浙南名校联盟届高三第一次联考数学试题含答案解析.docx
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浙南名校联盟届高三第一次联考数学试题含答案解析
绝密★考试结束前
2020学年第一学期浙南名校联盟第一次联考
高三数学试卷
命题,永嘉中学审题:
温州二高
考生须知,
1•木试題卷分选择题和非选择逼两部分,共4页,满分150分,考试时间120分钟。
2•答遇前,在答題卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。
3•所有答奚必须写在答題卷上・写在试卷上无效。
4.考试结束后.只需上交答題卷.
参考公式:
如果事件B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件缶J&相瓦独立,1^P(AB)=P(A)P(B)如果爭件4在一次试验中发生的概率是p,那么力次独立里复试验中事件/<恰好发生k次的概举E@)=Ch(l-P)i("O,l,2,…,力台体的体枳公式卩=羽+际卡汕其中£分别衷示台体的上、下底面积,力衷示台体的高
柱体的悴积公式/7
其中S表示柱体的底面积.〃表示柱怵的高锥体的休积公式卩=-Sh
3
其中S表示锥体的底面积,«表示犍体的高
球的表而积公式
S=4叔
球的体积公式
V=
3
其中/{表示球的半径
选择题部分(共40分〉
一、选择题:
本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小題给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1•设集合八匕卩w3},集合―{国("1)仗一2)“},贝(▲)
A,{x|l 2.把复数z的共辄复数记作7,i为虚数单位,若z=l-i,则(】-"•? =(▲) A.l-iB・I+iC.-1-iD.-l+i 3•双曲线疋-壬“的渐近线方程为(▲) 43 非选择题部分(共no分) 2.填空题*本大題共7小题.共36分。 多空题每小题6分,单空题每小题4分。 15•从0,2,4,6中任取2个数字,从1,3.5中任取2个数字,一共可以组成▲个没有重复数字的四位偶数. 16.在平面宜角坐标系中,点与点B关于原点。 对称,直线肿与宜线柑交于点P,R它们的斜率之积为-匕贝! IMBP的面积的取值范围▲• 2 17•己知平面向量: 亦满足打=・3,|a-Z|=4»Q7与: ■&的夹角为牛则卜;-科的最大值亠. 三、解答题: 本大题共S小题,共74分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.(本題满分14分)已知函luC/(x)=2sin2x+^sin2x-U (I)求函数/'(X)在0,日上的值嫌 (II)若/(旺户皂Jf0ef1.求8&2Xq的值. 19.(本題满分15分)如图,四棱推P-的CD中,面P3D丄面ABCD.ABHDC.AB^2CD^ AD=BC=g,AP=243yPB=2. (I)证明: PB丄AC; (H)求ED与面PBC所成角的正弦值・ 20. (第19题图〉 (本題满分15分)已知数列仏},仇},其中⑺讣为等差数列, (I)求数列{讣{◎}的通项公式: 21.(本题满分15分)已知动ESC过点“0,4),且在工轴上截得的弦长为& (I)求动圆的圆心C的轨迹方程, (II〉当点Q在椭圆厂疋+”=]上移动,过点Q作曲线C的两条切线记作",05,其中禺B为切4 点,椭關的一个頂点为0(0,2),求\AD\\BD\的話大值. 22.(本题满分15分)已知函数/•(”"产-乎“>0 (1)当21时,求函数/&)的零点个数: (II)若函数/(X)的图像在x轴的冋側(含;r轴), (i)求f的最小值: X (H)当/取到最小值时,若对任意实数aef-1,11,都有^ln^P7T^C""/W-coSa恒成立,试求实elnx 数£的取值范围. 