南充高中自主招生考试题及答案word版.docx
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南充高中自主招生考试题及答案word版
南充高中2011年面向省内外自主招生考试
数学试卷(顺庆校区)
(考试时间:
120分钟试卷总分:
150分)
第I卷(选择■填空题)
、选择题(每小题5分,共计20分.下列各题只有一个正确的选项,请将正确选项的番号填入答题卷的相应位置)
1
1、已知sini・cos,且45°:
:
:
「:
:
:
90°,则cos,-sin〉的值为
8
3
C.—
4
6、已知OO的直径AB=20,弦CD交AB于G,AG>BG,CD=16,AE丄CD于E,BF丄CD于F,贝UAE-BF为
9、设正△ABC的边长为2,M是AB中点,P是BC边上任意一点,FA+PM的最大值和最小值分别s为和t,则S2-t2二
abc
10、在厶ABC中,AC=2011,BC=2010,AB二20102011则sinA・COSC=
11、已知abc为实数且更亠旦亠实」,则
3b+c4a+c5ab+bc+ca
12、已知Rt^ABC的三个顶点A、B、C均在抛物线y=x2上,且斜边AB平行于x轴,设斜边上的高为h,则h的取值为
13、方程2X-X2=2的正根个数为
X
22
14、已知,ab=4n2,ab=1,若19a149ab-19b的值为2011,则n=
15、任意选择一个三位正整数,其中恰好为2的幕的概率为
16、勾股定理有着悠久的历史,它曾引起很多人的兴趣.1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票•所谓勾股图
是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成,它可以验证勾股定理•在右图的勾股图中,已知/ACB=90,
(第16题)
三、解答题:
(本大题共6个小题,共70分,解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤)
17.
(本小题10分)能否在图中的四个圆圈内填入4个互不相同的数,使得任意两个圆圈中所填的数的平方和等于另外
两个圆圈中所填数的平方和?
如果能填,请填出一个例
18.(本小题12分)如图是一个长为400米的环形跑道,其中A,B为跑道对称轴上的两点,且A,B之间有一条50
米的直线通道•甲乙两人同时从A点出发,甲按逆时针方向以速度v1沿跑道跑步,当跑到B时继续沿跑道前进,乙按
顺时针方向以速度V2沿跑道跑步,当跑到B时沿直线通道跑回A点处,假设两人跑步的时间足够长•求:
(1)如果V1:
V2=3:
2,那么甲跑了多少路程后,两人首次在A点处相遇;
(2)如果V1:
V2=5:
6,那么乙跑了多少路程后,两人首次在B点处相遇.
21.(本小题12分)如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,-1)的抛物线交y轴于A点,交x轴于B,C两
点(点B在点C的左侧),已知A点坐标为(0,3)。
(1)求此抛物线的解析式;
(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与直线BD相切,请判断抛物线的对称轴丨与OC有怎样的位置关系,并给出证明;
(3)已知点P是抛物线上的一个动点,且位于A,C两点之间,问:
当点P运动到什么位置时,PAC的面积最大?
并求出此时P点的坐标和PAC的最大面积.
22.(本小题12分)如图1在平面直角坐标系xOy中,以y轴正半轴上一点A(0,m)(m为非零常数)为端点,作与y轴正方向夹角为60°的射线I,在I上取点B,使AB=4k(k为正整数),并在I下方作/ABC=120°,BC=2OA,线段AB,OC的中点分别为D,E.
(1)当m=4,k=1时,直接写出B,C两点的坐标;
(2)若抛物线y1x2-3(2k_12xm的顶点恰好为D点,且DE=27,求抛物线的解析式及此时cos/ODE
k+23(k+2)
的值;
(3)当k=1时,记线段AB,OC的中点分别为D1,E仁当k=3时,记线段AB,OC的中点分别为D3,E3,求直线E1E3
的解析式及四边形D1D3E3E1的面积(用含m的代数式表示)
南充高中2011年面向省内外自主招生考试答案
、选择题:
(每小题5分,共计20分)
题号
1
2
3
4
答案
B
D
B
A
、填空题:
(每小题5分,共计60分)
5.
17
6.
12
7.
k一k2
8.
±1
9.
4贞
10.
20102
()2
2011
11.
1
12.
1
13.
0
6
14.
2或—3
15.
1
16.
