高中数学第1章算法初步14算法案例教学案苏教版必修3.docx
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高中数学第1章算法初步14算法案例教学案苏教版必修3
2019-2020年高中数学第1章算法初步1.4算法案例教学案苏教版必修3
1.符号Int(x)和Mod(a,b)的含义是什么?
2.“孙子问题”相当于怎样的数学问题?
1.欧几里得辗转相除法是解决什么问题的数学方法,它的一般步骤是什么?
1.“孙子问题”相当于求关于x,y,z的不定方程组
的正整数解.
2.欧几里得辗转相除法
(1)含义:
求两个正数a,b(a>b)的最大公约数的方法,称为欧几里得辗转相除法.
(2)步骤:
计算出a÷b的余数r,若r=0,则b即为a,b的最大公约数;若r≠0,则把前面的除数b作为新的被除数,把余数r作为新的除数,继续运算,直到余数为0,此时的除数即为a,b的最大公约数.
3.两个常用函数
(1)Mod(a,b)表示a除以b所得的余数.
(2)Int(x)表示不超过x的最大整数.
[点睛]
辗转相除法的理论根据是:
由a=nb+r⇒r=a-nb,得a,b与b,r有相同的公约数.
1.Int(5)=________;
Int
=________;
Int(-3.14)=________.
答案:
5 0 -4
2.用辗转相除法求32和14的最大公约数时,需要做________次除法运算.
答案:
3
3.用符号表示m被7除后余2为________.
答案:
Mod(m,7)=2
孙子剩余定理的应用
[典例] 有3个连续的正整数,其中最小的能被15整除,中间的能被17整除,最大的能被19整除,画出求满足要求的一组三个连续正整数的流程图,并写出伪代码.
[解] 设这三个数分别为m,m+1,m+2,则m满足的条件是Mod(m,15)=0且Mod(m+1,17)=0且Mod(m+2,19)=0.
流程图:
伪代码:
m←2
WhileMod(m,15)≠0 orMod(m+1,17)≠0 or
Mod(m+2,19)≠0
m←m+1
EndWhile
Printm,m+1,m+2
解决此类问题的方法就是从m=2开始,对每一个正整数逐一检验,当m满足所有已知条件时,结束循环,输出m.
[活学活用]
下面一段伪代码的功能是________.
m←2
WhileMod(m,2)≠1 or
Mod(m,3)≠2 or
Mod(m,5)≠3
m←m+1
EndWhile
Printm
解析:
由代码含义可知,m满足的条件是除以2余1,除以3余2,除以5余3,又m逐个增大,故输出的m是满足条件的最小正整数.
欧几里得辗转相除法的应用
答案:
求关于x,y,z的不定方程组
的最小正整数解
[典例] 用辗转相除法求396和270的最大公约数,并设计算法,画出流程图,写出伪代码.
[解] 396=270+126,270=2×126+18,126=18×7,
因此396和270的最大公约数为18.
算法如下:
S1 a←396
S2 b←270
S3 如果Mod(a,b)≠0,那么转S4,否则转S7
S4 r←Mod(a,b)
S5 a←b b←r
S6 转S3
S7 输出b
伪代码:
流程图:
(1)求三个正整数a,b,c的最大公约数的步骤是:
①先求其中两个数的最大公约数,如求a,b的最大公约数,用m表示;②再求m与第三个数c的最大公约数,用n表示;③n就是三个数a,b,c的最大公约数.
(2)整数a和b的最小公倍数为
,即(a,b的最大公约数)×(a,b的最小公倍数)=a·b.
[活学活用]
求396和270的最小公倍数.
利用二分法求方程的近似解
解:
根据最大公约数和最小公倍数的关系可知这两个数的最小公倍数为396×270÷18=5940.
[典例] 在平面直角坐标系中作出函数y=2x和y=4-x的图象,根据图象判断方程2x=4-x的解的范围,再用二分法求这个方程的近似解(误差不超过0.001),写出这个算法的伪代码,并画出流程图.
[解] 在同一坐标系内作出函数y=2x和y=4-x图象如图:
由图象可知方程2x=4-x有一根在[1,2]内.