2020学年第一学期浙南名校联盟第一次联考 高三年级数学学科参考答案 一■选择舲本大題共10小禺每小題4分,共40分。 題号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B C D C B A C B 二、填空题: 本大题共7小题.共36分•多空题毎小题6分.单空题每小题4分. 15^19816、(0,JI)17、1+2厉 IkI.-4O12丄,513、24,48+12血14、二石33 三、解答題: 本大题共5小题,共74分。 18■解CI)/(x)=I-cos2x十侖sin2x-l ■7分 _4分 XG ■■ >.•・2x-£w 芹5兀 2 ■■ 6 66 •••/(兀兀卜口 (H);•/(兀)弓剋sin(2x-亍)弓 9分 则cos(2x_Z)=—电- 65 ——10分 14分 2 .•.cos2v=cos(2xo-彳+彳)・ 13分 19•解析〈1〉设AC与BD交点为0 ・;ABHCD■AB=2CD=49AD=BC=410, •■・四边形肋CD为等腰梯形. ・•・易得迹述风唏込2J2, 同理可得・CO=屁0人=2近, vDO2+OC2=CD\二ACkBD.—— 又因为而咖丄面屈CD,且而PBDC面人BCD= ACc^ABCD : .ACk^PBD,5分 又•;PBu而PBD•: •4CIP*• (H)法一^如图建系,以0为原点,以04为*報bOB为少轴, 过点O作面虫OB的垂线为Z轴•则O(OAO),A(2^2fifi)9 B(0,2^,0),C(-V2,0,0)(D(0,-V2,0) AO丄面PBD, POu面PBD,/.AO丄PO,又丁AO=2屁AP=2巨 .-.OP=>! ap2-ao2=2.・•・P(0,VI,运),BD=C-3运,0).PB=(0,近厂冋,BC=(-72-2^1,0) 10分 令而刊农的法向星〃=(込”2)・ n-BC=0=>n・PB=0 (xj,z)・(0,71,-V? )=0 ,(x>y>z).(-V2,-2^i0)=0, Jly-Jlz=0-岳-2②=0; 不妨设y=—=(—2丄1). 12分 令BD与面PBC所成免为久 sin0=|cos(BQ丿)| 14分 15分 BD・tl iRFI=T' (条注,如右图建系也可) 法二设点D到面PBC的距离为力,BD与面PBC所成角为0, VJC丄而PBD 10分 AC丄PO又AO=2>/2,AP»2^AOP=2.PC=^6 在APBC中,PB=2,PC二应,BC=応J施以PB丄FC则$“北=gx2xJS=乔 古=M分 所以BD 15分 3V26 法三匕过0作PC的垂线,垂足为比\AC丄面PED: .ACLPO^AO=2>/2fAP=2^3OP=2fPC=46在UPC中,JP=2岳AC=3伍PC=拆 所以4P丄PC,8分 又因为在山PE中,AP=2也AB=4,PB=2" 所以/P丄P8,则/P丄面PBC10分 所以面NPC丄面P0C,又因为面4PCQ面P〃C=PC,OH丄PCQHu面4PC所以Off丄面PBC 所以Z0BH为BD与面PBC所成角——- 历分 20•解(I)=h时,=a2b{+1 * 因此叱=(卄1冷+"(;: 1 累加得半_*1一缶》=2“希.8分 (U)^叮(总/)人如厂黑等】。 分 12分 2*2^*1 n+ln r 2“八 n+l Q2。 )(22门(2323} G+S6+…+"匕-〒J+[〒才冷-勺+・・・+ 15分 2122 法二s因为刀=1时*C|=0<^-11成立*“=2时.q+c2=0+-<—"—1=1成立9分下而用数学归纳法证明心3时不等式q+q+…q<仝-1成立 n 10分 (1)当/t=3时.q+Cz+勺=0+半+£<亠一1成立- jn 2* (2)假设n=k(彳23,农wM〉时・q+gisv丁-I成立k 2^fr・2* 那么n=k+1时.