概率论与数理统计习题及答案.docx
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概率论与数理统计习题及答案
《概率论与数理统计》习题及答案
第八章
1.设X,,X2,...,XJ?
是从总体X中抽岀的样本,假设X服从参数为几的指数分布,几未知,给定人)>0和显着性水平a(Ovavl),试求假设Ho的力彳检验统计量及否泄域.
解//0:
2>
选统计量才=2儿工Xr・=2^nX
则Z2-Z2(2n)>对于给左的显着性水平查*分布表求出临界值加⑵?
),使
加⑵2))=Q
因F>才'所W(Z2>Z;(2n))=>U2>/j(2n)),从而
a=P{/2>加⑵“}>P{/2>Z;(2n))
可见W0:
2>^的否定域为Z2>/-(2n).
2.某种零件的尺寸方差为o-2=1.21,对一批这类零件检查6件得尺寸数据(亳米):
,,,,,。
设零件尺寸服从正态分布,问这批零件的平均尺寸能否认为是亳米(a=O.O5).
解问题是在b2已知的条件下检验假设77。
:
“=32.50
H{}的否定域为I“l>ua/2
«0025=1.96,因\u1=6.77>1.96,所以否左即不能认为平均尺寸是亳米。
3.设某产品的指标服从正态分布,它的标准差为b=100,今抽了一个容戢为26的样本,计算平均值1580,问在显着性水平0=0.05下,能否认为这批产品的指标的期望值“不低于1600.
解问题是在b2已知的条件下检验假设/70:
//>1600
Ho的否定域为u<-uaf2,其中
X-1600/—1580-1600「
u=V26=x5.1=-1.02.
100100
—wo.o5=-1.64.
因为n=-1.02>-1.64=-//005,所以接受即可以认为这批产品的指标的期望值“不低于1600.
4.一种元件,要求其使用寿命不低于1000小时,现在从这批元件中任取25件,测得其寿命平均值为950小时,已知该元件寿命服从标准差为b=100小时的正态分布,问这批元件是否合格(
a=0.05)
解设元件寿命为X,则X~N(“,10()2),问题是检验假设Ho:
//>1OOO.仏的否定域为心-%5,其中
X-1000r—950-1000「
u=V25=x5=-2.5
b100
%5=164
因为
u=-2.5<-1.64=z/005
所以否定Ho,即元件不合格.
5.某批矿砂的5个样品中镰含量经测左为X(%):
3.25,3.27,3.24,3.26,3.24
设测定值服从正态分布,问能否认为这批矿砂的银含量为3.25(a=0.01)
解问题是在b?
未知的条件下检验假设H°:
“=3・25
H.的否定域为
1/1>也⑷
_15_
X=3.252,S2=-(Yxr.—5x^2)=0.00017,5=0.013
4幺
Fo.oo5⑷=4.6041
X-3.25花3.252-3.25…「兀
t=>/5=x2.24=0.345
S0.013
因为
IH=0.345<4.6041=/0005(4)
所以接受即可以认为这批矿砂的線含量为.
6.糖厂用自动打包机打包,每包标准重蜀为100公斤,每天开工后要检验一次打包机工作是否正常,某日开工后测得9包重量(单位:
公斤)如下:
99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102丄100.5
问该日打包机工作是否正常(a=0.05;已知包重服从正态分布)
_19
解X=99.98,S2=-(^(X,-x)2)=1.47,S=1.21,
问题是检验假设Ho:
//=1OO
的否定域为I心“⑻•
其中_
z=x-ioo99.98_1Oox3=_oo5
S1.21
丘⑻=2.306
因为
Ir1=0.05<2.306=rOO25(8)
所以接受Ho,即该日打包机工作正常.
7.按照规左,每100克罐头番茄汁中,维生素C的含量不得少于21亳克,现从某厂生产的一批罐头中抽取17个,测得维生素C的含量(单位:
亳克)如下
22,21,20,23,21,19,15,13,16,
23,17,20,29,1&22,16,25.
已知维生素C的含量服从正态分布,试检验这批罐头的维生素含量是否合格。
(a=0.025)
解设X为维生素C的含疑,则X龙=20,S—419.625,
S=20.485,n=17•问题是检验假设H():
//>21.
(1)Ho:
//>21.
(2)选垂统计呈7并计算其值:
X—21厂20—21fTTr八小八
t=yjn=V17=-0.20
S20.485
(3)对于给定的a=0.025査f分布表求出临界值〈(〃)=bo”(16)=2.2.
(4)因为-/o.o25(16)=-2.20<-0.20=^所以接受H。
即认为维生素含量合格.
