数学建模.docx
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数学建模
2016年中国矿业大学数学建模模拟竞赛
参赛基本信息专用页
承诺书
我们仔细阅读了大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。
参赛学生基本信息
题目
评阅编号(由组委会统一填写)
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年月日
一问题的背景和重述
1.1问题的背景
2016年夏季奥运会在巴西第二大城市里约热内卢举行,届时来自全世界的目光都转向了里约热内卢,而人们除了欣赏体育带来的美和经济效应,更关注各国的奖牌数。
奥运会金牌的数量不仅代表一个国家竞技体育的实力,而其是综合国力的体现和国民的精神风貌。
所以在奥运会中,竞争极为残酷,运动员们你追我赶,争金夺银。
很多学者尝试对各国获得的奖牌数进行预测。
预测结果偏差不大时,会引起国家、主管部门和决策者的重视。
可为奥运会的主管部门和运动员、教练员等参与者提供良性的导向影响。
这是宏观上和微观上都需要的环境。
在此前提下,宏观上能更好地把握战略目标,微观上能更好地提高技术战术水平,能上下一致、齐心协力地争取更好的成绩,能为奥林匹克运动在中国的发展奠定一个更好的基础。
我们现尝试通过数学模型来实现对各国获得奖牌数进行较为准确的预测。
本文拟就此进行理论探讨。
图1-1里约奥运
1.2问题的重述
奥运会是竞技体育顶级盛会,其所获奖牌数及国家排名在一定程度上是衡量一个国家体育水平的尺度,也是一个国家的经济、政治和综合实力的具体体现之一。
2016年8月6日早上7:
00在巴西的里约热内卢隆重开幕(以下简称里约奥运会),对于正在举行的里约奥运会,大家普遍关心的问题就是奖牌榜的排名,奥运会奖牌榜成了大家关心的热点问题。
现请查阅资料,并根据以往各国奖牌榜排名情况,以及各国经济发展、人口体质、政府政策等各种能影响到奖牌榜的因素,建立数学模型,预测2016里约奥运会的奖牌榜前十名。
并据此对各国体育水平进行分类。
二问题的分析
问题分析:
题目是要预测2016年里约奥运会奖牌榜前十名。
由于里约奥运会正在进行,奖牌榜到底怎样无人知晓。
因此通过建立数学模型来预测里约奥运会的奖牌榜及其排名是很有意义的。
1.总结最近几届有代表性的奥运会奖牌榜,根据奥运会代表性数据所指,第1~14届奥运会(1886~1948)没有代表性,由于第25届奥运会及以前中国代表队发挥不出色,第26届奥运会开始中国代表队趋于稳定,并且25届及以前的奥运会苏联派出独联体代表队参赛,不能代表俄罗斯代表队的水平,因此本次建模选取的代表性数据从第26届奥运会到第30届奥运会(1996~2012)。
2.建立多元线性回归模型,确定影响奥运会奖牌数的几个重要因素。
本文确定了“人均GDP”、“国民总数”、“东道主国家”、“当届奥运会年份”等四个影响奥运会奖牌的重要因素。
3.使用差分进化发对所设模型求解。
4.将所有国家所有因素都相同,即人均GDP、人口数、历年奖牌数都相同建立模型一;
5.考虑每个国家历年奖牌数不同建立模型二;
6.考虑每个国家人均GDP和人口书不同建立模型三;
7.考虑东道主因素建立模型四。
三模型的假设
[1]假设各个国家的经济实力和运动员培养成本能够较为科学地计算。
[2]假设不考虑国际形势对运动员状态的影响。
[3]假设从各年各国奖牌数据及其它数据资料中收集的数据均为实际真实数据,均能反映相应指标情况
[4]假设影响因素中只包含“人均GDP、国民总数、东道主国家、年份、历年奖牌个数”四种,其余的不具代表性可以不予考虑;
[5]假设人口体质因素不呈现出地区性差异,且整体水平一致。
四符号系统:
为了便于描述问题,我们用一些符号来代替问题中涉及的一些基本变量,如表4-1符号说明一览表所示,其它一些变量将在文中陆续说明。
符号
单位
意义
T
枚
奖牌的总个数
count
枚
上一届奖牌个数
GDP
美元
人均GDP
people
人
国民总数
host
/
东道主国家因素
Year
年份
当届奥运年年份
图4-1
五各项影响因素的挖掘与分析
根据历届的奖牌数量,可以预测各个国家下届奥运会的表现和奖牌数量。
