教育学习文章压轴题放缩法技巧全总结.docx
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教育学习文章压轴题放缩法技巧全总结
压轴题放缩法技巧全总结
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放缩技巧
证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是:
通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种:
一、裂项放缩
例1.求的值;
求证:
.
解析:
因为,所以
因为,所以
技巧积累:
例2.求证:
求证:
求证:
求证:
解析:
因为,所以
先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案
首先,所以容易经过裂项得到
再证而由均值不等式知道这是显然成立的,
所以
例3.求证:
解析:
一方面:
因为,所以
另一方面:
当时,,当时,,
当时,,
所以综上有
例4.设函数.数列满足..
设,整数.证明:
.
解析:
由数学归纳法可以证明是递增数列,
故
若存在正整数,使,则,
若,则由知,,
因为,于是
例5.已知,求证:
.
解析:
首先可以证明:
所以要证
只要证:
故只要证,
即等价于,
即等价于
而正是成立的,所以原命题成立.
例6.已知,,求证:
.
解析:
所以
从而
例7.已知,,求证:
证明:
,
因为
,所以
所以
二、函数放缩
例8.求证:
.
解析:
先构造函数有,从而
cause
所以
例9.求证:
解析:
构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案
函数构造形式:
,
例10.求证:
解析:
提示:
函数构造形式:
当然本题的证明还可以运用积分放缩
如图,取函数,
首先:
从而,
取有,,
所以有,,…,,,相加后可以得到:
另一方面,从而有
取有,,
所以有,所以综上有
例11.求证:
和.解析:
构造函数后即可证明
例12.求证:
解析:
叠加之后就可以得到答案
函数构造形式:
例13.证明:
解析:
构造函数,求导,可以得到:
,令有,令有,
所以,所以,令有,
所以,所以
例14.已知证明.
解析:
,
然后两边取自然对数,可以得到
然后运用和裂项可以得到答案)
放缩思路:
。
于是,
即
注:
题目所给条件()为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用;当然,本题还可用结论来放缩:
,
即
例16.已知函数若
解析:
设函数
∴函数)上单调递增,在上单调递减.∴的最小值为,即总有
而
即
令则
例15.已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立.
求证:
函数上是增函数;
当;
已知不等式时恒成立,
求证:
解析:
所以函数上是增函数
因为上是增函数,所以
两式相加后可以得到
……
相加后可以得到:
所以
令,有
所以
所以
又,所以
三、分式放缩
姐妹不等式:
和
记忆口诀”小者小,大者大”
解释:
看b,若b小,则不等号是小于号,反之.
例19.姐妹不等式:
和
也可以表示成为
和
解析:
利用假分数的一个性质可得
即
例20.证明:
解析:
运用两次次分式放缩:
相乘,可以得到:
所以有
四、分类放缩
例21.求证:
解析:
例22.在平面直角坐标系中,
轴正半轴上的点列与曲线(≥0)上的点列满足,直线在x轴上的截距为.点的横坐标为,.
证明>>4,;证明有,使得对都有<.
解析:
依题设有:
,由得:
,又直线在轴上的截距为满足
显然,对于,有
证明:
设,则
设,则当时,
。
所以,取,对都有:
故有<成立。
例23.已知函数,若的定义域为[-1,0],值域也为[-1,0].若数列满足,记数列的前项和为,问是否存在正常数A,使得对于任意正整数都有?
并证明你的结论。
解析:
首先求出,∵
∴,∵,,…
,故当时,,
因此,对任何常数A,设是不小于A的最小正整数,
则当时,必有.
故不存在常数A使对所有的正整数恒成立.
例24.设不等式组表示的平面区域为,
设内整数坐标点的个数为.设,
当时,求证:
.
解析:
容易得到,所以,要证只要证,因为
,所以原命题得证
五、迭代放缩
例25.已知,求证:
当时,
解析:
通过迭代的方法得到,然后相加就可以得到结论
例26.设,求证:
对任意的正整数k,若k≥n恒有:
|Sn+k-Sn|<1n
解析:
又
所以
六、借助数列递推关系
例27.求证:
解析:
设则
,从而
,相加后就可以得到
所以
例28.求证:
解析:
设则
,从而
,相加后就可以得到
例29.若,求证:
解析:
所以就有
七、分类讨论
例30.已知数列的前项和满足证明:
对任意的整数,有
解析:
容易得到,
由于通项中含有,很难直接放缩,考虑分项讨论:
当且为奇数时
(减项放缩),于是
①当且为偶数时
②当且为奇数时
(添项放缩)由①知由①②得证。
八、线性规划型放缩
例31.设函数.若对一切,,求的最大值。
解析:
由知
即
由此再由的单调性可以知道的最小值为,最大值为
因此对一切,的充要条件是,
即,满足约束条件,
由线性规划得,的最大值为5.