27+13后
300
解答题:
(本大题共
6个小题,共70分,解答应写出必要的说明
,证明过程和推演步骤)
17.(本小题10分)能否在图中的四个圆圈内填入4个互不相同的数,使得任意两个圆圈中所填的数的平方和等于另外
两个圆圈中所填数的平方和?
如果能填,请填出一个例;如果不能填,请说明理由。
解:
不能填。
理由如下:
设所填的互不相同的
石新=i2+rf:
<护卅=严十护
①一②得
4个数为a,b,c,d
①
;则有
因为:
c
同理可得
c2
c2
_d2=d2-c2
,只能是c=-d
二b2因为c
比较④,⑤得
即c2=d2
半b,只能c=-b⑤
b=d,与已知bzd矛盾,所以题设要求的填数法不存在。
10分
18.(本小题12分)如图是一个长为400米的环形跑道,其中A,B为跑道对称轴上的两点,且A,B之间有一条50
米的直线通道•甲乙两人同时从A点出发,甲按逆时针方向以速度v1沿跑道跑步,当跑到B时继续沿跑道前进,乙按
顺时针方向以速度V2沿跑道跑步,当跑到B时沿直线通道跑回A点处,假设两人跑步的时间足够长•求:
(1)如果V1:
V2=3:
2,那么甲跑了多少路程后,两人首次在A点处相遇;
(2)如果V1:
V2=5:
6,那么乙跑了多少路程后,两人首次在B点处相遇.解:
(1)设甲跑了n圈后,两人首次在A点处相遇,再设甲、乙
两人的速度分别为V|=3m,v2=2m
由题意可得在A处相遇时,乙跑步的路程是电型・2m二800n
3m3
因乙跑回到A点处,所以800n应是250的整数倍,从而知n的最小值是
3
15,此时,甲跑过的路程为400X15=6000
(米)
故甲跑了6000米后,两人首次在A点处相遇.6
(2)设乙跑了250p+200米,甲跑了400q+200米时,两人首次在
分
B处相遇,设甲、乙两人的速度分别为
「c丄幷亠「仆400q+200250p+200“8q+45p+4
W=5m,V2=6m,由题意可得,即
--56
5m
6m
所以48q・24=25p20,即48q•4=25p(p,q均为正整数),.p,q
的最小值为4与2
此时,乙跑过的路程为250X4+200=1200米
故乙跑了1200米后,两人首次在B点处相遇
19.(本小题12分)已知:
如图,BD为OO的直径,点A是劣弧BC的中点,
2
(1)求证:
AB=AEAD;
(2)过点D作OO的切线,与BC的延长线交于点F,
..12分
AD交BC于点E,连结AB.
若AE=2,ED=4,求EF的长.
(1)证明:
如图
4.
•••点A是劣弧BC的中点,
•/ABC=ZADB
又•••/BAD=ZEAB,
•△ABEADB
4分
•ABAD
"AB.
2
•AB二AEAD
(2)解:
TAE=2,ED=4,
•AB2=AEAD二AEAEED=26=12.
•••AB=23(舍负).
•/BD为OO的直径,
•/A=90.
又•••DF是OO的切线,
•DF丄BD.
•/BDF=90.
AB在Rt△ABD中,tan._ADB=-
AD
•/ADB=30.
•/ABC=ZADB=30.
•/DEF=/AEB=60,
.EDF二.BDF「/ADB=90-30=60.
•/F=180/DEFZEDF=60.
•△DEF是等边三角形.
•EF=DE=4.12分
20.(本小题12分)2011年3月11日13时46分日本发生了9.0级大地震,伴随着就是海啸。
山坡上有一棵与水平面垂直的大树,海啸过后,大树被刮倾斜后折断倒在山坡上,树的顶部恰好接触到坡面(如图所示)。
已知山坡的坡角
/AEF=23°,量得树干的倾斜角为/BAC=38°,大树被折断部分和坡面所成的角ZADC=60%D=4m。
(1)求/DAC的度数;
(2)求这棵大树折点C到坡面AE的距离?
(结果精确到个位,参考数据:
.2=1.4,.6=2.4).
解:
(1)延长BA交EF于点G.
在RtAAGE中,E=23°
•GAE=67°
又•••BAC=38°,
•CAE=180°°67°°38°75°.
