九年级数学下第六章图形的相似单元测试题苏科版有答案.docx
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九年级数学下第六章图形的相似单元测试题苏科版有答案
九年级数学下第六章图形的相似单元测试题(苏科版有答案)
第六章图形的相似一、选择题:
(本题共10小题,每小题3分,共30分)1.若=,则的值为( )A.1B.C.D.2.已知线段a、b、c,其中c是a、b的比例中项,若a=9cm,b=4cm,则线段c长( )A.18cmB.5cmC.6cmD.±6cm3.已知点P是线段AB的黄金分割点(AP>PB),AB=4,那么AP的长是( )A.B.C.D.4.如图,点P在△ABC的边AC上,要判断△ABP∽△ACB,添加一个条件,不正确的是( )A.∠ABP=∠CB.∠APB=∠ABCC.=D.=5.如果两个相似三角形的面积比是1:
4,那么它们的周长比是( )A.1:
16B.1:
4C.1:
6D.1:
26.如图,在平行四边形ABCD中,EF∥AB交AD于E,交BD于F,DE:
EA=3:
4,EF=3,则CD的长为( )A.4B.7C.3D.127.如图,△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为1:
2,∠OCD=90°,CO=CD.若B(1,0),则点C的坐标为( )A.(1,2)B.(1,1)C.(,)D.(2,1)8.如图,已知△ABC和△ADE均为等边三角形,D在BC上,DE与AC相交于点F,AB=9,BD=3,则CF等于( )A.1B.2C.3D.49.如图,王华晚上由路灯A下的B处走到C处时,测得影子CD的长为1米,继续往前走3米到达E处时,测得影子EF的长为2米,已知王华的身高是1.5米,那么路灯A的高度AB等于( )A.4.5米B.6米C.7.2米D.8米10.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,D为BC的中点,若动点E以1cm/s的速度从A点出发,沿着A→B→A的方向运动,设E点的运动时间为t秒(0≤t<6),连接DE,当△BDE是直角三角形时,t的值为( )A.2B.2.5或3.5C.3.5或4.5D.2或3.5或4.5 二、填空题:
(本题共8小题,每小题3分,共24分)11.如果在比例尺为1:
1000000的地图上,A、B两地的图上距离是3.4厘米,那么A、B两地的实际距离是 千米.12.如图,已知:
l1∥l2∥l3,AB=6,DE=5,EF=7.5,则AC= .13.如图,△ABC与△A′B′C′是位似图形,且顶点都在格点上,则位似中心的坐标是 .14.如图,点G是△ABC的重心,GH⊥BC,垂足为点H,若GH=3,则点A到BC的距离为 .15.如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE=40cm,EF=20cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5m,CD=8m,则树高AB= m.16.如图,已知△ABC中,D为边AC上一点,P为边AB上一点,AB=12,AC=8,AD=6,当AP的长度为 时,△ADP和△ABC相似.17.如图,双曲线y=经过Rt△BOC斜边上的点A,且满足=,与BC交于点D,S△BOD=21,求k= .18.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=10,点E在CD上,将△BCE沿BE折叠,点C恰落在边AD上的点F处;点G在AF上,将△ABG沿BG折叠,点A恰落在线段BF上的点H处,有下列结论:
①∠EBG=45°;②△DEF∽△ABG;③S△ABG=S△FGH;④AG+DF=FG.其中正确的是 .(把所有正确结论的序号都选上) 三、解答题:
(本大题共10大题,共76分)19.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,M是BC的中点,DE⊥AM于点E.
(1)求证:
△ADE∽△MAB;
(2)求DE的长.20.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,若S△ADE=4cm2,S△EFC=9cm2,求S△ABC.21.如图,△ABC中,CD是边AB上的高,且=.
(1)求证:
△ACD∽△CBD;
(2)求∠ACB的大小.22.已知:
如图△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,�3)、B(3,�2)、C(2,�4),正方形网格中,每个小正方形的边长是1个单位长度.
(1)画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1;
(2)以点C为位似中心,在网格中画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且△A2B2C2与△ABC的位似比为2:
1,并直接写出点A2的坐标.23.如图,一位同学想利用树影测量树高(AB),他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为0.9m,但当他马上测量树影时,因树靠近一幢建筑物,影子不全落在地面上,有一部分影子在墙上(CD),他先测得留在墙上的影高(CD)为1.2m,又测得地面部分的影长(BC)为2.7m,他测得的树高应为多少米?
