高中数学直线和圆的方程知识点总结.docx
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高中数学直线和圆的方程知识点总结.docx
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高中数学直线和圆的方程知识点总结
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高中数学之直线与圆的方程
一、概念理解:
1、倾斜角:
①找α:
直线向上方向、x轴正方向;
②平行:
α=0°;
③范围:
0°≤α<180°。
2、斜率:
①找k:
k=tanα(α≠90°);
②垂直:
斜率k不存在;
③范围:
斜率k∈R。
y1y2y2y1
3、斜率与坐标:
ktan
x1x2x2x1
①构造直角三角形(数形结合);
②斜率k值于两点先后顺序无关;
③注意下标的位置对应。
4、直线与直线的位置关系:
l1:
yk1xb1,l2:
yk2xb2
①相交:
斜率k1k2(前提是斜率都存在)
特例----垂直时:
<1>
l1
x轴,即k1不存在,则k2
0;
<2>
斜率都存在时:
k1k21。
②平行:
<1>斜率都存在时:
k1
k2,b1
b2;
<2>
斜率都不存在时:
两直线都与
x轴垂直。
③重合:
斜率都存在时:
k1
k2,b1
b2;
二、方程与公式:
1、直线的五个方程:
①点斜式:
②斜截式:
yy0k(xx0)将已知点(x0,y0)与斜率k直接带入即可;
ykxb将已知截距(0,b)与斜率k直接带入即可;
③两点式:
y
y1
x
x1,(其中x1x2,y1
y2)将已知两点(x1,y1),(x2,y2)直接
y2
y1
x2
x1
带入即可;
④截距式:
⑤一般式:
xy
1将已知截距坐标(a,0),(0,b)直接带入即可;
ab
AxByC0,其中A、B不同时为0
用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。
2、求两条直线的交点坐标:
直接将两直线方程联立,解方程组即可
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3、距离公式:
①两点间距离:
P1P2(x1x2)2
(y1y2)2
②点到直线距离:
d
Ax0By0C
A2B2
C1C2
③平行直线间距离:
d
A2B2
4、中点、三分点坐标公式:
已知两点
A(x1,y1),B(x2,y2)
①AB中点(x0,y0):
(x1
x2,y1
y2)
2
2
②AB三分点(s1,t1),(s2,t2):
(2x1
x2,2y1
y2)靠近A的三分点坐标
3
3
(x1
2x2,y1
2y2)靠近B的三分点坐标
3
3
中点坐标公式,在求对称点、第四章圆与方程中,经常用到。
三分点坐标公式,用得较少,多见于大题难题。
5.直线的对称性问题
已知点关于已知直线的对称:
设这个点为P(x0,y0),对称后的点坐标为P’(x,y),则
pp’的斜率与已知直线的斜率垂直,且pp’的中点坐标在已知直线上。
三、解题指导与易错辨析:
1、解析法(坐标法):
①建立适当直角坐标系,依据几何性质关系,设出点的坐标;
②依据代数关系(点在直线或曲线上),进行有关代数运算,并得出相关结果;
③将代数运算结果,翻译成几何中“所求或所要证明”。
y
2、动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”:
①PA
PB的最小值:
找对称点再连直线,如右图所示:
②
PA
PB
的最大值:
三角形思想“两边之差小于第三边”
;
o
x
22
③PAPB的最值:
函数思想“转换成一元二次函数,找对称轴”。
3、直线必过点:
①含有一个参数----y=(a-1)x+2a+1=>y=(a-1)(x+2)+3
令:
x+2=0=>必过点(-2,3)
②含有两个参数----(3m-n)x+(m+2n)y-n=0=>m(3x+y)+n(2y-x-1)=0
令:
3x+y=0、2y-x-1=0联立方程组求解=>必过点(-1/7,3/7)
4、易错辨析:
①讨论斜率的存在性:
解题过程中用到斜率,一定要分类讨论:
<1>斜率不存在时,是否满足题意;
<2>斜率存在时,斜率会有怎样关系。
②注意“截距”可正可负,不能“错认为”截距就是距离,会丢解;
(求解直线与坐标轴围成面积时,较为常见。
)
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③直线到两定点距离相等,有两种情况:
<1>直线与两定点所在直线平行;
<2>直线过两定点的中点。
圆的方程
1.定义:
一个动点到一个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆,其中定点称为圆的圆心,定长为圆的半径.
2.圆的方程表示方法:
第一种:
圆的一般方程——x2y2
Dx
Ey
F
0
其中圆心C
D,
E,
2
2
半径r
D
2
E2
4F.
当D2
E2
2
4F
0
时,方程表示一个圆,
当D2
E2
4
F
0时,方程表示一个点
D,
E.
2
2
当D2
E2
4
F
0
时,方程无图形.
第二种:
圆的标准方程——(xa)2(y
b)2
r2.其中点C(a,b)为圆心,r为半径的
圆
第三种:
圆的参数方程——圆的参数方程:
x
a
rcos
(
为参数)
y
b
rsin
注:
圆的直径方程:
已知A(x1,y1)B(x2,y2)
(x
x1)(
x
x2)
(y
y1)(yy2)0
3.点和圆的位置关系:
给定点M(x0,y0)及圆C:
(x
a)2(y
b)2
r2.