但要进行较为准确的预测,除了统计和分析历届的奖牌数量,还应该从宏观的国家层面来看影响奥运会奖牌榜的因素。
各项影响因素分析如下:
1)人均GDP
人均GDP是一个重要因素:
国民越富裕,能够投入运动的时间就越多,同时政府对体育基础设施建设和有天赋的青年运动员的培养的投入也会大大增加,因此美国在奥运会上常有骄人成绩。
2)国民总数
人口数量显然是其中之一:
如果各种精英在世界各国的分布概率是一定的,那么,人口数量越多的国家将越有可能挖掘更多高素质的运动员。
同时,国民数量越多,其中有天赋的运动员也会越多。
这显然是俄罗斯、美国和中国表现出色的原因之一。
3)东道主效应
东道主效应是指运动员在本国参加比赛具有主场优势,因为本国比赛,运动员对饮食、气候和场馆的适应能力强,本国的拉拉队的呐喊助威也有利于增强信心。
它也是二分变量,符号host代表东道主因素,且该变量值取0和1。
4)年份
年份(y)指示y年,之所以将其包括在内,是为了符合获得奖牌总数随时间平缓上升的趋势。
不可不提的是,随着年份的增长,运动员的实力也会增强,可以看到每年都有很多新的世界纪录产生。
六模型的建立与求解
6.1模型的建立
下面我们就可以对各因素和奖牌的关系建立多元线性回归方程模型。
得出奖牌数随着人均GDP的增长,人口的增长,上一届奖牌数,年份的关系。
首先利用软件Excel对前5届奥运会举办年份,即1996年至2012年,、各国人口总数、人均GDP、得奖牌数进行整理。
由此,我们我们建立多元线性回归模型如下:
(式6.1)
其中a,b,c,d,g为待估参数。
6.1.1模型一:
假设各国人均GDP、各国人口均相同,东道主国家不受东道主因素影响,下一届举办国也不受下一届因素影响,各国人口体质均相同
年份
lnGDP
lnpeople
year
T
1996
8.60
4.06
1996
45
2000
8.61
4.11
2000
51
2004
8.82
4.16
2004
52
2008
9.15
4.21
2008
54
2012
9.26
4.25
2012
55
6.1.2模型二:
考虑各国历年的奖牌数不同,可以根据各国历年的奖牌数据推测下届奥运会该国的奖牌数。
中国
年份
lnGDP
lnpeople
year
T
1996
8.60
4.06
1996
50
2000
8.61
4.11
2000
59
2004
8.82
4.16
2004
63
2008
9.15
4.21
2008
100
2012
9.26
4.25
2012
88
美国
年份
lnGDP
lnpeople
year
T
1996
8.60
4.06
1996
101
2000
8.61
4.11
2000
97
2004
8.82
4.16
2004
103
2008
9.15
4.21
2008
110
2012
9.26
4.25
2012
104
俄罗斯
年份
lnGDP
lnpeople
year
T
1996
8.60
4.06
1996
63
2000
8.61
4.11
2000
88
2004
8.82
4.16
2004
92
2008
9.15
4.21
2008
72
2012
9.26
4.25
2012
82
德国
年份
lnGDP
lnpeople
year
T
1996
8.60
4.06
1996
65
2000
8.61
4.11
2000
57
2004
8.82
4.16
2004
48
2008
9.15
4.21
2008
41
2012
9.26
4.25
2012
44
英国
年份
lnGDP
lnpeople
year
T
1996
8.60
4.06
1996
15
2000
8.61
4.11
2000
28
2004
8.82
4.16
2004
30
2008
9.15
4.21
2008
47
2012
9.26
4.25
2012
65
法国
年份
lnGDP
lnpeople
year
T
1996
8.60
4.06
1996
37
2000
8.61
4.11
2000
38
2004
8.82
4.16
2004
33
2008
9.15
4.21
2008
40
2012
9.26
4.25
2012
34
意大利
年份
lnGDP
lnpeople
year
T
1996
8.60
4.06
1996
35
2000
8.61
