高考数学理一轮复习分层演练11集合及其运算含答案.docx
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高考数学理一轮复习分层演练11集合及其运算含答案
知识点
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集合
1.集合的含义与表示
(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系.
(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
2.集合间的基本关系
(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
(2)在具体情境中,了解全集与空集的含义.
3.集合的基本运算
(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.
(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.
简单不等式的解法
1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.
2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.
3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.
命题及其关系、充分条件与必要条件
1.理解命题的概念.
2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.
3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.
2.理解全称量词和存在量词的意义.
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
第1讲 集合及其运算
1.集合与元素
(1)集合元素的三个特征:
确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或∉表示.
(3)集合的表示法:
列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N+)
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
表示
关系
自然语言
符号
语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A,x∈B)
A⊆B(或B⊇A)
真子集
集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不在集合A中
A
B(或B
A)
集合相等
集合A,B中元素相同
A=B
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形语言
符号语言
A∪B={x|x∈A,或x∈B}
A∩B={x|x∈A,且x∈B}
∁UA={x|x∈U,且x∉A}
1.辨明三个易误点
(1)认清元素的属性.解决集合问题时,认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.
(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.
(3)防范空集.在解决有关A∩B=∅,A⊆B等集合问题时,往往忽略空集的情况,一定先考虑∅是否成立,以防漏解.
2.活用几组结论
(1)A∪B=A⇔B⊆A,A∩B=A⇔A⊆B.
(2)A∩A=A,A∩∅=∅.
(3)A∪A=A,A∪∅=A.
(4)A∩(∁UA)=∅,A∪(∁UA)=U,∁U(∁UA)=A.
(5)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)=∅.
(6)若集合A中含有n个元素,则它的子集个数为2n,真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.
1.
已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},则( )
A.A⊆B B.C⊆B
C.D⊆CD.A⊆D
[答案]B
2.
设集合A={x|2≤x<5},B={x∈Z|3x-7≥8-2x},则A∩B=( )
A.{x|3≤x<5}B.{x|2≤x≤3}
C.{3,4}D.{3,4,5}
C [解析]因为A={x|2≤x<5},
B={x∈Z|3x-7≥8-2x}={x∈Z|x≥3},
所以A∩B={3,4}.
3.已知集合A={(x,y)|x,y∈R,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y∈R,且y=x},则A∩B的元素个数为( )
A.0B.1
C.2D.3
C [解析]集合A表示的是圆心在原点的单位圆,集合B表示的是直线y=x,据此画出图象,可得图象有两个交点,即A∩B的元素个数为2.
4.
已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},则集合A∩∁UB=________.
[解析]由题意得∁UB={2,5,8},所以A∩∁UB={2,3,5,6}∩{2,5,8}={2,5}.
[答案]{2,5}
5.