①M在圆C内
(x0
a)
②M在圆C上
(x0
a)
③M在圆C外
(x0
a)
2(y0b)
2(y0b)
2(y0b)
2r2
2r2
2r2
4.直线和圆的位置关系:
设圆圆C:
(xa)2(yb)2
r2(r
0);
直线l:
AxByC
0(A2B2
0);
圆心C(a,b)到直线l的距离
Aa
Bb
C
d
A2B2
.
①d
r时,l与C相切;
②d
r时,l与C相交;,
③dr时,l与C相离.
5、圆的切线方程:
①一般方程若点
0
0
x
0
–a)+(y–b)(y
0
2
特别地,
(x
y)在圆上,则(x–a)(
–b)=R.
过圆x2y2
r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x
y0y
r2.(注:
该点在圆上,则切线方程只
有一条)
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y1
y0
k(x1
x0)
②若点(x0,y0)不在圆上,圆心为(a,b)
则
b
y1k(ax1),联立求出k
切线方程.(注:
R
R2
1
过圆外的点引切线必定有两条,若联立的方程只有一个解,那么另外一条切线必定是垂直于
X轴的直线。
)
6.圆系方程:
过
两圆的交
点的
圆方程:
假设两圆方程为:
C1:
x2+y2+D1x+E1y+F1=0
2
2222
2
则过两圆的交点圆方程可设为:
22111
C:
x+y+Dx+Ey+F=0
x+y+Dx+Ey+F+λ
(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0
过两圆的交点的直线方程:
x2+y2+D1x+E1y+F1-x2+y2+D2x+E2y+F2=0(两圆的方程相减得到的方
程就是直线方程)
7.与圆有关的计算:
弦长的计算:
AB=2*√R2-d2其中R是圆的半径,d等于圆心到直线的距离
AB=(√1+k2)*∣X1-X2∣其中k是直线的斜率,X1与X2是直线与圆的方程联
立之后得到的两个根
过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线
圆内的最长弦是直径
8.圆的一些最值问题
①圆上的点到直线的最短距离=圆心到直线的距离减去半径
②圆上的点到直线的最长距离=圆心到直线的距离加上半径
③假设P(x,y)是在某个圆上的动点,则(x-a)/(y-b)的最值可以转化为圆上的点与
该点(a,b)的斜率问题,即先求过该定点的切线,得到的斜率便是该分式的
最值。
④假设(Px,y)是在某个圆上的动点,则求x+y或x-y的最值可以转化为:
设T=x+y或T=x-y,在圆上找到点(X,Y)使得以y=x+T或y=x-T在Y轴上的截距最值化。
9.圆的对称问题
①已知圆关于已知的直线对称,则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的,只需求出已知圆的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可。
②若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆,则这个直线必过某定点,且该定点是圆的圆心坐标
圆锥曲线
椭圆
椭圆:
平面内到两定点距离之和等于定长(定长大于两定点间距离)的点的集合
1、定义:
PF1
PF2
2a(2a
F1F2)
PF
c
第二定义:
e(0e1)
d
a
2、标准方程:
x2
y2
1(a
b0)或
y2
x2
1(ab
0);
a2
b2
a2
b2
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xacos
3、参数方程(为参数)几何意义:
离心角
ybsin
4、几何性质:
(只给出焦点在x轴上的的椭圆的几何性质)
①、顶点(a,0),(0,b)
②、焦点(c,0)
③、离心率e
c(0
e1)
a
④准线:
x
a2
(课改后对准线不再要求,但题目中偶尔给出)
c
5、焦点三角形面积:
SPF1F2
b2tan(设F1PF2
)(推导过程必须会)
2
6、椭圆面积:
S椭
ab(了解即可)
7、直线与椭圆位置关系:
相离(0);相交(0);相切(0)
判定方法:
直线方程与椭圆方程联立,利用判别式判断根的个数
8、椭圆切线的求法
1)切点(x0y0)已知时,
x2
y2
1(a
b
0)
切线
x0x
y0y
1
a2
b2
a
2
b2
y2
x2
1(a
b
0)
切线
y0y
x0x
1
a2
b2
a2
b2
2)切线斜率
k已知时,
x2
y2
1(a
b
0)
切线
22
2
a2
b2
y
kx
ak
b
y2
x2
1(a
b
0)
切线y
kx
b2k2
a2
a2
b2
9、焦半径:
椭圆上点到焦点的距离
x2
y2
1(a
b
0)
r
a
ex0(左加右减)
a2
b2
y2
a2
1(a
b
0)
r
a
ey0(下加上减)
a2
b2
双曲线
1、定义:
PF1PF22a
PF
c
第二定义:
e(e1)
d
a
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2、标准方程:
x2
y2
1(a
0,b
0)(焦点在x轴)
a2
b2
y2
x2
1(a
0,b
0)(焦点在y轴)
a2
b2
x
asec
(