4.11
2000
34
2004
8.82
4.16
2004
32
2008
9.15
4.21
2008
28
2012
9.26
4.25
2012
28
澳大利亚
年份
lnGDP
lnpeople
year
T
1996
8.60
4.06
1996
41
2000
8.61
4.11
2000
58
2004
8.82
4.16
2004
49
2008
9.15
4.21
2008
46
2012
9.26
4.25
2012
35
日本
年份
lnGDP
lnpeople
year
T
1996
8.60
4.06
1996
14
2000
8.61
4.11
2000
18
2004
8.82
4.16
2004
37
2008
9.15
4.21
2008
25
2012
9.26
4.25
2012
38
韩国
年份
lnGDP
lnpeople
year
T
1996
8.60
4.06
1996
27
2000
8.61
4.11
2000
28
2004
8.82
4.16
2004
30
2008
9.15
4.21
2008
31
2012
9.26
4.25
2012
28
在考虑历届奥运会奖牌数的同时,各个国家的奖牌数也受到国民经济和国民人口总数的影响。
6.1.3模型三:
考虑各国人均GDP和各国国民总数的不同
中国
年份
lnGDP
lnpeople
year
T
1996
6.56
2.50
1996
50
2000
6.86
2.54
2000
59
2004
7.31
2.56
2004
63
2008
8.14
2.58
2008
100
2012
8.74
2.60
2012
88
美国
年份
lnGDP
lnpeople
year
T
1996
10.31
0.99
1996
101
2000
10.50
1.04
2000
97
2004
10.64
1.07
2004
103
2008
10.79
1.11
2008
110
2012
10.85
1.14
2012
104
俄罗斯
年份
lnGDP
lnpeople
year
T
1996
7.88
0.39
1996
63
2000
7.48
0.38
2000
88
2004
8.32
0.37
2004
92
2008
9.36
0.36
2008
72
2012
9.63
0.36
2012
82
德国
年份
lnGDP
lnpeople
year
T
1996
8.60
4.06
1996
65
2000
8.61
4.11
2000
57
2004
8.82
4.16
2004
48
2008
9.15
4.21
2008
41
2012
9.26
4.25
2012
44
英国
年份
lnGDP
lnpeople
year
T
1996
8.60
4.06
1996
15
2000
8.61
4.11
2000
28
2004
8.82
4.16
2004
30
2008
9.15
4.21
2008
47
2012
9.26
4.25
2012
65
法国
年份
lnGDP
lnpeople
year
T
1996
10.20
-0.51
1996
37
2000
10.02
-0.50
2000
38
2004
10.43
-0.47
2004
33
2008
10.72
-0.44
2008
40
2012
10.62
-0.42
2012
34
意大利
年份
lnGDP
lnpeople
year
T
1996
10.04
-0.56
1996
35
2000
9.91
-0.56
2000
34
2004
10.35
-0.55
2004
32
2008
10.61
-0.53
2008
28
2012
10.46
-0.52
2012
28
澳大利亚
年份
lnGDP
lnpeople
year
T
1996
10.00
-1.70
1996
41
2000
9.98
-1.65
2000
58
2004
10.32
-1.60
2004
49
2008
10.81
-1.55
2008
46
2012
11.12
-1.48
2012
35
日本
年份
lnGDP
lnpeople
year
T
1996
10.53
0.23
1996
14
2000
10.53
0.24
2000
18
