和差化积积化和差万能公式精编版.docx
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和差化积积化和差万能公式精编版
正、余弦和差化积公式
指高中数学三角函数部分的一组恒等式
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]【注意右式前的负号】
以上四组公式可以由积化和差公式推导得到
证明过程
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程
因为
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,
将以上两式的左右两边分别相加,得
sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ,
设α+β=θ,α-β=φ
那么
α=(θ+φ)/2,β=(θ-φ)/2
把α,β的值代入,即得
sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
编辑本段正切的和差化积
tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)(附证明)
cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)
tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)
tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)
证明:
左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ
=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)
=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边
∴等式成立
编辑本段注意事项
在应用和差化积时,必须是一次同名三角函数方可实行。
若是异名,必须用诱导公式化为同名;若是高次函数,必须用降幂公式降为一次
口诀
正加正,正在前,余加余,余并肩
正减正,余在前,余减余,负正弦
反之亦然
生动的口诀:
(和差化积)
帅+帅=帅哥
帅-帅=哥帅
咕+咕=咕咕
哥-哥=负嫂嫂
反之亦然
编辑本段记忆方法
和差化积公式的形式比较复杂,记忆中以下几个方面是难点,下面指出了各自的简单记忆方法。
结果乘以2
这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。
sin和cos的值域都是[-1,1],其积的值域也应该是[-1,1],而和差的值域却是[-2,2],因此乘以2是必须的。
也可以通过其证明来记忆,因为展开两角和差公式后,未抵消的两项相同而造成有系数2,如:
cos(α-β)-cos(α+β)
=[(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)]
=2sinαsinβ
故最后需要乘以2。
只有同名三角函数能和差化积
无论是正弦函数还是余弦函数,都只有同名三角函数的和差能够化为乘积。
这一点主要是根据证明记忆,因为如果不是同名三角函数,两角和差公式展开后乘积项的形式都不同,就不会出现相抵消和相同的项,也就无法化简下去了。
乘积项中的角要除以2
在和差化积公式的证明中,必须先把α和β表示成两角和差的形式,才能够展开。
熟知要使两个角的和、差分别等于α和β,这两个角应该是(α+β)/2和(α-β)/2,也就是乘积项中角的形式。
注意和差化积和积化和差的公式中都有一个“除以2”,但位置不同;而只有和差化积公式中有“乘以2”。
使用哪两种三角函数的积
这一点较好的记忆方法是拆分成两点,一是是否同名乘积,二是“半差角”(α-β)/2的三角函数名。
是否同名乘积,仍然要根据证明记忆。
注意两角和差公式中,余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积,正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。
所以,余弦的和差化作同名三角函数的乘积;正弦的和差化作异名三角函数的乘积。
(α-β)/2的三角函数名规律为:
和化为积时,以cos(α-β)/2的形式出现;反之,以sin(α-β)/2的形式出现。
由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。
如果要使和化为积,那么α和β调换位置对结果没有影响,也就是若把(α-β)/2替换为(β-α)/2,结果应当是一样的,从而(α-β)/2的形式是cos(α-β)/2;另一种情况可以类似说明。
余弦-余弦差公式中的顺序相反/负号
这是一个特殊情况,完全可以死记下来。
当然,也有其他方法可以帮助这种情况的判定,如(0,π]内余弦函数的单调性。
因为这个区间内余弦函数是单调减的,所以当α大于β时,cosα小于cosβ。
但是这时对应的(α+β)/2和(α-β)/2在(0,π)的范围内,其正弦的乘积应大于0,所以要么反过来把cosβ放到cosα前面,要么就在式子的最前面加上负号。
积化和差公式
sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2(注意:
此时差的余弦在和的余弦前面)
或写作:
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2(注意:
此时公式前有负号)
cosαcosβ=[cos(α-β)+cos(α+β)]/2
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2
编辑本段证明
积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。
即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明:
sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]
=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]
=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
其他的3个式子也是相同的证明方法。
(参见和差化积)
编辑本段作用
积化和差公式可以将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和乘以常数的形式,所以使用积化和差公式可以达到降次的效果。
在历史上,对数出现之前,积化和差公式被用来将乘除运算化为加减运算,运算需要利用三角函数表。
运算过程:
将两个数通过乘、除10的方幂化为0到1之间的数,通过查表求出对应的反三角函数值,即将原式化为10^k*sinαsinβ的形式,套用积化和差后再次查表求三角函数的值,并最后利用加减算出结果。
对数出现后,积化和差公式的这个作用由更加便捷的对数取代。
编辑本段记忆方法
积化和差公式的形式比较复杂,记忆中以下几个方面是难点,下面指出了各自的简单记忆方法。
结果除以2
这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。
sin和cos的值域都是[-1,1],其和差的值域应该是[-2,2],而积的值域确是[-1,1],因此除以2是必须的。
也可以通过其证明来记忆,因为展开两角和差公式后,未抵消的两项相同而造成有系数2,如:
cos(α-β)-cos(α+β)
=(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)
=2sinαsinβ
故最后需要除以2。
使用同名三角函数的和差
无论乘积项中的三角函数是否同名,化为和差形式时,都应是同名三角函数的和差。
这一点主要是根据证明记忆,因为如果不是同名三角函数,两角和差公式展开后乘积项的形式都不同,就不会出现相抵消和相同的项,也就无法化简下去了。
使用哪种三角函数的和差
仍然要根据证明记忆。
注意两角和差公式中,余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积,正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。
所以反过来,同名三角函数的乘积,化作余弦的和差;异名三角函数的乘积,化作正弦的和差。
是和还是差?