£+c2++cttl<1+12分 k(k+\)(k+2) 要证31-1+一口一<兰二_|成立 k(R+L)(&+2)k+l 只要证丄+——-——<—成立 k(比+1)(&+2)k^\只要证(k+\\k+2)+k2<2k(k+2) 只要证k>2,显然成立 所以,当+1时/不等式c{+ct<-~~-1成立 根拥 (1) (2)不等式对任意”23.处科・成立.14分 7a 所以对任意neAT*,不等式勺+©+…qv〒一I成立.坊分 21.解折: (: I)设动圆圆心C(x^),|PCj=|CA/|,2分 刚J(T)“=2十牢4分 化简得+=x8y(x矣0),当工"0时,也満足方程 所以圆心C的轨迹方程为X«8yT分 (11)法一: 设心,幷),3(兀』2),0(亦%),过点/的切线仃°方程为尸扌工注-兀,且满足几=+石勺一卩‘同理yQ=^x2x^y2 44 可得直线AB的方程为八羊工-片,8分 4 _互_ 联立丿-了乂_几可得x? -2x.x+8yo=O 所以xl+x2=2xQ,珀・工2=8几10分 可得屮沪平=竝尹,片6=誉“ |也‘|蜩=|(必+2)(儿十2)[12分 =1沁+2(廿+%)+41=|丈+£-4%+4| =阮十1一严一4儿十4|=|扌加一4儿十5|,14分 当必=・2»|仞||肌>|有最大值16.15分 法二;设Q(x9,yQ\A(xv,比),R&,y2),设@4,QB的直线誤率为粘,町, 亘线QA-.y-yQ=&(x-x0)与抛物线x2=Sy相切, 可得,一8心x4昭-8y0=0, 可得Xt+Xj=2x,=8fcp得Xj=8分 且A=0,可得2^,2-^,+jo=O 同理,可得旳=4◎且△=0,可得+九=°W分 : .卅2是方程2&2-M+^0=0的两个根,且壯展=牛,殊2=牛 ZX 即夕+宁=¥,严宁=牛得旺F池0,和花丸儿 442442 12分l^l-MH(y.+2)(%+2)H)化十2(H十兀)+41 T+2仔+千+伯允+爲■如4| =尿+1—今一4几十4|=|衣—4九+5|,14分 44 当几=一2,|"|・|加|有最大值为1615分22,解析,(1〉法「函数/(x)的零点个数为0个° xe(0,1),/(x)=ex—kix>0> XG(1,400)/©)=『一丄=__1>0,/(x)>/(l)=e>0 XX 所以21时.函数/(X)没有零点4分 法二? 先证ex>x,得lnx /(x)=e”・lnx>x・x=0 所以r=i时,瓯数/©)没有等点-4分 (U)("法-: 有題意/(小=宀平“仪>0〉恒成立(5)">0) 厂(X*宀2在(0,y? )上单调递增 /(e)=^--^0,设g(0=^-~在(0,心)上单调递增,而g(i)=0 tte 下证明2匕/("“成立 e /(x)=e*-elnx厂(力=丄/-三在(0,+8)上单遷递增 1 ifij/r(e)=-e--=0z,x€(0间,/©)<0,f(jc)单调递减;ee Xg(e,+fx>)f\x)>O,/(x)单调递増 所以/(刃n几.⑴=/(砂=0・•・心=10分 e 法二$由题盘则对任意x>0有 efx2o"・£“AInx・P"odnInxcfn, tx 显然可求得丫—I=丄,故£=丄10分 \xee (11)枷的晟小值代入则要证不等式为kh&2+1S1-88a, 令g(a)=klny/a2+1-1+cosa, 由于g@)为偶函数,故只需考虑°W[OJ]悄况. 令力(卬)=也一(1+/)血。 » "(d)=£-(]+a? )cos°-2asin他 方'(O)=£-l12分 故分类讨论 当A-<1•貝Jg(a)wln+1_l+cosa, 记右侧函数为g°(“g;(小—(a,: )论 a+1 易知a_孑+l)sina<+lfd-—=丄a3(a2-5)<0, ——14分 所以goG)在[0J]单调邊观故g(a) 当A>1,/r^)>A-(l+a2)-2a2=^-3o2-L当a力⑷单调翅智有g(a)>g(o)=o,不符合題总. 故让\15分
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