高中数学离散型随机变量的方差综合测试题含答案.docx
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高中数学离散型随机变量的方差综合测试题含答案
高中数学离散型随机变量的方差综合测试题(含答案)
选修2-32.3.2离散型随机变量的方差
一、选择题
1.下面说法中正确的是()
A.离散型随机变量的均值E()反映了取值的概率的平均值
B.离散型随机变量的方差D()反映了取值的平均水平
C.离散型随机变量的均值E()反映了取值的平均水平
D.离散型随机变量的方差D()反映了取值的概率的平均值
[答案] C
[解析] 离散型||随机变量的均值E()反映取值的平均水平,它的方差反映的取值的离散程度.||故答案选C.
2.已知随机变量X的分布列为||:
P(X=k)=13,k=1、2、3,则D(3X+5)=()
A.6B.9
C.3D.4
[答案] A
[解析] E(X)=(1+2+3)13=2,
D(X)=[(1-2)2+(2-2)2||+(3-2)2]13=23,
D(3X+5)=9D(X)=6.
3.设X~B(n,p),且E(X)=12,D||(X)=4,则n与p的值分别为()
A.18,13B.12,23
C.18,23D.12,13
[答案] C
[解析]|| 由E(X)=12D(X)=4得np=12np(1-p)=4
则p=23,n=18.
4.(2019山东理,6)样本中共有五个个体,其值分别为||a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1,则||样本方差为()
A.65B.65
C.2D.2
[答案] D
[解析] ∵a+0+1+2+35=1,a=-1,
故s2=15[(-||1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(||3-1)2]=2.
5.已知随机变量的数学均||值为E(),方差为D(),随机变量-E(),则D()的值为()
A.0B.-1
C.1D.D()
[答案] C
[解析] E()与D(||)均为常数,不妨设E()=a,D()=b,
则-E()=1b-ab.
D()=D1b-ab=1b2D()=1.
6.随机变量||X~B(100,0.2),那么D(4X+3)的值为()
A.64B.256
C.259D.320
[答案] B
[解析] 由X~B(100,0.2)知随机变量X服从二||项分布,且n=100,p=0.2,由公式得D(X)=np(1-p)=100||0.20.8=16,因此D(4X+3)=42D(X)=1616=||256,故选B.
7.已知X的分布列如下表.则在下列式子中:
①E(X)=-||13;②D(X)=2327;③P(X=0)=13.正确的有()
X-101
P12
13
16
A.0个B.1个
C.2个D.3个
[答案] C
[解析] 易求得D(X)=-1+13212+0+1||3213+1+13216=59,故只有①③正确,故选C.
8.甲,乙两||台自动机床各生产同种标准产品1000件,表示甲车床生产1000件产品中的||次品数,表示乙车床生产1000件产品中的次品数,经过一段时间的考||察的分布列分别如表一,表二所示.据此判定()
表一
0123
P0.700.20.1
表二
0123
P0.60.20.10.1
A.甲比乙质量好
B.乙比甲质量好
C.甲与乙质量相同
D.无法判定
[答案] B
[解析] 由分布列可求甲的次品数期望为E()=0||.7,乙的次品数期望为E()=0.7,进而得D()=(0-0.7)20.||7+(1-0.7)20+(2-0.7)20.2+||(3-0.7)20.1=1.21,D()=(0-0.7)20.6+(1-||0.7)20.2+(2-0.7)20.1+(3-0.7)2||0.1=1.01,故乙的质量要比甲好.
二、填空题
9.某射手击中目标的||概率为p,则他射击n次,击中目标次数X的方差||为________.
[答案] np(1-p)
[解析] ∵X~B(n,p),
D(X)=np(1-p).
10.已知总体的各||个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12,13.7,||18.3,20,且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小,则a、b的取||值分别是________.
[答案] 10.5、10.5
[解析] 由题意得a+b2=10.5,a+b=21,
x=2+3+3||+7+21+13.7+18.3+20+1210=1||0,
s2=110[(10-2)2+(10-3||)2+(10-3)2+(10-7)2+(10||-a)2+(10-b)2+(10-12)2+(10-13.||7)2+(10-18.3)2+(10-20)2]
||=110[82+72+72+32+(10-a)2+(10-b)2+4+||3.72+8.32+102]
=110[(10-a)2+(10-21+a)2+…]
=110[2(a-10.5)2+…]
当a=10.5时,方差s最小,b=10.5.
