概率论与数理统计公式整理超全免费版1.docx
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概率论与数理统计公式整理超全免费版1
概率论与数理统计公式整理(超
全免费版)[1]
第1章随机事件及其概率
(1)排列组合公式
Pmn(m!
)!
从m个人中挑出n个人进(mn)!
行排列的可能数。
cm从m个人中挑出n个人进n!
(mn)!
行组合的可能数。
(2)加法和乘法原理
加法原理(两种方法均能完成此事):
m+r某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,第二种方法可由n种方法来完成,则这件事可由m+n种方法来完成。
乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):
论n
某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由n种方法来元成,则这件事可由m^n种方法来完成。
(3)些常见排列
重复排列和非重复排列(有序)对立事件(至少有一个)
顺序问题
机试验
和随机
事件
(5)基本事件、样本空间和事件
行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如下性质:
1每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件;
2任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用少来表示。
基本事件的全体,称为试验的样本空间,用a表示。
一个事件就是由。
中的部分点(基本事件小组成的集合。
通常用大写字母儿
BfC,…表示事件,它们是。
的子集。
a为必然事件,0为不可能事件。
不可能事件(0)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理,必然事件(Q)的概率为1,而概率为1
(6)事件的关系与运算
1关系:
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生):
AB如果同时有AB,BA,则称事件A与事件B等价,或称A等于B:
A=B
AB中至少有一个发生的事件:
AB,或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与B的差,记为A-B,也可表示为A-AB或者ab,它表示A发生而B不发生的事件。
A、B同时发生:
AB,或者ABAB=?
,则表示A与B不可能同时发生,称事件A与事件B互不相容或者互斥。
基本事件是互不相容的。
-A称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为a。
它表示A不发生的事件。
互斥未必对立。
2运算:
结合率:
A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC
分配率:
(AB)UC=(AUC)n(BUC)(A
UB)nC=(AC)U(BC)
德摩根率:
i1i1LBAB,厂§AB
(7)概率的公理化定义
设为样本空间,A为事件,对每一个事件A都有一个实数P(A),若满足下列三个条件:
1°0
2°P(Q)=1
3°对于两两互不相容的事件A1,A2,…有
PAP(Ai)
i1i1
常称为可列(完全)可加性。
则称P(A)为事件A的概率。
(8)古典概型
1°1,2n,
C°1
2IP
(2)P(n)-。
设任一事件A,它是由1,2m组成的,则有
P(A)=
(1)
(2)(m)
=P
(1)P
(2)P(m)
mA所包含的基本事件数
n基本事件总数
(9)几何概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀,同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述,则称此随机试验为几何概型。
对任一事件A,p(A)L(A)。
其中L为几何度量(长度、面积、体积)。
(10)
加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)=0时,P(A+B)=P(A)+P(B)
(11)
减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当BA时,P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Q时,P(B)=1-P(B)
(12)
条件概
率
定义设AB是两个事件,且P(A)>0,则称巴空为事件A发生条件下,事件B
P(A)
发生的条件概率,记为P(B/A)旦迪。
P(A)
条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P(Q/B)=1P(B/A)=1-P(B/A)
(13)
乘法公
乘法公式:
P(AB)P(A)P(B/A)
更一般地,对事件A,A,•…A,若P(AA…An-1)>0,则有
式
P(A1A2・・・An)P(A1)P(A21A1)P(A3|A1A2)
P(An|A1A2・・・An1)。
(14)
独立性
1两个事件的独立性
设事件A、B满足P(AB)P(A)P(B),则称事件A、B是相互独立的。
若事件A、B相互独立,且P(A)0,则有P(B|A)P(AB)P(A)P(B)P(B)
P(A)P(A)
若事件A、B相互独立,则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。
必然事件和不可能事件?
与任何事件都相互独立。
?