8.某种合金弦的抗拉强度X~N0o-2),由过去的经验知//<10560(公
斤/厘米2),今用新工艺生产了一批弦线,随机取10根作抗拉试验,测得数据如下:
10512,10623,10668,10554,10707,10557,1O58L10666,
问这批弦学的抗拉强度是否提高了(a=0・05)
解X=10631.4,52=6558.89,S=80.99」?
=10•问题是检验假设
Ho:
//<10560
(1):
//<10560.
(2)选统计量并计算其值.
X-10560Lt=\/n
S
=2.772
10631.4-10560而
80.99
(3)对于a=0・05,查f分布表,得临界值ta(9)=3⑼=1.833.
(4)因仏⑼=l・833v2・772=f,故否左弘即认为抗拉强度提髙了。
9.从一批轴料中取15件测量英椭圆度,计算得S=0.025,问该批轴料椭圆度的总体方差与规左的b,=0.0004有无显着差别(a=0.05,椭圆度服从正态分布)。
解S=0.025,S2=0.00065,”=15,问题是检验假设//0:
a2=0.0004.
(1)弘:
宀或=0.0004.
(2)选统il-M/2并计算英值
.(n-l)S214x0.00065…「
X=;==22.75
bj0.0004
(3)对于给左的a=0.05,查力2分布表得临界值
加忍⑷=ZJ.o25(14)=26.119,加“(⑷=加皿(14)=5.629.
(4)因为加975=5.629<22.75=/2;025=26.119所以接受Ho,即总体方差与规定的/=0.0004无显着差异。
10.从一批保险丝中抽取10根试验其熔化时间,结果为
42,65,75,78,71,59,57,68,54,55.
问是否可以认为这批保险丝熔化时间的方差不大于80(cr=0.05.熔化时间服从正态分些).
解X=62.4,S2=121.82,n=10,问题是检验假设/7():
cr2<80.
(1):
a2<80=cr(;:
(2)选统计量*并计算英值
b:
80
(3)对于给左的a=0・05,查力2分布表得临界值
1)=70.05(9)=16.919.
⑷因z2=13.705<16.919=ZJOV故接受H(「即可以认为方差不大于
11.对两种羊毛织品进行强度试验,所得结果如下
第一种138,127,134,125:
第二种134,137,135,140,130,134.
问是否一种羊毛较另一种好?
设两种羊毛织品的强度都服从方差相同的正态分布。
(a=0.05)
解设第一、二种织品的强度分别为X和丫,则X~N(“,b‘),
Y〜Ngb冷
X=131,S:
=36.667,nx=4
F=135,S~=35.2,n2=6
问题是检验假设H():
“i=他
⑴Ho:
“=〃2
(2)选统计量T并计算其值.
=-1.295
(3)对于给定的a=0.05,査/分布表得临界值匕2(厲+公一2)=仏5⑻=2.3069•
(4)因为If1=1.295<2.3069=心瘁©),所以接受假设,即不能说一种羊毛较另一种好。
12.在20块条件相同的上地上,同时试种新旧两个品种的作物各十块上地,其产量(公斤)分别为
旧品种,,,,,
新品种
设这两个样本相互独立,并都来自正态总体(方差相等),问新品种的产量是否高于旧品种(<7=0.01)
解设X为新品种产量,丫为旧品种产量;X~Ngb鋼,
Y~Ngcr2),问题是检验假设
H():
“n“2
X=79.43,S:
=2.2246,n,=10
选统itfiT并计算其值:
X-F
叽⑺】+小一2)
厲+«2
Y=76.23,S;=3・3245,=10
T;
J(叫-1)S「+(川2-1)S]
79.43-76.23
一J(2.2246+3.3245)x9
对给定的a=0.0b査f分布表得临界值。
(18)=伽(18)=2.5524.
因为T=4.2956>-2.5524=-r0.0l(18)故接受矶,即新品种高于旧品种.
13.两台机床加工同一种零件,分别取6个和9个零件,量英长度得S;=0.345,S;=0.357,假立零件长度服从正态分布,问可否认为两台机床加工的零件长度的方差无显着差异?
(a=0.05)
解=0.345,=6,
S;=0.357,n2=9
问题是检验假设
H():
cr:
=a;
选统计量F并计算其值
对给立的a=0.05查F分布表得临界值耳/2(5$)=耳.025(5,8)=4・65,心5(5,8)=加0.1479.
O./O
因行975(5,8)=0.1479<0.9664=F<4.65=^(5,8)故接受H。
即无显着差异.
13.甲、乙两台机床加工同样产品,从它们加工的产品中各抽取若干,测得
直径(单位:
mm)为
甲:
,,,,,,,;
问甲、乙两台机床加工的精度有无显着差异(a=0.05,产品直径服从正态分布。
)
解设甲加工的直径为X,乙为匕X~N(“,b;),Y~N(“2,b;).