24.如图,把△ABC沿边BA平移到△DEF的位置,它们重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC面积的,若AB=2,求△ABC移动的距离BE的长.25.如图,点A(1,4)、B(2,a)在函数y=(x>0)的图象上,直线AB与x轴相交于点C,AD⊥x轴于点D.
(1)m= ;
(2)求点C的坐标;(3)在x轴上是否存在点E,使以A、B、E为顶点的三角形与△ACD相似?
若存在,求出点E的坐标;若不存在,说明理由.26.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O.M为AD中点,连接CM交BD于点N,且ON=1.
(1)求BD的长;
(2)若△DCN的面积为2,求四边形ABNM的面积.27.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点D为边CB上的一个动点(点D不与点B重合),过D作DO⊥AB,垂足为O,点B′在边AB上,且与点B关于直线DO对称,连接DB′,AD.
(1)求证:
△DOB∽△ACB;
(2)若AD平分∠CAB,求线段BD的长;(3)当△AB′D为等腰三角形时,求线段BD的长.28.已知:
如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,对角线AC,BD交于点0.点P从点A出发,沿方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,点Q从点D出发,沿DC方向匀速运动,速度为1cm/s;当一个点停止运动时,另一个点也停止运动.连接PO并延长,交BC于点E,过点Q作QF∥AC,交BD于点F.设运动时间为t(s)(0<t<6),解答下列问题:
(1)当t为何值时,△AOP是等腰三角形?
(2)设五边形OECQF的面积为S(cm2),试确定S与t的函数关系式;(3)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使S五边形S五边形OECQF:
S△ACD=9:
16?
若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;(4)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使OD平分∠COP?
若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由. 《第6章图形的相似》
参考答案与试题解析 一、选择题:
(本题共10小题,每小题3分,共30分)1.若=,则的值为( )A.1B.C.D.【考点】比例的性质.【专题】计算题.【分析】根据合分比性质求解.【解答】解:
∵=,∴==.故选D.【点评】考查了比例性质:
常见比例的性质有内项之积等于外项之积;合比性质;分比性质;合分比性质;等比性质. 2.已知线段a、b、c,其中c是a、b的比例中项,若a=9cm,b=4cm,则线段c长( )A.18cmB.5cmC.6cmD.±6cm【考点】比例线段.【分析】由c是a、b的比例中项,根据比例中项的定义,列出比例式即可得出线段c的长,注意线段不能为负.【解答】解:
根据比例中项的概念结合比例的基本性质,得:
比例中项的平方等于两条线段的乘积.所以c2=4×9,解得c=±6(线段是正数,负值舍去),故选C.【点评】此题考查了比例线段;理解比例中项的概念,这里注意线段不能是负数. 3.已知点P是线段AB的黄金分割点(AP>PB),AB=4,那么AP的长是( )A.B.C.D.【考点】黄金分割.【分析】根据黄金分割点的定义,知AP是较长线段;则AP=AB,代入数据即可得出AP的长.【解答】解:
由于P为线段AB=4的黄金分割点,且AP是较长线段;则AP=4×=2�2.故选A.【点评】本题考查了黄金分割的概念:
把一条线段分成两部分,使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,他们的比值()叫做黄金比.熟记黄金分割的公式:
较短的线段=原线段的,较长的线段=原线段的是解题的关键. 4.如图,点P在△ABC的边AC上,要判断△ABP∽△ACB,添加一个条件,不正确的是( )A.∠ABP=∠CB.∠APB=∠ABCC.=D.=【考点】相似三角形的判定.【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可.【解答】解:
A、当∠ABP=∠C时,又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此选项错误;B、当∠APB=∠ABC时,又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此选项错误;C、当=时,又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此选项错误;D、无法得到△ABP∽△ACB,故此选项正确.故选:
D.【点评】此题主要考查了相似三角形的判定,正确把握判定方法是解题关键. 5.如果两个相似三角形的面积比是1:
4,那么它们的周长比是( )A.1:
16B.1:
4C.1:
6D.1:
2【考点】相似三角形的性质.【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比,相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可.【解答】解:
∵两个相似三角形的面积比是1:
4,∴两个相似三角形的相似比是1:
2,∴两个相似三角形的周长比是1:
2,故选:
D.【点评】本题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形周长的比等于相似比,相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键. 6.如图,在平行四边形ABCD中,EF∥AB交AD于E,交BD于F,DE:
EA=3:
4,EF=3,则CD的长为( )A.4B.7C.3D.12【考点】相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质.【分析】由EF∥AB,根据平行线分线段成比例定理,即可求得,则可求得AB的长,又由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形对边相等,即可求得CD的长.【解答】解:
∵DE:
EA=3:
4,∴DE:
DA=3:
7∵EF∥AB,∴,∵EF=3,∴,解得:
AB=7,∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB=7.故选B.【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理与平行四边形的性质.此题难度不大,解题的关键是注意数形结合思想的应用. 7.如图,△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为1:
2,∠OCD=90°,CO=CD.若B(1,0),则点C的坐标为( )A.(1,2)B.(1,1)C.(,)D.(2,1)【考点】位似变换;坐标与图形性质.【分析】首先利用等腰直角三角形的性质得出A点坐标,再利用位似是特殊的相似,若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心,相似比是k,△ABC上一点的坐标是(x,y),则在△A′B′C′中,它的对应点的坐标是(kx,ky)或(�kx,ky),进而求出即可.【解答】解:
∵∠OAB=∠OCD=90°,AO=AB,CO=CD,等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形,点B的坐标为(1,0),∴BO=1,则AO=AB=,∴A(,),∵等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形,O为位似中心,相似比为1:
2,∴点C的坐标为:
(1,1).故选:
B.【点评】此题主要考查了位似变换的性质,正确理解位似与相似的关系,记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键. 8.如图,已知△ABC和△ADE均为等边三角形,D在BC上,DE与AC相交于点F,AB=9,BD=3,则CF等于( )A.1B.2C.3D.4【考点】相似三角形的判定与性质;等边三角形的性质.【专题】几何图形问题.【分析】利用两对相似三角形,线段成比例:
AB:
BD=AE:
EF,CD:
CF=AE:
EF,可得CF=2.【解答】解:
如图,∵△ABC和△ADE均为等边三角形,∴∠B=∠BAC=60°,∠E=∠EAD=60°,∴∠B=∠E,∠BAD=∠EAF,∴△ABD∽△AEF,∴AB:
BD=AE:
EF.同理:
△CDF∽△EAF,∴CD:
CF=AE:
EF,∴AB:
BD=CD:
CF,即9:
3=(9�3):
CF,∴CF=2.故选:
B.【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质.此题利用了“两角法”证得两个三角形相似. 9.如图,王华晚上由路灯A下的B处走到C处时,测得影子CD的长为1米,继续往前走3米到达E处时,测得影子EF的长为2米,已知王华的身高是1.5米,那么路灯A的高度AB等于( )A.4.5米B.6米C.7.2米D.8米【考点】相似三角形的应用.【专题】压轴题;转化思想.【分析】由于人和地面是垂直的,即和路灯到地面的垂线平行,构成两组相似.根据对应边成比例,列方程解答即可.【解答】解:
如图,GC⊥BC,AB⊥BC,∴GC∥AB,∴△GCD∽△ABD(两个角对应相等的两个三角形相似),∴,设BC=x,则,同理,得,∴,∴x=3,∴,∴AB=6.故选:
B.【点评】本题考查相似三角形性质的应用.在解答相似三角形的有关问题时,遇到有公共边的两对相似三角形,往往会用到中介比,它是解题的桥梁,如该题中的“”. 10.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,D为BC的中点,若动点E以1cm/s的速度从A点出发,沿着A→B→A的方向运动,设E点的运动时间为t秒(0≤t<6),连接DE,当△BDE是直角三角形时,t的值为( )A.2B.2.5或3.5C.3.5或4.5D.2或3.5或4.5【考点】相似三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形.【专题】压轴题;动点型.【分析】由Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,可求得AB的长,由D为BC的中点,可求得BD的长,然后分别从若∠DEB=90°与若∠EDB=90°时,去分析求解即可求得答案.【解答】解:
∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,∴AB=2BC=4(cm),∵BC=2cm,D为BC的中点,动点E以1cm/s的速度从A点出发,∴BD=BC=1(cm),BE=AB�AE=4�t(cm),若∠BED=90°,当A→B时,∵∠ABC=60°,∴∠BDE=30°,∴BE=BD=(cm),∴t=3.5,当B→A时,t=4+0.5=4.5.若∠BDE=90°时,当A→B时,∵∠ABC=60°,∴∠BED=30°,∴BE=2BD=2(cm),∴t=4�2=2,当B→A时,t=4+2=6(舍去).综上可得:
t的值为2或3.5或4.5.故选D.【点评】此题考查了含30°角的直角三角形的性质.此题属于动点问题,难度适中,注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用. 二、填空题:
(本题共8小题,每小题3分,共24分)11.如果在比例尺为1:
1000000的地图上,A、B两地的图上距离是3.4厘米,那么A、B两地的实际距离是 34 千米.【考点】比例线段.【专题】计算题.【分析】实际距离=图上距离:
比例尺,根据题意代入数据可直接得出实际距离.【解答】解:
根据题意,3.4÷=3400000厘米=34千米.即实际距离是34千米.故答案为:
34.【点评】本题考查了比例线段的知识,注意掌握比例线段的定义及比例尺,并能够灵活运用,同时要注意单位的转换. 12.如图,已知:
l1∥l2∥l3,AB=6,DE=5,EF=7.5,则AC= 15 .【考点】平行线分线段成比例.【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式,代入求出BC的值,即可得出答案.【解答】解:
∵:
l1∥l2∥l3,∴=,∵AB=6,DE=5,EF=7.5,∴BC=9,∴AC=AB+BC=15,故答案为:
15.【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用,能根据定理得出正确饿比例式是解此题的关键. 13.如图,△ABC与△A′B′C′是位似图形,且顶点都在格点上,则位似中心的坐标是 (9,0) .【考点】位似变换.【专题】网格型.【分析】位似图形的主要特征是:
每对位似对应点与位似中心共线.【解答】解:
直线AA′与直线BB′的交点坐标为(9,0),所以位似中心的坐标为(9,0).【点评】本题考查位似中心的找法,各对应点所在直线的交点即为位似中心. 14.如图,点G是△ABC的重心,GH⊥BC,垂足为点H,若GH=3,则点A到BC的距离为 9 .【考点】平行线分线段成比例;三角形的重心.【专题】数形结合.【分析】根据题意作图,利用重心的性质AD:
GD=3:
1,同时还可以求出△ADE∽△GDH,从而得出AD:
GD=AE:
GH=3:
1,根据GH=3即可得出答案.【解答】解:
设BC的中线是AD,BC的高是AE,由重心性质可知:
AD:
GD=3:
1,∵GH⊥BC,∴△ADE∽△GDH,∴AD:
GD=AE:
GH=3:
1,∴AE=3GH=3×3=9,故答案为9.【点评】本题主要考查了作辅助线,重心的特点,全等三角形的性质,难度适中. 15.如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE=40cm,EF=20cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5m,CD=8m,则树高AB= 5.5 m.【考点】相似三角形的应用.【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB.【解答】解:
∵∠DEF=∠BCD=90°∠D=∠D∴△DEF∽△DCB∴=∵DE=40cm=0.4m,EF=20cm=0.2m,AC=1.5m,CD=8m,∴=∴BC=4米,∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米,故答案为:
5.5.【点评】本题考查了相似三角形的应用,解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型. 16.如图,已知△ABC中,D为边AC上一点,P为边AB上一点,AB=12,AC=8,AD=6,当AP的长度为 4或9 时,△ADP和△ABC相似.【考点】相似三角形的判定.【分析】分别根据当△ADP∽△ACB时,当△ADP∽△ABC时,求出AP的长即可.【解答】解:
当△ADP∽△ACB时,∴=,∴=,解得:
AP=9,当△ADP∽△ABC时,∴=,∴=,解得:
AP=4,∴当AP的长度为4或9时,△ADP和△ABC相似.故答案为:
4或9.【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质,利用倒推法以及分类讨论得出是解题关键. 17.如图,双曲线y=经过Rt△BOC斜边上的点A,且满足=,与BC交于点D,S△BOD=21,求k= 8 .【考点】反比例函数系数k的几何意义;相似三角形的判定与性质.【分析】过A作AE⊥x轴于点E,根据反比例函数的比例系数k的几何意义可得S四边形AECB=S△BOD,根据△OAE∽△OBC,相似三角形面积的比等于相似比的平方,据此即可求得△OAE的面积,从而求得k的值.【解答】解:
过A作AE⊥x轴于点E.∵S△OAE=S△OCD,∴S四边形AECB=S△BOD=21,∵AE∥BC,∴△OAE∽△OBC,∴==()2=,∴S△OAE=4,则k=8.故答案是:
8.【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义,过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线,与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|.本知识点是中考的重要考点,同学们应高度关注. 18.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=10,点E在CD上,将△BCE沿BE折叠,点C恰落在边AD上的点F处;点G在AF上,将△ABG沿BG折叠,点A恰落在线段BF上的点H处,有下列结论:
①∠EBG=45°;②△DEF∽△ABG;③S△ABG=S△FGH;④AG+DF=FG.其中正确的是 ①③④ .(把所有正确结论的序号都选上)【考点】相似形综合题.【专题】综合题.【分析】由折叠性质得∠1=∠2,CE=FE,BF=BC=10,则在Rt△ABF中利用勾股定理可计算出AF=8,所以DF=AD�AF=2,设EF=x,则CE=x,DE=CD�CE=6�x,在Rt△DEF中利用勾股定理得(6�x)2+22=x2,解得x=,即ED=;再利用折叠性质得∠3=∠4,BH=BA=6,AG=HG,易得∠2+∠3=45°,于是可对①进行判断;设AG=y,则GH=y,GF=8�y,在Rt△HGF中利用勾股定理得到y2+42=(8�y)2,解得y=3,则AG=GH=3,GF=5,由于∠A=∠D和≠,可判断△ABG与△DEF不相似,则可对②进行判断;根据三角形面积公式可对③进行判断;利用AG=3,GF=5,DF=2可对④进行判断.【解答】解:
∵△BCE沿BE折叠,点C恰落在边AD上的点F处,∴∠1=∠2,CE=FE,BF=BC=10,在Rt△ABF中,∵AB=6,BF=10,∴AF==8,∴DF=AD�AF=10�8=2,设EF=x,则CE=x,DE=CD�CE=6�x,在Rt△DEF中,∵DE2+DF2=EF2,∴(6�x)2+22=x2,解得x=,∴ED=,∵△ABG沿BG折叠,点A恰落在线段BF上的点H处,∴∠3=∠4,BH=BA=6,AG=HG,∴∠2+∠3=∠ABC=45°,所以①正确;HF=BF�BH=10�6=4,设AG=y,则GH=y,GF=8�y,在Rt△HGF中,∵GH2+HF2=GF2,∴y2+42=(8�y)2,解得y=3,∴AG=GH=3,GF=5,∵∠A=∠D,==,=,∴≠,∴△ABG与△DEF不相似,所以②错误;∵S△ABG=•6•3=9,S△FGH=•GH•HF=×3×4=6,∴S△ABG=S△FGH,所以③正确;∵AG+DF=3+2=5,而GF=5,∴AG+DF=GF,所以④正确.故答案为①③④.【点评】本题考查了相似形综合题:
熟练掌握折叠和矩形的性质、相似三角形的判定方法;会运用勾股定理计算线段的长. 三、解答题:
(本大题共10大题,共76分)19.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,M是BC的中点,DE⊥AM于点E.
(1)求证:
△ADE∽△MAB;
(2)求DE的长.【考点】相似三角形的判定与性质;矩形的性质.【分析】
(1)先根据矩形的性质,得到AD∥BC,则∠DAE=∠AMB,又由∠DEA=∠B,根据有两角对应相等的两三角形相似,即可证明出△DAE∽△AMB;
(2)由△DAE∽△AMB,根据相似三角形的对应边成比例,即可求出DE的长.【解答】
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠DAE=∠AMB,又∵∠DEA=∠B=90°,∴△DAE∽△AMB;
(2)由
(1)知△DAE∽△AMB,∴DE:
AD=AB:
AM,∵M是边BC的中点,BC=6,∴BM=3,又∵AB=4,∠B=90°,∴AM=5,∴DE:
6=4:
5,∴DE=.【点评】此题主要考查了相似三角形的
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