与任何事件都互斥。
2多个事件的独立性
设ABC是三个事件,如果满足两两独立的条件,
P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。
对于n个事件类似。
(15)
全概公式
设事件,Bn满足
1°B1,B2,,Bn两两互不相容,
P(&)0('1,2,,n),
(16)
贝叶斯
公式
(17)
伯努利
概型
n
ABi
2i1,则有
P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(Bn)P(A|Bn)。
B2,…,Bn及A满足
B2,…,印两两互不相容,
设事件B1,
1°B1,
P(Bi)>0,i
2°A则
P®/A)
1,2,…,n,
n
Bi
i1,P(A)0,
nPBlPA^L,i=1,2,…no
P(Bj)P(A/Bj)
j1
此公式即为贝叶斯公式。
P(Bi),(i1,2,…,n),通常叫先验概率。
概率0。
贝叶斯公式反映了“通果”的概率规律,并作出了“由果朔因”的
我们作了n次试验,且满足
每次试验只有两种可能结果,A发
生或A不发生;
n次试验是重复进行的,即A发生的概率每次均一样;
每次试验是独立的,即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型,或称为n重伯努利试验。
用p表示每次试验A发生的概率,则A发生的概率为1pq,用Pn(k)表示n重伯努利试验中A出现k(0kn)次的概率,
_....kknk
Pn(k)CnPq,k0,1,2,,n。
第一章随机变量及其分布
(1)
设离散型随机变量X的可能取值为
离散X(k=1,2,…)且取各个值的概率,即事件
1J1
型随(X=Xk)的概率为
P(X=x<)=pk,k=1,2,…,
机变
则称上式为离散型随机变量X的概率
量的分布或分布律。
有时也用分布列的形式给
分布出:
律
X|x1,x2,,xk,
P(Xxk)p1,p2,,pk,。
显然分布律应满足下列条件:
pk1
(1)Pk0,k1,2,,
(2)k1。
(2)连续型随机变量的分布密度
设F(x)是随机变量X的分布函数,若存在非负函数心),对任意实数x,有
x
F(x)f(x)dx
则称X为连续型随机变量。
f(x)称为X的概率密度函数或密度函数,简称概率密度。
密度函数具有下面4个性质:
丄o
1f(x)0。
2°f(x)dx1
(3)离散与连续型随机变量的关系
P(Xx)P(xXxdx)f(x)dx
积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(Xxk)Pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。
(4)
设X为随机变量,X是任意实数,则函
分布
数
函数
F(x)
P(Xx)
称为随机变量X的分布函数,本质上是一
个累积函数。
P(a
Xb)F(b)F(a)可以得到X落入区
间(a,b]的概率。
分布函数F(x)表示随机变量
落入区间(-8,X]内的概率。
分布函数具有如下性质:
1°
0F(x)1,x;
2°
F(x)是单调不减的函数,即x1X2
时,有
F(x1)F(X2);
3°
F()limF(x)0,F()limF(x)1:
x7x7
4°
F(x0)F(x),即F(x)是右连续的;
5°
P(Xx)F(x)F(x0)o
对于离散型随机变量,F(x)Pk;
XkX
x
对于连续型随机变量,F(x)f(x)dxo
(5)
0-1分
p(X=1)=p,P(X=0)=q
八大
布
分布
一项
分布
在n重贝努里试验中,设事件A发生的概率为P。
事件A发生的次数是随机变量,设为X,则X可能取值为0,1,2,,n。
P(Xk)Pn(k)C:
pkqnk,其中
q1P,0p1,k0,1,2,,n,
则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。
记为X~B(n,p)。
当n1时,P(Xk)pkq1k,k0.1,这就是(0-1)分布,所以(0-1)分布是二项分布的特例。
泊松分布
设随机变量X的分布律为
k
P(Xk)k!
e,0,k012,
则称随机变量X服从参数为的泊松分布,记为X~()或者P()。
泊松分布为二项分布的极限分布
(np=入,nfx)。
超几何分布
CM?