X=19.925,Sf=0.2164,nx=8
F=20,S;=0.3967,n2=7
问题是检验假设
H(、:
选统计量F并计算其值
F亠注=0.5455.
S20.3967
对于给定的a=0.05,查F分布表得临界值為2(7,6)=^.025(7,6)=5.70,
局75(7,6)=希=0.1953
因^(7,6)=0.1953<0.5455=F<^(7,6)=5.70,故接受%,即精度无显着差异.
14.一颗骰子掷了120次,得下列结果:
点数
1
2
3
4
5
6
出现次数
23
26
21
20
15
15
问骰子是否匀称(a=0.05)
解用X表示掷一次骰子出现的点数,其可能值为1,2,3,4,5,6。
问题是检验假设
九:
Pi=P(X=j)=','=1,2,…,6.这里k=6,piQ=n=120,66npi0=20,A,={/)故
2=《匹如1=?
仝竺』=仇
幺讥幺2020
査*分布表,得临界值加伙一I)=ZJ.O5(5)=11.071因为/=4.8<1.071=^05故接受H。
,即骰子匀称。
15.从一批滚珠中随机抽取50个,测得它们的直径(单位:
mm)为
是否可以认为这批钢珠的直径服从正态分布(a=0・05)
解数据中最小的为,最大者为,设a=14.05,〃=16」5,欲把[“,切分
成七个(相等的)区间,则区间长度(组距)为164-14・()5=03得分点
7
X=14.35,儿=14.65,儿=14.95,儿=15.25,比=15.55,y6=15.85.它们把实数轴分成七个不相交的区间,样本值分成了七组:
■
I
叫
1
-co~14.35
3
2
14.35~14.65
5
3
14.65~14.95
10
4
14.95〜15.25
16
5
15.25~15.55
8
6
15.55-15.85
6
7
15.85〜
2
设钢珠的直径为X,其分布函数为F(x).我们的问题是检验假设:
仇:
尸(0=輒丄二^)・其中“,R未知.
b
在仏成立之下,“和/的极大似然估计为“=无=15」,a"=-y(X.-X)2=0.1849,CT=0.43.
在上而的表中第1组和第7组的频数过小,把它们并入相邻的组内,即分成
5组,分点为人=14.65.厶=14.95,t3=15.25,/4=15.55.
1465-1S1p}=")=◎(……)=]一①(1.04)=0.1492
1495-151
P2=F©)-F(G=①(-•(;)-01492
=1一①(0.35)-0」492=0.214
P严5-F(t2)=①(心:
二")一03632
=0(0.35)一0.3632=0.2736
、l#x-Z15.55—15.L几=尸⑴)-Fg=◎(——)-
=^>(1.04)-0.6368=0.218
15.55-15.1
几=1一F(r4)=l-叙一市一)=0.1452
统计量
忘⑵
的值讣算如下表:
■
I
Pi
nPi
叫
(耳-叨)2
(耳一舁化)2/舁化
1
8
2
10
——
3
16
4
8
——
5
8
L
50
1
50
0
即z2=1.24997,对于a=0.05査才分布表得临界值加⑵=癡⑵=5.991.因z2=1.24997<5.991=z(;O5
(2),故接受血,即认为钢珠直径服从正态分布N(15丄0.1849)・
/-Ii3
16•设4=(——,—),2123,人=(一,2),假设随机变量X在(0,2)
222
上是均匀分布的,今对X进行100次独立观察,发现其值落入AU=12,3,4)的
频数分別为30,20,36,14.间均匀分布的假设,在显着性水平为下是否可信°解检验假设:
H°:
X~U[0,2]
检验计算表如下:
■
1
Pi
①一",
(q-昭),昭
1
30
1
4
25
5
1
2
20
1
4
25
一5
1
3
36
1
4
25
11
4
14
1
4
25
-11
100
1
100
统计量
宀営秽“.6&m
对于&=0・05,查得加05⑶=7.815
因为
才=11.68>7.815=加。
5G)
所以不接受乩,即不能相信X~”[0,2]・
习题九
1.一批由同样原料织成的布,用五种不同的染整工艺处理,然后进行缩水试验,设每种工艺处理4块布样,测得缩水率的结果如下表
布样号
缩水率
A
九
4
1
2
3
4