九、均值不等式放缩
例32.设求证
解析:
此数列的通项为
,,
即
注:
①应注意把握放缩的“度”:
上述不等式右边放缩用的是均值不等式,若放成则得,就放过“度”了!
②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里
其中,等的各式及其变式公式均可供选用。
例33.已知函数,若,且在[0,1]上的最小值为,求证:
解析:
例34.已知为正数,且,试证:
对每一个,.
解析:
由得,又,故,而,
令,则=,因为,倒序相加得=,
而,
则=
,所以
,即对每一个,.
例35.求证
解析:
不等式左
=,
原结论成立.
例36.已知,求证:
解析:
经过倒序相乘,就可以得到
例37.已知,求证:
解析:
其中:
因为
所以
从而,所以.
例38.若,求证:
.
解析:
因为当时,,所以,所以,当且仅当时取到等号.
所以
所以所以
例39.已知,求证:
.
解析:
.
例40.已知函数f=x2-k•2lnx.k是奇数,n∈N*时,
求证:
[f’]n-2n-1•f’≥2n.
解析:
由已知得,
当n=1时,左式=右式=0.∴不等式成立.
,左式=
令
由倒序相加法得:
,
所以
所以综上,当k是奇数,时,命题成立
例41.(XX年东北三校)已知函数
(1)求函数的最小值,并求最小值小于0时的取值范围;
(2)令求证:
★例42.已知函数,.对任意正数,证明:
.
解析:
对任意给定的,,由,
若令
,则
①,而
②
(一)、先证;因为,,,
又由
,得
.
所以
.
(二)、再证;由①、②式中关于的对称性,不妨设.则
(ⅰ)、当,则,所以,因为
,
,此时.
(ⅱ)、当③,由①得,,,
因为
所以
④
同理得⑤,于是
⑥
今证明
⑦,因为
,
只要证
,即
,也即
,据③,此为显然.
因此⑦得证.故由⑥得
.
综上所述,对任何正数,皆有.
例43.求证:
解析:
一方面:
另一方面:
十、二项放缩
,,
例44.已知证明
解析:
,
即
45.设,求证:
数列单调递增且
解析:
引入一个结论:
若则(证略)
整理上式得()
以代入()式得
即单调递增。
以代入()式得
此式对一切正整数都成立,即对一切偶数有,又因为数列单调递增,所以对一切正整数有。
注:
①上述不等式可加强为简证如下:
利用二项展开式进行部分放缩:
只取前两项有对通项作如下放缩:
故有
②上述数列的极限存在,为无理数;同时是下述试题的背景:
已知是正整数,且
(1)证明;
(2)证明(01年全国卷理科第20题)
简析对第
(2)问:
用代替得数列是递减数列;借鉴此结论可有如下简捷证法:
数列递减,且故即。
当然,本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决!
详见文[1]。
例46.已知a+b=1,a>0,b>0,求证:
解析:
因为a+b=1,a>0,b>0,可认为成等差数列,设,
从而
例47.设,求证.
解析:
观察的结构,注意到,展开得
,即,得证.
例48.求证:
.
解析:
参见上面的方法,希望读者自己尝试!
)
例42.已知函数,满足:
①对任意,都有;
②对任意都有.
(I)试证明:
为上的单调增函数;
(II)求;
(III)令,试证明:
.
解析:
本题的亮点很多,是一道考查能力的好题.
运用抽象函数的性质判断单调性:
因为,所以可以得到,
也就是,不妨设,所以,可以得到,也就是说为上的单调增函数.
此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力!
首先我们发现条件不是很足,,尝试探索看看按中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路了!
由可知,令,则可以得到
,又,所以由不等式可以得到,又
,所以可以得到
①
接下来要运用迭代的思想:
因为,所以,,
②
,,,
在此比较有技巧的方法就是:
,所以可以判断
③
当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出来,然后就可以得到结论.
所以,综合①②③有=
在解决的通项公式时也会遇到困难.
,所以数列的方程为,从而,
一方面,另一方面
所以,所以,综上有
.
例49.已知函数fx的定义域为[0,1],且满足下列条件:
①对于任意[0,1],总有,且;②若则有
(Ⅰ)求f0的值;(Ⅱ)求证:
fx≤4;
(Ⅲ)当时,试证明:
.
解析:
(Ⅰ)解:
令,由①对于任意[0,1],总有,∴
又由②得即
∴
(Ⅱ)解:
任取且设
则
因为,所以,即
∴.
∴当[0,1]时,.
(Ⅲ)证明:
先用数学归纳法证明:
(1)
当n=1时,,不等式成立;
(2)
假设当n=k时,
由
得
即当n=k+1时,不等式成立
由
(1)、
(2)可知,不等式对一切正整数都成立.