已知集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2 [解析]由已知可得集合A={x|1 [答案]{x|x≤1或x>2} 集合的含义[学生用书P2] [典例引领] (1)已知集合A={0,1,2},则集合B={(x,y)|x≥y,x∈A,y∈A}中元素的个数是( ) A.1 B.3 C.6D.9 (2)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}= ,则b-a=( ) A.1B.-1 C.2D.-2 【解析】 (1)当x=0时,y=0;当x=1时,y=0或y=1;当x=2时,y=0,1,2. 故集合B={(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2)},即集合B中有6个元素. (2)因为{1,a+b,a}= ,a≠0,所以a+b=0,则 =-1,所以a=-1,b=1.所以b-a=2. 【答案】 (1)C (2)C [通关练习] 1.设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中的元素个数为( ) A.3B.4 C.5D.6 B [解析]因为a∈A,b∈B,所以x=a+b为1+4=5,1+5=2+4=6,2+5=3+4=7,3+5=8.共4个元素. 2.已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为________. [解析]因为3∈A,所以m+2=3或2m2+m=3. 当m+2=3,即m=1时,2m2+m=3, 此时集合A中有重复元素3, 所以m=1不符合题意,舍去; 当2m2+m=3时,解得m=- 或m=1(舍去), 此时当m=- 时,m+2= ≠3符合题意. 所以m=- . [答案]- 集合间的基本关系[学生用书P3] [典例引领] (1)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0 A.1 B.2 C.3D.4 (2)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围为________. 【解析】 (1)由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,所以A={1,2}. 由题意知B={1,2,3,4}, 所以满足条件的C可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}. (2)因为B⊆A, 所以①若B=∅,则2m-1 ②若B≠∅,则 解得2≤m≤3. 由①、②可得,符合题意的实数m的取值范围为m≤3. 【答案】 (1)D (2)(-∞,3] 1.在本例 (2)中,若A⊆B,如何求解? [解]若A⊆B,则 即 所以m的取值范围为∅. 2.若将本例 (2)中的集合A改为A={x|x<-2或x>5},如何求解? [解]因为B⊆A, 所以①当B=∅时,即2m-1 ②当B≠∅时, 或 解得 或 即m>4. 综上可知,实数m的取值范围为(-∞,2)∪(4,+∞). [通关练习] 1.设P={y|y=-x2+1,x∈R},Q={y|y=2x,x∈R},则( ) A.P⊆QB.Q⊆P C.∁RP⊆QD.Q⊆∁RP C [解析]因为P={y|y=-x2+1,x∈R}={y|y≤1},Q={y|y=2x,x∈R}={y|y>0},所以∁RP={y|y>1},所以∁RP⊆Q,选C. 2.已知集合A={x|x2-2x-3<0},B={x|-m [解析]当m≤0时,B=∅,显然B⊆A. 当m>0时,因为A={x|x2-2x-3<0}={x|-1 当B⊆A时,有 所以 所以0 综上所述m的范围为m≤1. [答案]m≤1 集合的基本运算(高频考点)[学生用书P3] 集合的基本运算是历年各地高考的热点,每年必考,常和不等式的解集、函数的定义域、值域相结合命题,主要以选择题的形式出现.试题多为低档题. 高考对集合运算的考查主要有以下三个命题角度: (1)求集合间的交或并运算; (2)求集合的交、并、补的混合运算; (3)已知集合的运算结果求参数的值(范围). [典例引领] (1)(2016·高考全国卷乙)设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=( ) A. B. C. D. (2)(2016·高考山东卷)设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5},则∁U(A∪B)=( ) A.{2,6}B.{3,6} C.{1,3,4,5}D.{1,2,4,6} (3)已知集合A、B均为U={1,3,5,7,9}的子集,且A∩B={3},(∁UB)∩A={9},则A=________. 【解析】 (1)由题意得,A={x|1<x<3},B= ,则A∩B= . (2)由题知A∪B={1,3,4,5},所以∁U(A∪B)={2,6}. (3)因为A∩B={3},所以3∈A, 又因为(∁UB)∩A={9},所以9∈A, 又U={1,3,5,7,9},假设1∈A,由A∩B={3}, 知1∉B,所以1∈∁UB,则与(∁UB)∩A={9}矛盾, 所以1∉A,同理5,7∉A,则A={3,9}. 【答案】 (1)D (2)A (3){3,9} 集合运算问题的常见类型及解题策略 (1)离散型数集或抽象集合间的运算,常借助Venn图求解; (2)连续型数集的运算,常借助数轴求解; (3)已知集合的运算结果求集合,常借助数轴或Venn图求解; (4)根据集合运算结果求参数,先把符号语言译成文字语言,然后适时应用数形结合求解. [题点通关] 角度一 求集合间的交或并运算 1.(2016·高考全国卷甲)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=( ) A.{1}B.{1,2} C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3} C [解析]由已知可得B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}={x|-1<x<2,x∈Z}={0,1},所以A∪B={0,1,2,3},故选C. 角度二 求集合的交、并、补的混合运算 2.(2017·海口市调研测试)设全集U=R,集合A={x|7-6x≤0},集合B={x|y=lg(x+2)},则(∁UA)∩B等于( ) A. B. C. D. A [解析]依题意得A= ,∁UA= ;B={x|x+2>0}={x|x>-2},因此(∁UA)∩B= ,选A. 3.(2017·宜春中学、新余一中联考) 已知全集为R,集合A={x|x2-5x-6<0},B={x|2x<1},则图中阴影部分表示的集合是( )
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