CNMk0,1,2,l
()CN,lmin(M,n)
随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布,记为H(n,N,M)。
几何
分布
P(Xk)qk1p,k1,2,3,,其中p>0,q=1-p。
随机变量X服从参数为p的几何分布,记为G(p)。
均匀
分布
设随机变量x的值只落在[a,b]内,其密度函数心)在[a,b]上为常数1,即
ba
1
f(x)ba,aW其他
则称随机变量X在[a,b]上服从均匀分布,记为X~U(a,b)。
分布函数为
Pa,
ba,awx
x
F(x)f(x)dx
I
1,
当a (X1,X2)内的概率为 P(x1Xx2)X2 b X1 。 a 指数分布 x e,X0, 广’ £ f(x) L0, 其中0,则称随机变量X服从参数为的指数分布。 X的分布函数为 AX 1e-x0 F(x){0, 记住积分公式: xnexdxn! 0 正态 分布 设随机变量X的密度函数为 1(x)2 f(X)圧e,, 其中、0为常数,则称随机变量X服从参数为、的正态分布或咼斯(Gauss)分布,记为 2 X~N(,)。 f(x)具有如下性质: 1°f(x)的图形是关于X对称 的; 2°当X时,f()古为最大值;'2 若X~N1(‘x2),则X的分布函数为 F(x)e2dt J2。 。 参数0、1时的正态分布称为 标准正态分布,记为X~N(0,1),其密度函数记为 (x)-/~e2 述,x, 分布函数为 1XJ- (x)e2dt。 (x)是不可求积函数,其函数值,已编制成表可供查用。 ①(-x)=1-①(x)且①(0)=1。 女口果X~N(,2),贝卩N(0,1)。 P(NXX2)X2x1。 (6)分位数 下分位表: P(X)=;上分位表: P(X)=。 (7)函数分布 离散 型 已知X的分布列为 XX1,X2,,xn, P(XXi)p1,p2,,pn,' yg(X)的分布列(yg(Xi)互不相等)如下: Yg(x"g(x2),,g(xn), 若有某些,g(附相等,pn,则应'将对应的p相加作为g(x)的概率。 连续 型 先利用X的概率密度fx(x)写出Y的分布函数FY(y)=P(g(X) 第三章二维随机变量及其分布 (2)Pu1. ij 连续 型 对于二维随机向量(X,Y),如果存 在非负函数 f(x,y)(x,y),使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即 D={(X,Y)|a P{(X,Y)D}f(x,y)dxdy, D 则称为连续型随机向量;并称f(x,y)为=(X,Y)的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。 分布密度f(x,y)具有下面两个性质: (1)f(x,y)>0; (2)f(x,y)dxdy1. (2)二维随机变量的本质 (Xx,Yy)(XxYy) (4)F(,)F(,y)F(x,)0,F(,)1. F(X2,y2)F(X2,yjF(X1,y? )Fgyj0. (4)离散型与连续型的关系 P(Xx,Yy)P(xXxdx,yYydy)f(x,y)dxdy (5)边缘分布 离散 型 X的边缘分布为 Pi? P(XXi)Pij(i,j1,2,); j Y的边缘分布为 P? jP(Yyj)Pj(i,j1,2,)。 i 连续 型 X的边缘分布密度为 fx(x)f(x,y)dy; Y的边缘分布密度为 fY(y)f(x,y)dx. (6)条件分布 离散 型 在已知X=x的条件下,丫取值的条件分布为 Pij p(丫yjixXi); Pi? 在已知Y=y的条件下,X取值的条件分布为 Pij P(XXi|Yyj)丄, P? j 连续 型 在已知Y=y的条件下,X的条件分布密度为 f(x|y)¥(哼; fY(y)‘ 在已知X=x的条件下,丫的条件分布密度为 f(y|x)f(x,y) fx(X) (7)独立性 般 型 F(X,Y)=Fx(x)FY(y) 离散 型 PijPi? P? j 有零不独立 连续 型 f(x,y)=fx(x)fY(y)直接判断,充要条件: 1可分离变量 2正概率密度区间为矩形 一维正态分布 22 1X12(x! )(y2)y2 12(12)1122 f(x,y)==e, 212卫2 =0 随机变量的函数 若X,X2,…Xm,Xm+1,…乂相互独立,h,g为连续函数,贝U: h(X,X…Xm)和g(Xm+1,…X相互独立。 特例: 若X与丫独立,则: h(X)和g(Y)独立。 例如: 若X与丫独立,则: 3X+1 和5Y-2独立。 (9) 设随机向量(X,Y)的分布密度函数为 一维 22 1x12(x1)(y2)y2 12(12)1122 正态 f(x,y) e, 2 12j1 分布 其中1, 2,10,20,1|1是5个参数,则称(X, Y)服从二维正态分布, 记为(X,Y)〜N(,,2,12,;,). 由边缘密度的计算公式,可以推出二维正 态分布的两个边缘分布仍为正态分布, 即X〜N(1,12),y~n(2,;)• 但是若 X〜N(1,12),y~n(2,22),(X,Y)未必 是二维正态分布。 (10) Z=X+ 根据定义计算: 函数 Y Fz(z)P(Zz)P(XYz) 分布 对于连续型,fz(z)f(x,zx)dx 两个独立的正态分布的和仍为正态分布(12,122)。 n个相互独立的正态分布的线性组合,仍服从正态分布。 222 Cii,Cii ii Z=max,min( X1,X2, …Xn) 若X1,X2Xn相互独立,其分布函数分另1」为Fx1(x),Fx2(x)Fxn(x),则 Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函数为: Fmax(x)Fx,(X)? Fx2(X)Fxn(x) Fmin(x)1[1Fx1(x)]? [1Fx2(x)][1Fxn(x)] 2011-1-1 2分布 设n个随机变量X1,X2,,x”相互独立,且服从标准正态分布,可以证明它们的平方和 n 2 WXi i1 的分布密度为 nu 1-1- u2e2u0,f(u)22- 2 0,u0. 我们称随机变量W服从自由度为n的吩布,记为W2(n),其中 n^21xd x2edx. 20 所谓自由度是指独立正态随机变量的个数,它是随机变量分布中的一个重要参数。 2分布满足可加性: 设 Yi2(n,), 则 k 2 ZYi~gn2nk). i1 t分布 设X,Y是两个相互独立的随机变量,且 X~N(0,1),Y~2(n), 可以证明函数 T扁 的概率密度为 n1n1 2t2— f(t)——2—1-(t). Jnnn 2 我们称随机变量T服从自由度为n的t分布,记为T〜t(n)。 t1(n)t(n) F分布 设X〜2(n1),Y〜2(n2),且X与Y独立,可以证明F泸的概率密度函数 Y/n2 为 E"2比叫匕 2n12;11n120 f(y)mn2n2'n2y" 22 0,y0 我们称随机变量F服从第一个自由度为nt,第二个自由度为n2的F分布,记为F〜f(n1,n2). F1(n1,n2)F…) 第四章随机变量的数字特征 (1)一维随机变量的数字特征 离散型 连续型 期望 期望就是平均值 设X是离散型随机变量,其分布律为P(XXk)=Pk‘k=1,2,…,n,n E(X)XkPk k1 (要求绝对收敛) 设X是连续型机变量,其概率度为f(x), E(X)xf(x)dx (要求绝对收 函数的期望 Y=g(x) n E(Y)g(Xk)Pk k1 Y=g(X) E(Y)g(x)f(x)dx 方差 2 D(X)=E[X-E(X)], 标准差 (X)Jd(x), 2 D(X)[XkE(X)]Pk k D(X)[xE(X)]2f 矩 ①对于正整数 ①对于正整数 k,称随机变量X 称随机变量X 的k次幂的数学 次幂的数学期 期望为X的k阶 为X的k阶原 原点矩,记为 矩,记为Vk,即 Vk,即 v vk=E(X> k=E(X)-xkf(x k XiPi, k=1,2,… i k=1,2,… ②对于正整数k,称随机变量X与E(X)差的k次幂的数学期望为X的k阶中 ②对于正整数称随机变量X (X)差的k次的数学期望为的k阶中心矩为k,即 E(XE(X))k 心矩,记为k, kE(XE(X)) 即 k 一(xE(X))kf(x)d〉 kE(XE(X))k k=1,2,… k 一(XiE(X))Pi, i k=1,2,… 切比雪夫不等式 设随机变量X具有数学期望E=卩,方差D(X)=^,贝I」对于意正数&,有下列切比雪夫不等 2 P(X)2 切比雪夫不等式给出了在未知分布的情况下,对概率 P(|xI) (2) 期望 的性 质 的一种估计,它在理论上有重要义。 (3) 1方差 的性 质 (1)D(C)=0;E(C)=C (2)D(aX)=a2D(X);E(aX)=aE(X) (3)D(aX+b)=a2D(X);E(aX+b)=aE(X)+b (4)D(X)=E(X2)-E2(X) (5)D(X±Y)=D(X)+D(Y),充分条件: X和丫独立 充要条件: X和Y不关。 D(X±Y)=D(X)+D(Y) 2E[(X-E(X))(Y-E(Y))],无条件成立。 而E(X+Y)=E(X)+E(Y),无条件成立。 (4)常见分布的期望和方差 期望 方差 0-1分布B(1,P) P p(1p) 二项分布B(n,P) np 叩(1p) 泊松分布P() 几何分布G(p) 1 p 1p 2p 超几何分布H(n,M,N) nM N nM,MNr 1 NNN1 均匀分布U(a,b) ab 2 (ba)2 12 指数分布e() 丄 丄 2 正态分布N(,2) 2 2分布 n 2n t分布 0 n(n>2) n2'/ (5)二维随机变量的数字特征 期望 n E(X)XiPi? i1 n E(Y)yjp? j j1 E(X)xfx(x)dx E(Y)yfY(y)dy 函数的期望 E[G(X,Y)]= G(Xi,Yj)Pij ij E[G(X,Y)]= G(x,y)f(x,y)dxdy 方差 2 D(X)[XiE(X)]Pi? i D(Y)[XjE(Y)]2p? j j D(X)[xE(X)]2f;
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