这是积化和差公式的使用中最容易出错的一项。
规律为:
“小角”β以cosβ的形式出现时,乘积化为和;反之,则乘积化为差。
由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。
如果β的形式是cosβ,那么若把β替换为-β,结果应当是一样的,也就是含α+β和α-β的两项调换位置对结果没有影响,从而结果的形式应当是和;另一种情况可以类似说明。
正弦-正弦积公式中的顺序相反/负号
这是一个特殊情况,完全可以死记下来。
当然,也有其他方法可以帮助这种情况的判定,如[0,π]内余弦函数的单调性。
因为这个区间内余弦函数是单调减的,所以cos(α+β)不大于cos(α-β)。
但是这时对应的α和β在[0,π]的范围内,其正弦的乘积应大于等于0,所以要么反过来把cos(α-β)放到cos(α+β)前面,要么就在式子的最前面加上负号。
万能公式
【词语】:
万能公式
【释义】:
应用公式sinα=[2tan(α/2)]/{1+[tan(α/2)]^2}
cosα=[1-tan(α/2)^2]/{1+[tan(α/2)]^2}
tanα=[2tan(α/2)]/{1-[tan(α/2)]^2}
将sinα、cosα、tanα代换成tan(α/2)的式子,这种代换称为万能置换。
【推导】:
(字符版)
sinα=2sin(α/2)cos(α/2)=[2sin(α/2)cos(α/2)]/[sin(α/2)^2+cos(α/2)^2]=[2tan(α/2)]/[1+(tanα/2)^2]
cosα=[cos(α/2)^2-sin(α/2)^2]=[cos(α/2)^2-sin(α/2)^2]/[sin(a/2)^2+cos(a/2)^2]=[1-tan(α/2)^2]/[1+(tanα/2)^2]
tanα=tan[2*(α/2)]=2tan(α/2)/[1-tan(α/2)^2]=[2tan(α/2)]/[1-(tanα/2)^2]
“华樽杯”第十届中国酒业品牌价值200强
暨全球首届酒类产品品牌价值200强
测评工作品牌状况统计表
请提供:
1.公司简介,不超过2000字;
2.能够表明在行业中地位的有关行业数据资料;
3.企业品牌管理结构(模式)图表;
4.2017年度内开展的酒业教育推广工作情况;
5.表2、表3是重点。
请于一周之内完成主要数据的填报,以保证年度研究顺利进行。
表1企业基本情况及联系信息
公司名称
成立时间
主管领导
部门
职务
电话
联系人
职务
电话
手机
企业品牌管理负责人
部门
电话
公司网址
传真
通信地址
邮编
表2中国酒类企业品牌价值200强主要经济指标统计汇总表
单位:
(人民币/万元)下同
年度
项目
2014年
2015年
2016年
﹡2017年
2018年
预计
﹡销售收入(不含税)
其中:
海外及出口
﹡营业利润
利润总额
﹡税后净利润
企业总资产
集团所辖企业数
研发投入
拳头产品的主要优势(需邮寄一箱产品到组委会用于测评)
表3全球酒类产品品牌价值200强主要经济指标统计汇总表
(仅填报企业单品及本单品系列产品的数据)
单位:
(人民币/万元)
年度
项目
2014年
2015年
2016年
﹡2017年
2018年
预计
﹡销售收入(不含税)
其中:
海外及出口
﹡营业利润
利润总额
﹡税后净利润
研发投入
本单品的主要优势(需邮寄一箱产品到组委会用于测评)
表4品牌传播(广告)状况统计表
品牌传播
年度
2016
2017
2018(预计)
近3年品牌传播费用
传播渠道及其预算分配
年度
2016
2017
2018(预计)
名称
投放费用
名称
投放费用
名称
投放费用
展会
1、
2、
3、
1、
2、
3、
1、
2、
3、
电视