2004
10.50
0.24
2004
37
2008
10.54
0.25
2008
25
2012
10.75
0.24
2012
38
韩国
年份
lnGDP
lnpeople
year
T
1996
8.60
4.06
1996
27
2000
8.61
4.11
2000
28
2004
8.82
4.16
2004
30
2008
9.15
4.21
2008
31
2012
9.26
4.25
2012
28
通过观察历届各国得奖牌数据,可以发现东道主国家在本国举办的奥运会上会有较大的优势。
6.1.4模型四:
考虑受东道主因素影响
(式6-2)
由于东道主国家巴西并未在我们研究的国家之内,因此host因素全都取0,所以模型四同模型三。
6.2模型的求解
为了求解(式5.2.1)我们利用差分进化算法对该模型求解,具体过程如下:
6.2.1算法描述
差分进化算法是一个自组织最小化方法,用户只需很少的输入,它的关键思想与传统ES不同。
传统方法是用预先确定的概率分布函数决定向量扰动,而差分进化算法的自
组织程序利用种群中两个随机选择的不同向量来干扰一个现有向量,种群中的每一个向量都要进行干扰。
如果新向量对应函数值的代价比它们的前辈代价小,它们将取代其前辈。
差分进化算法利用一个向量种群,其中种群向量的随机扰动可独立进行,因此是固有并行的。
差分进化算法同其它进化算法一样,也是对候选解的种群进行操作,差分进化算法的自参考种群繁殖方案与其它进化算法不同,它通过把种群中两个成员之间的加权差向量加到第三个成员上来产生新参数向量,该操作称为“变异”。
然后将变异向量的参数与另外预先确定的目标向量参数按一定规则混合来产生试验向量,该操作称为“交叉”。
若试验向量的代价函数比目标向量的代价函数低,试验向量就在下一代中代替目标向量。
最后的操作称为“选择”,种群中所有成员必须被作为目标向量这样操作一次,以便在下一代中出现相同个竞争者。
在进化过程中对每一代都评价最佳参数向量,以记录最小化过程,这样利用随机偏差扰动产生新个体的方式可以获得一个有非常好收敛性的结果。
6.2.2算法流程
图6-1差分进化算法算法流程图
6.2.3算法流程说明
(1)初始化
差分进化算法利用NP个维数为D的实数值参数向量作为每一代的种群,每个个体表示为:
式中:
i:
表示个体在种群中的序列;G:
表示进化代数;NP:
表示种群规模在最小化过程中NP保持不变。
为了建立优化搜索的初始点,种群必须被初始化。
通常寻找初始种群的一个方法是从给定边界约束内的值中随机选择。
在差分进化算法研究中,一般假定对所有随机初始化种群均符合均匀概率分布。
设参数变量的界限为:
则:
式中:
rand[0,1]在[0,1]之间产生的均匀随机数。
如果预先可以得到问题的初步解,初始种群也可以通过对初步解加入正态分布随机偏差来产生,这样可以提高重建效果。
(2)变异
对于每个目标向量,i=1,2,…,NP,基本差分进化算法的变异向量如下产生:
其中,随机选择的序号,
和
互不相同,且和与目标向量序号i也应不同,所以须满足NP≥4。
变异算子F∈[0,2]是一个实常数因数,控制偏差变量的放大作用。
(3)变异
为了增加干扰参数向量的多样性,引入交叉操作。
则试验向量变为:
式中,产生[0,1]之间随机数发生器的第j个估计值;
一个随机选择的序列,用它来确保至少
从
获得一个参数;CR交叉算子,取值范围为[0,1]。
(4)选择
为决定试验向量
是否会成为下代中的成员,差分进化算法按照贪婪准则将试验向量与当前种群中的目标向量
进行比较。
如果目标函数要被最小化,那么具有较小目标函数值的向量将在下一代种群中赢得一席地位。
下一代中的所有个体都比当前种群的对应个体更佳或者至少一样好。
注意在差分进化算法选择程序中试验向量只与一个个体相比较,而不是与现有种群中的所有个体相比较。
(5)边界条件的处理
在有边界约束的问题中,确保产生新个体的参数值位于问题的可行域中是必要的,一个简单方法是将不符合边界约束的新个体用在可行域中随机产生的参数向量代替。
即:
若
6.2.4差分进化算法的实现
利用软件matlab(代码见)得到如下结果:
所以可以得出模型如下:
6.3模型误差的检验
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