伪代码为:
流程图如下:
(1)利用二分法求方程的近似解时,要根据二分法的步骤写出算法的每一步,再利用循环结构写出近似解即可.
(2)要注意
正好是方程根的处理.
[活学活用]
在平面直角坐标系内作出y=x2和y=2x的图象,并判断方程x2=2x在(-1,0)内有无实根.若有,求出这个实根的近似值(误差不超过0.01).写出这个算法的伪代码.
解:
作出y=x2和y=2x的图象如图.由图可知方程x2=2x在(-1,0)内有且只有一个实根x0.
设f(x)=x2-2x,∵f(-1)>0,f(0)<0,∴以上结论正确.
求这个实根误差不超过0.01的近似值的伪代码如下:
[层级一 学业水平达标]
1.Int
=________;Int(-11.2)=________.
答案:
7 -12
2.用辗转相除法求85和51的最大公约数时,需要做除法的次数为________.
答案:
3
3.84和32的最小公倍数是________.
解析:
先求84和32的最大公约数.
84=32×2+20,
32=20+12,
20=12+8,
12=8+4,
8=4×2.
故84和32的最大公约数是4.
所以84和32的最小公倍数为84×32÷4=672.
答案:
672
4.下列伪代码运行的一个结果是________.
m←2
WhileMod(m,4)≠2or
Mod(m,5)≠3or
Mod(m,7)≠3
m←m+1
EndWhile
Printm
解析:
此伪代码的功能是求
的最小正整数,
∴m=38.
答案:
38
5.已知如图所示的流程图(其中的m,n为正整数):
(1)这个算法的功能是什么?
(2)当m=286,n=91时,运行的结果是什么?
解:
(1)这个算法的功能是用辗转相除法求两个正整数的最大公约数.
(2)∵286=91×3+13,91=13×7,
∴286与91的最大公约数是13.故运行结果为13.
[层级二 应试能力达标]
1.下列格式中正确的是________.
①Mod(2,3)=3; ②Mod(3,2)=2;
③Mod(2,3)=1;④Mod(3,2)=1.
答案:
④
2.用二分法求方程的近似解,精确度为e,则循环结构的终止条件是______.(填序号)
①|x1-x2|>e; ②x1-x2=e;
③x1<e<x2;④|x1-x2|<e.
答案:
④
3.324,243,270的最大公约数为______.
解析:
324=243×1+81,243=81×3+0,
故324和243的最大公约数为81.
又270=81×3+27,81=27×3+0,
∴324,243,270的最大公约数为27.
答案:
27
4.下列程序输出的n的值是__________.
答案:
3
5.m是一个正整数,对两个正整数a,b,如果a-b是m的倍数,则称a,b对模m同余,用符号a≡b(Modm)表示,则下列各式中:
①12≡7(Mod5);②21≡10(Mod3);③34≡20(Mod2);④47≡7(Mod40).
正确的有__________.(填序号)
解析:
逐一验证,由题意,①12-7=5是5的倍数;②21-10=11不是3的倍数;③34-20=14是2的倍数;④47-7=40是40的倍数.故①③④正确.
答案:
①③④
6.下列伪代码的运行结果是________.
解析:
此伪代码的功能是求两个正整数的最大公约数.a,b的值依次是:
(120,252)→(120,132)→(120,12)→(108,12)→(96,12)→(84,12)→(72,12)→(60,12)→(48,12)→(36,12)→(24,12)→(12,12),∴输出12.
答案:
12
7.试写出求三个正整数a,b,c的最大公约数的算法语句.
解:
先写出的伪代码是求正整数a,b的最大公约数,设最大公约数用b表示,然后再写出求正整数b,c的最大公约数的伪代码,并输出其最大公约数,用b表示,可用“当型”语句写出伪代码.
所求的算法语句(即伪代码)如下:
8.写出用二分法求方程x3-2x-3=0在区间[1,2]内的一个近似解(误差不超过0.001)的一个算法,并画出流程图.
解:
本题考查了利用二分法算法求解方程近似解的方法.
伪代码如下:
流程图如图所示:
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