1、
2、
3、
1、
2、
3、
1、
2、
3、
互联网
1、
2、
3、
1、
2、
3、
1、
2、
3、
户外
1、
2、
3、
1、
2、
3、
1、
2、
3、
平面媒体
1、
2、
3、
1、
2、
3、
1、
2、
3、
其他
表52018年度全球十大烈性酒品牌申报表
品牌名称
所属企业
2016年销售额
2017年销售额
2018年预计销售额
2016年利润
2017年利润
2018年预计利润
产品特色介绍:
特色支撑体系介绍:
(生产工艺、酿造过程及生态、生产环境等)
近2年本产品根据地市场情况:
本表所填数据仅仅包括烈性酒产品所实现的收入和利润,不包括其他系列
没有可不填,数据越全面,评议结果越客观、全面。
申请本奖项者需寄送1箱最具代表性产品,用于测评。
表62018年度全球十大爆款新品名酒品牌申报表
品牌名称
所属企业
2016年
销售额
2017年销售额
2018年预计销售额
2016年利润
2017年利润
2018年预计利润
爆款新品特色介绍:
爆款新品打造体系介绍:
爆款新品销售及市场情况:
本表所填数据仅仅包括爆款酒产品所实现的收入和利润,不包括其他系列
没有可不填,数据越全面,评议结果越客观、全面。
申请本奖项者需寄送1箱最具代表性产品,用于测评。
表72018年度全球十大啤酒品牌申报表
品牌名称
所属企业
2016年销售额
2017年销售额
2018年预计销售额
2016年利润
2017年利润
2018年预计利润
产品特色介绍:
特色支撑体系介绍:
(生产工艺、酿造过程及生态、生产环境等)
近2年本产品根据地市场情况:
本表所填数据仅仅包括啤酒产品所实现的收入和利润,不包括其他系列
没有可不填,数据越全面,评议结果越客观、全面。
申请本奖项者需寄送1箱最具代表性产品,用于测评。
表82018年度全球十大保健酒品牌申报表
品牌名称
所属企业
2016年销售额
2017年销售额
2018年预计销售额
2016年利润
2017年利润
20187年预计利润
产品特色介绍:
特色支撑体系介绍:
(生产工艺、酿造过程及生态、生产环境等)
近2年本产品根据地市场情况:
本表所填数据仅仅包括保健酒产品所实现的收入和利润,不包括其他系列
没有可不填,数据越全面,评议结果越客观、全面。
申请本奖项者需寄送1箱最具代表性产品,用于测评。
表92018年度全球十大葡萄酒品牌申报表
品牌名称
所属企业
2016年销售额
2017年销售额
2018年预计销售额
2016年利润
2017年利润
2018年预计利润
产品特色介绍:
特色支撑体系介绍:
(生产工艺、酿造过程及生态、生产环境等)
近2年本产品根据地市场情况:
本表所填数据仅仅包括葡萄酒产品所实现的收入和利润,不包括其他系列
没有可不填,数据越全面,评议结果越客观、全面。
申请本奖项者需寄送1箱最具代表性产品,用于测评。
表102018年度全球十大品牌经销商申报表
品牌名称
所属企业
2016年销售额
2017年销售额
2018年预计销售额
2016年利润
2017年利润
2018年预计利润
产品特色介绍:
近2年本产品根据地市场情况:
没有可不填,数据越全面,评议结果越客观、全面。
表112018年全球酒业十大年度人物申报表
企业名称
主要品牌
姓名
从业年限
个人情况介绍:
年度重要举措:
注:
没有可不填,数据越全面,评议结果越客观、全面。
入围条件:
1、酒企实际领导人;2、在2017-2018年度,对酒类行业发展有重大影响和促进性事件,其经营决策在该事件中发挥重要作用;3、由于其良好的经营管理,从而使企业产值和利润获得跨越式的大幅增长。
- 配套讲稿:
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