为参数)用法:
可设曲线上任一点
P(asec,btan)
参数方程:
btan
y
3、几何性质
①顶点(
a,0)
②焦点(
c,0)
c2
a2
b2
c
e
1
③离心率e
a
④准线x
a2
c
⑤渐近线
x2
y2
1(a
0,b
0)
b
x2
y2
0
a2
b2
y
x或
b2
a
a2
y2
x2
1(a
0,b
0)
b
y2
x2
0
a2
b2
y
x或
b2
a
a2
4、特殊双曲线
①、等轴双曲线
x2
y
2
1
e
2
渐近线y
x
a2
a2
②、双曲线x2
y2
1的共轭双曲线
x2
y2
1
a2
b2
a2
b2
性质1:
双曲线与其共轭双曲线有共同渐近线
性质2:
双曲线与其共轭双曲线的四个焦点在同一圆上
5、直线与双曲线的位置关系
①相离(0);②相切(0);③相交(0)
判定直线与双曲线位置关系需要与渐近线联系一起
0时可以是相交也可以是相切
6、焦半径公式
x2
y
2
1(a0,b0)点P在右支上
r
ex0a(左加右减)
a2
b2
点P在左支上
r
(ex0a)(左加右减)
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y2
x
2
1(a0,b0)点P在上支上
a2
b2
点P在上支上
rey0a(下加上减)
r(ey0a)(下加上减)
7、双曲线切线的求法
①切点P
x2
y2
1(a
0,b
0)
切线
x0xy0y
1
(x0
y0)已知
b2
a2
b2
a2
y2
x2
1(a
0,b
0)
切线
y0y
x0x
1
a2
b2
a2
b2
②切线斜率
x2
y2
1
y
kx
a
2
k
2
b
2
(k
b
K已知
2
b2
)
a
a
y2
x2
1
ykx
a2
b2k2(k
b)
a2
b2
a
8、焦点三角形面积:
SPF1F2b2
cot
(
为
F1PF2)
2
抛物线
1、定义:
平面内与一定点和一定直线的距离相等的点的集合(轨迹)
2、几何性质:
P几何意义:
焦准距焦点到准线的距离设为P
标准方程:
y22px(p0)y22px(p0)
图像:
范
围:
x
0
x
0
对
称轴:
x轴
x
轴
顶
点:
(0,0)
(0,0)
焦
点:
(p,0)
(
p,0)
2
2
离心率:
e
1
e
1
准
线:
x
p
x
p
2
2
标准方程:
x2
2py(p0)
x2
2py(p0)
图
像:
范
围:
y
0
y
0
对
称轴:
y
轴
y
轴
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定
点:
(0,0)
(0,0)
焦
点:
(0,p)
(0,
p)
2
2
离心率:
e1
e
1
准
线:
y
p
y
p
2
2
x
2pt
2
y
2
2px(p0)
3、参数方程
2pt
(t为参数方程)
y
4、通径:
过焦点且垂直于对称轴的弦
椭圆:
双曲线通径长
2b2
抛物线通径长2P
a
5、直线与抛物线的位置关系
1)相交(有两个交点或一个交点)2
)相切(有一个交点);
3)相离(没有交点)
6、抛物线切线的求法
1)切点P(x0,y0)已知:
y2
2px(p
0)的切线;y0yp(xx0)
2)切线斜率K已知:
y2
2px(p
0):
ykx
p
2k
y2
2px(p
0):
y
kx
p
2k
x2
2py(p
0):
y
kx
pk2
2
2
2py(p
0):
y
kx
pk2
x
2
此类公式填空选择或解答题中(部分)可作公式直接应用
附加:
弦长公式:
ykxb与曲线交与两点A、B则
21
dABx2x11ky2y11k2
解题指导:
轨迹问题:
(一)求轨迹的步骤
1、建模:
设点建立适当的坐标系,设曲线上任一点p(x,y)
2、立式:
写出适条件的p点的集合
3、代换:
用坐标表示集合列出方程式f(x,y)=0
4、化简:
化成简单形式,并找出限制条件
5、证明:
以方程的解为坐标的点在曲线上
(二)求轨迹的方法
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1、直接法:
求谁设谁,按五步去直接求出轨迹
2、定义法:
利用已知或几何图形关系找到符合圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义
3、转移代入法:
适用于一个动点随另一曲线上的动点变化问题
4、交轨法:
适用于求两条动直线交点的轨迹问题。
用一个变量分别表示两条动直线,
然后联立,消去变量即可。
5、参数法:
用一个变量分别表示所求轨迹上任一点的横坐标和纵坐标,联立消参。
6、同一法:
利用两种思维分别求出同一条直线,再参考参数法,找到轨迹方程。
弦长问题:
|AB|=(1k2)[(x1x2)24x1x2]。
弦的中点问题:
中点坐标公式-----注意应用判别式。
Ⅰ.求曲线的方程
1.曲线的形状已知
这类问题一般可用待定系数法解决。
例1(1994年全国)
已知直线L过原点,抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上。
若点A(-1,0)
和点B(0,8)关于L的对称点都在C上,求直线L和抛物线C的方程。
分析:
曲线的形状已知,可以用待定系数法。
设出它们的方程,L:
y=k
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