问不同的工艺对布的缩水率是否有显着的影响( 解m=5,nx=n2==n4=n5=4,n=20,查附表5得 ^).01(加一1昇2一加)=佗.0](4,15)=4.89・ 工艺 误差 4 15 总和 19 因为9.6095>4.89,所以工艺对缩水率有显着影响. 2.灯泡厂用4种不同配料方案制成的灯丝生产了四批灯泡,今从中分别抽样进行使用寿命的试验,得到下表的结果(单位: 小时),问这几种配料方案对使用寿命有无显着影响( 6? =0.01) 试验号 寿 命 A a2 九 人 1 1600 1850 1460 1510 2 1610 1640 1550 1520 3 1650 1640 1600 1530 4 1680 1700 1620 1570 5 1700 1750 1640 1600 6 1720 —— 1660 1680 7 1800 —— 1740 —— 8 —— —— 1820 —— 解in=4,=7,n2=5,=&=6,n=26,査附表5得 n-m)=FQM(3,22)=4.82 为简化计算从上表的试验结果中都减去1600再除以10得下表 序号、\ A a2 比 IXj=i 1 0 25 -14 -9 2 1 4 -5 —8 3 5 4 0 -7 4 8 10 2 一3 5 10 15 4 0 6 12 6 8 7 20 14 8 22 56 58 29 -19 124 /、 2 3136 3364 841 361 推內) 448 txi 734 982 957 264 2937 P=-L(124)2=591.385,g=1286.092,R=2937 26 S;=R-0=1650.908,=—5;=16.509 r100e s;=0-P=694.707,SA=—S\=6.947a"100•' 方差分析表 方差来源 平方和 自由度 均方 F值 配料 误差 3 22 总和 25 因为F=3」8<4・82=人0|(3,22),故不显着. 3.在单因素试验方差分析模型式()中,H是未知参数(j=l,2,•••,〃? ),求“的点估计和区间估计. 解因为/~N(“,o-2),所以丛的点估计为几=&.,/=1,2,…冲.由定理知,//〜才⑺一加),再由定理知X.与 1叫一_ S;=——工(X厂乂)相互独立,又由X”•独立,知E与S竄s暑…、S;独ni一1>1 m 立,从而》=工他-1)S: 与X.独立,又 〜N(0,1) 由/分布的定义知 其中Se=Se心一m) 对于给泄的a,查/分布表求岀临界值使 ta/2(n-m)=l-a 在上式括号内将丛址露出来得M在置信度1一仪下的苣信区间 =丄 n-m 4.在单因素试验方差分析模型式()中.b丄是未知参数,试证b 是b? 的无偏估计,且b? 的l-a下的置信区间为 »S, 1加/2(并-加)・朮也⑺-加)丿 证: 因为Se/a2-z2(n-m),所以E(Se/cr2)=n-mt即 ESe=(〃一加)(7‘ 于是 故丄一是b,的无偏估计: n一m 因为Se/ (n-m) 所以对于给泄的a,查*分布表求岀临界值加/2("-加)和加 使得 s P(/1a/2(〃一加)V京V力;/2(”一加))=1_a 式中将CT? 暴谿岀来得 =1一a 十^—Vb,— I爲2®-也)力32®一加)丿 故b? 的垃信度为1下的置信区间为 力/2(〃一〃2)'力爲2⑺一〃J丿 证毕 5.验证式()的解°,&能使=f(片—a—处尸达到最小值. r-1 证: a,6是函数Q(a,b)=±(yi-a-bXi)2的驻点.而心第=2”,B备2計,C疇=2》疋nV' A=AC-B2=4 由柯西不等式知△>(),而A>0,C>0所以(a,A)是Q(a,b)的极小点,而Q(a,b)存在最小值,故a,&能使Q(",b)达到最小值. 6.利用泄理证明,在假设Ho: b=0成立的条件下,统计量 心£城~3-2) 并利用它检验中例1所得的回归方程的显着性(a=0.01) 证: 因为b~NQ人—)所以1) sb 在H.-.b=0成立的条件下£jZ: ~N(0,1) (-2) 由/分布的怎义知 证毕 t=石7^7=「—v、~心-2). S.3/(—2) 今利用/统计量检验回归方程的显着性. t=—Js=f&二-76.056=6.133 S7Jl18.734 对于给泄的a=0.01查r分布表得临界值転“(10)=2.7638.因为f=6.133>2.738=ro()l(10),所以回归方程显着. 7.利用泄理证明回归系数方的宜信区间为 并利用这个公式求中例1的回归系数方的置信区间(置信度为). 解由立理知 b-br— /=-^亿〜心-2) 对于给立的查f分布表求出临界值ta/1(n-2),使 P{-心2(”-2)<-7^7V心2(〃-2)}=1-a 在上式的大括号内,将〃暴露出来得 srS} b—ta/2(n—2)-.—.b+ta/2(n-2).— 故b的置信度为1-a下的置信区间为 证毕 在例1中^=27.156n=12.5=10.897.厶,=6.056 r0025(10)=2.228. 所以b的置信度为下的置信区间为(17.291,37.021) 8.在钢线碳含Mx(%)对于电阻y(20°C时,微欧)效应的研究中,得到以 下的数据 y151
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