
⑷椭圆中的结论:
①内接矩形最大面积:
2ab;
②P,Q为椭圆上任意两点,且OP0Q,则;
③椭圆焦点三角形:
<Ⅰ>.,();<Ⅱ>.点是内心,交于点,则;
④当点与椭圆短轴顶点重合时最大;
⑸双曲线中的结论:
①双曲线(a>0,b>0)的渐近线:
;
②共渐进线的双曲线标准方程为为参数,≠0);
③双曲线焦点三角形:
<Ⅰ>.,();<Ⅱ>.P是双曲线-=1(a>0,b>0)的左(右)支上一点,F1、F2分别为左、右焦点,则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为;
④双曲线为等轴双曲线渐近线为渐近线互相垂直;
(6)抛物线中的结论:
①抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB性质:
<Ⅰ>.x1x2=;y1y2=-p2;
<Ⅱ>.;<Ⅲ>.以AB为直径的圆与准线相切;<Ⅳ>.以AF(或BF)为直径的圆与轴相切;<Ⅴ>.。
②抛物线y2=2px(p>0)内结直角三角形OAB的性质:
<Ⅰ>.;<Ⅱ>.恒过定点;
<Ⅲ>.中点轨迹方程:
;<Ⅳ>.,则轨迹方程为:
;<Ⅴ>.。
③抛物线y2=2px(p>0),对称轴上一定点,则:
<Ⅰ>.当时,顶点到点A距离最小,最小值为;<Ⅱ>.当时,抛物线上有关于轴对称的两点到点A距离最小,最小值为。
3.直线与圆锥曲线问题解法:
⑴直接法(通法):
联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解。
注意以下问题:
①联立的关于“”还是关于“”的一元二次方程?
②直线斜率不存在时考虑了吗?
③判别式验证了吗?
⑵设而不求(代点相减法):
--------处理弦中点问题
步骤如下:
①设点A(x1,y1)、B(x2,y2);②作差得;③解决问题。
4.求轨迹的常用方法:
(1)定义法:
利用圆锥曲线的定义;
(2)直接法(列等式);(3)代入法(相关点法或转移法);⑷待定系数法;(5)参数法;(6)交轨法。
第七部分平面向量
⑴设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则:
①a‖b(b≠0)a=b(x1y2-x2y1=0;
②a⊥b(a、b≠0)a•b=0x1x2+y1y2=0.
⑵a•b=|a||b|cos=x2+y1y2;
注:
①|a|cos叫做a在b方向上的投影;|b|cos叫做b在a方向上的投影;
6a•b的几何意义:
a•b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积。
⑶cos=;
⑷三点共线的充要条件:
P,A,B三点共线;
附:
(理科)P,A,B,C四点共面。
第八部分数列
1.定义:
⑴等差数列;
⑵等比数列
2.等差、等比数列性质
等差数列等比数列
通项公式
前n项和
性质①an=am+(n-m)d,①an=amqn-m;
②m+n=p+q时am+an=ap+aq②m+n=p+q时aman=apaq
③成AP③成GP
④成AP,④成GP,
等差数列特有性质:
1项数为2n时:
S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n);;;
2项数为2n-1时:
S2n-1=(2n-1);;;
3若;若;
若。
3.数列通项的求法:
⑴分析法;⑵定义法(利用AP,GP的定义);⑶公式法:
累加法(;
⑷叠乘法(型);⑸构造法(型);(6)迭代法;
⑺间接法(例如:
);⑻作商法(型);⑼待定系数法;⑽(理科)数学归纳法。
注:
当遇到时,要分奇数项偶数项讨论,结果是分段形式。
4.前项和的求法:
⑴拆、并、裂项法;⑵倒序相加法;⑶错位相减法。
5.等差数列前n项和最值的求法:
⑴;⑵利用二次函数的图象与性质。
第九部分不等式
1.均值不等式:
注意:
①一正二定三相等;②变形,。
2.绝对值不等式:
3.不等式的性质:
;⑸;(6)
4.不等式等证明(主要)方法:
⑴比较法:
作差或作比;⑵综合法;⑶分析法。
第十部分复数
1.概念:
⑴z=a+bi∈Rb=0(a,b∈R)z=z2≥0;
⑵z=a+bi是虚数b≠0(a,b∈R);
⑶z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0(a,b∈R)z+=0(z≠0)z2<0;
⑷a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,d∈R);
2.复数的代数形式及其运算:
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则:
(1)z1±z2=(a+b)±(c+d)i;⑵z1.z2=(a+bi)•(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;⑶z1÷z2=(z2≠0);
3.几个重要的结论:
⑸性质:
T=4;;
(6)以3为周期,且;=0;
(7)。
4.运算律:
(1)
5.共轭的性质:
⑴;⑵;⑶;⑷。
6.模的性质:
⑴;⑵;⑶;⑷;
第十一部分概率
1.事件的关系:
⑴事件B包含事件A:
事件A发生,事件B一定发生,记作;
⑵事件A与事件B相等:
若,则事件A与B相等,记作A=B;
⑶并(和)事件:
某事件发生,当且仅当事件A发生或B发生,记作(或);
⑷并(积)事件:
某事件发生,当且仅当事件A发生且B发生,记作(或);
⑸事件A与事件B互斥:
若为不可能事件(),则事件A与互斥;
(6)对立事件:
为不可能事件,为必然事件,则A与B互为对立事件。
2.概率公式:
⑴互斥事件(有一个发生)概率公式:
P(A+B)=P(A)+P(B);
⑵古典概型:
;
⑶几何概型:
;
第十二部分统计与统计案例
1.抽样方法
⑴简单随机抽样:
一般地,设一个总体的个数为N,通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本,且每个个体被抽到的机会相等,就称这种抽样为简单随机抽样。
注:
①每个个体被抽到的概率为;
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