(2)过点A作AH丄CD于点H,AM丄AE[于点M•
在厶ADH中,NADC=60°AD=4,
DH=2•
AD
AHl
sin.ADC,•••AH=2_3•8分
AD
在RtAACH中,ZC=180°—75°60°45°“•…9分
•AC=2.6,CH=AH=2、、3•10分
•CD=DH+CH=232,在Rt△CDM中,/CDM=60?
sin/CDM=C^,•CM=3+3=5(米)
CD
即这棵大树折点C到坡面AE的距离为5米.12分
21.(本小题12分)如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,-1)的抛物线交y轴于A点,交X轴于B,C两
点(点B在点C的左侧),已知A点坐标为(0,3)。
(1)求此抛物线的解析式;
(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与直线BD相切,请判断抛物线的对称
轴I与OC有怎样的位置关系,并给出证明;
(3)
.PAC的面积
已知点P是抛物线上的一个动点,且位于A,C两点之间,问:
当点P运动到什么位置时,
最大?
并求出此时P点的坐标和PAC的最大面积
解:
(1)设抛物线为y二a(x-4)2-1.
•••抛物线经过点A(0,3),
21
•3=a(0—4)-1•a=丄
4
1212
•••抛物线为y(x-4)2-1x-2x3.
44
⑵答:
I与OC相交
12
证明:
当一(X-4)T=0时,为=2,X2=6.
4
•B为(2,0),C为(6,0).•AB=府+22=713.5分
设OC与BD相切于点E,连接CE,则•BEC=90’=/AOB.
•••ABD=90,•CBE=90-ABO.
又BAO=9O°—^ABO,•NBAO=^CBE.•AAOBs也BEC.……6分
•••抛物线的对称轴I为X=4,•C点到I的距离为2.
•抛物线的对称轴I与OC相交.
(3)解:
如图,过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q。
1
可求出AC的解析式为yx3.
2
2442
二PQm3-(—m-2m3)mm.
27
11233
SPAC=SPAQS.PCQ=2(_4m2m)6二-^(m-3)
12分
3
此时,P点的坐标为(3,)
4
22.(本小题12分)如图1,在平面直角坐标系xOy中,以y轴正半轴上一点A(0,m)(m为非零常数)为端点,作与y轴正方向夹角为60°的射线I,在I上取点B,使AB=4k(k为正整数),并在I下方作/ABC=120°,BC=2OA,线段AB,OC的中点分别为D,E.
(1)当m=4,k=1时,直接写出B,C两点的坐标;
(2)若抛物线ylx223(2k1)xm的顶点恰好为D点,且DE=27,求抛物线的解析式及此时cos/ODE
k+23(k+2)
的值;
(3)当k=1时,记线段AB,OC的中点分别为D1,E1;当k=3时,记线段AB,OC的中点分别为D3,E3,求直线E1E3
(4)
的解析式及四边形D1D3E3E1的面积(用含m的代数式表示).
(2)当AB=4k,A(0,m)时,OA=m,与
(1)同理可得B点的坐标为B(2,3k,2km),C点的坐标为C(2.3^.3m,2k).
如图8,过点B作y轴的垂线,垂足为F,过点C作x轴的垂线,垂足为G,
两条垂线的交点为H,作DM丄FH于点M,EN丄OG于点N.
由三角形中位线的性质可得点D的坐标为DC,3k,km),
由勾股定理得
60°,
D恰为抛物线y1x2-3(2k1)xm的顶点,
k+23(k+2)
它的顶点横坐标为3(2k1,
3
3(2-123k•解得k=i.
3
此时抛物线的解析式^-1x2^53x47分
此时D,E两点的坐标分别为D(3,5),E(33,1).
OD=2,7,OE=2.7.
•••OD=OE=DE.
•此时△ODE为等边三角形,cos/ODE=cos60°=1
2
(3)E1,E3点的坐标分别为Et(3m:
?
3,1),E3
2
(于3)ab=1,〔字33)ab=3.
a二
解得
•直线证的解析式为"于2
可得直线E1E3与y轴正方向的夹角为60°.
•••直线D1D3,E1E3与y轴正方向的夹角都等于
D1D3〃E1E3.
•••D1,D3两点的坐标分别为D1^3,m1),Da(33,m3),
设直线E1E3与y轴的交点为P,作AQ丄E1E3于Q.(如图9)
可得点P的坐标为P0,-詈,AP今m.
•••AQ=APsin.OPQ=APsin60‘
12分
4
S四边形d.DoEoE.=DiD3AQ=43.3m-
13314
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