于是,当时,,
而[0,1],单调递增
∴
所以,
例50.已知:
求证:
解析:
构造对偶式:
令
则=
又
(
十一、积分放缩
利用定积分的保号性比大小
保号性是指,定义在上的可积函数,则.
例51.求证:
.
解析:
,∵
,
时,,,
∴,.
利用定积分估计和式的上下界
定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积,现在用它来估计小矩形的面积和.
例52.求证:
,.
解析:
考虑函数在区间
上的定积分.
如图,显然-①
对求和,
.
例53.已知.求证:
.
解析:
考虑函数在区间
上的定积分.
∵
-②
∴
.
例54.(XX年全国高考江苏卷)设,如图,已知直线及曲线:
,上的点的横坐标为().从上的点作直线平行于轴,交直线于点,再从点作直线平行于轴,交曲线于点.的横坐标构成数列.
(Ⅰ)试求与的关系,并求的通项公式;
(Ⅱ)当时,证明;
(Ⅲ)当时,证明.
解析:
(过程略).
证明(II):
由知,∵,∴.
∵当时,,
∴.
证明(Ⅲ):
由知.
∴恰表示阴影部分面积,
显然
④
∴
.
奇巧积累:
将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明,如:
①
;
②
;
③
;
④.
十二、部分放缩
例55.求证:
解析:
例56.设
求证:
解析:
又(只将其中一个变成,进行部分放缩),,
于是
例57.设数列满足,当时
证明对所有
有;
解析:
用数学归纳法:
当时显然成立,假设当时成立即,则当时
,成立。
利用上述部分放缩的结论来放缩通项,可得
注:
上述证明用到部分放缩,当然根据不等式的性质也可以整体放缩:
;证明就直接使用了部分放缩的结论
十三、三角不等式的放缩
例58.求证:
.
解析:
当时,
当时,构造单位圆,如图所示:
因为三角形AoB的面积小于扇形oAB的面积
所以可以得到
当时
所以当时有
当时,
,由可知:
所以综上有
十四、使用加强命题法证明不等式
同侧加强
对所证不等式的同一方向进行加强.如要证明,只要证明,其中通过寻找分析,归纳完成.
例59.求证:
对一切,都有.
解析:
从而
当然本题还可以使用其他方法,如:
所以.
异侧加强
双向加强
有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本来面目,从而顺利解决原不等式.其基本原理为:
欲证明,只要证明:
.
例60.已知数列满足:
求证:
解析:
,从而,所以有
,所以
又,所以,所以有
所以
所以综上有
引申:
已知数列满足:
求证:
.
解析:
由上可知,又,所以
从而
又当时,,所以综上有.
同题引申:
已知数列,,,.
记,.求证:
当时.
;
;
★.
解析:
猜想,下面用数学归纳法证明:
当时,,结论成立;
假设当时,,则时,
从而,所以
所以综上有,故
因为则,,…,
,相加后可以得到:
,所以
,所以
因为,从而,有,所以有
,从而
,所以
,所以
所以综上有.
例61.已知数列的首项,,.
证明:
对任意的,,;
证明:
.
解析:
依题,容易得到,要证,,,
即证
即证,设所以即证明
从而,即,这是显然成立的.
所以综上有对任意的,,
,原不等式成立.
由知,对任意的,有
.
取,
则.
原不等式成立.
十四、经典题目方法探究
探究1.已知函数.若在区间上的最小值为,
令.求证:
.
证明:
首先:
可以得到.先证明
所以
因为,相乘得:
,从而.
设A=,B=,因为A<B,所以A2<AB,
所以,从而.
下面介绍几种方法证明
因为,所以,所以有
,因为,所以
令,可以得到,所以有
设所以,
从而,从而
又,所以
运用数学归纳法证明:
当时,左边=,右边=显然不等式成立;
假设时,,则时,
,
所以要证明,只要证明,这是成立的.
这就是说当时,不等式也成立,所以,综上有
探究2.设函数.如果对任何,都有,求的取值范围.
解析:
因为,所以
设,则,
因为,所以
当时,
恒成立,即,所以当时,
恒成立.
当时,,因此当时,不符合题意.
当时,令,则故当时,.
因此在上单调增加.故当时,,
即.于是,当时,
所以综上有的取值范围是
变式:
若,其中
且,,求证:
.
证明:
容易得到
由上面那个题目知道
就可以知道
★同型衍变:
已知函数
.若对任意x∈恒有f>1,求a的取值范围.
解析:
函数f的定义域为∪,导数为.
当0<a≤2时,f在区间为增函数,故对于任意x∈恒有f>f=1,因而这时a满足要求.
当a>2时,f在区间为减函数,故在区间内任取一点,比如取
,就有x0∈且f<f=1,因而这时a不满足要求.
当a≤0时,对于任意x∈恒有
≥,这时a满足要求.
综上可知,所求a的取值范围为a≤2.
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