11.随机变量X的分布列如下表:
X-101
Pabc
其中a,b,c成等差数列,||若E(X)=13,则D(X)的值是______.
[答案] 59
[解析] ∵a+b+c=1,2b=a+c,
b=13,a+c=23,
又∵E(X)=13,13=-a+c,
故a=16,c=12,
D(X)=(-1-1||3)216+(0-13)213+(1-13||)212=59.
12.(2009广东理12)已知离散型随机||变量X的分布列如下表,若E(X)=0,D(X)=1,,则a=________,||b=__________.
X-1012
Pabc112
[答案] 512;14
[解析] 考查离散型随机变量的分布列、期望和方差的计算.
由条件及E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn,
D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X)||)2p2+…+(xn-E(X))2pn得
a+b+c=111||2-a+c+16=0a+c+13=1,a=512b=1||4c=14.
三、解答题
13.有三张形状、大小、质地完全一致||的卡片,在每张卡片上写上0、1、2,现从中任意抽取一张,将其上数字记作x||,然后放回,再抽取一张,其上数字记作y,令X=xy.求
(1)X的概率分布;
(2)随机变量X的均值与方差.
[解析]
(1)P(X=0)=533=59;
P(X=1)=133=19;
P(X=2)=233=29;
P(X=4)=133=19.
X的分布列如下表:
X0124
P59
19
29
19
(2)E(X)=1,D(X)=169.
14.甲||、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量,且||的分布列为
123
Pa0.10.6
123
P0.3b0.3
求:
(1)a、b的值;
(2)计算的均值与方差,并以此分析甲、乙的技术状况.
[解析] (1||)由离散型随机变量的分布列的性质可知a+0.1+0.6=1||,
a=0.3.
同理0.3+b+0.3=1,b=0.4.
(2)E()=10.3+20.1+30.6=2.3,
E()=10.3+20.4+30.3=2,
D()=(1-2.3)20.3+(2-2.3)20.1+(3-2.3||)20.6=0.81,
D()=(1-2)20.3+(2-2)2||0.4+(3-2)20.3=0.6.
由于E()>E(),说||明在一次射击中,甲的平均得分比乙高,但D(D(),说明甲得分的稳定性不如||乙,因此甲、乙两人技术水平都不够全面,各有优势与劣势.
[点评] 比较技术水平||、机器性能、产品质量,通常要同时考虑期望与方差这两个特征数.
15||.甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且野生||动物的种类和数量也大致相同.而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事||件次数的分布列分别为:
甲保护区:
X0123
P0.30.30.20.2
乙保护区:
X012
P0.10.50.4
试评定这两个保护区的管理水平.
[解析] 甲保护区的违规次数||X的均值和方差为E()=00.3+10.3+20.2+30.2=1.3,
D||()=(0-1.3)20.3+(1-1.3)2||0.3+(2-1.3)20.2+(3-1.3)20.2=1.21;
乙保护区的违规次数的均值和方差为
E()=00.1+10.5+20.4=1.3,
D()=(0-1.3)20.1+(1-1.||3)20.5+(2-1.3)20.4=0.41.
因为E()=E(),D(||D(),所以两个保护区内每季度发生的违规平均次数是相同的,但乙保||护区内的违规事件次数更集中和稳定,而甲保护区的违规事件次数相对分散和波动.||
16.有一批零件共10个合格品,2个不||合格品.安装机器时从这批零件中任选1个,取到合格品才能安装;若取出的是不||合格品,则不再放回.
(1)求最多取2次零件就能安装的概率;
(2)求在取得合格品前已经取出的次品数X的分布列,并求出X||的均值E(X)和方差D(X)(方差计算结果保留两个有效数字).
[分析] 注||意取到不合格品时不再放回,故可考虑用等可能性事件的概率公式求概率值.
[解析]||
(1)设安装时所取零件的次数是,则P(=1)||=1012=56,这是取1次零件就取到了合格品,可以安装;
||P(=2)=2121011=533,这是第1次取||到不合格品,第2次取到了合格品.
最多取2次零件就能安装的概率为
56+533=6566.
(2)依题意X的所有可能取值为0、1、2,
P(X=0)=P(=1)=56,
P(X=1)=P(=2)=533,
P(X=2)=1-56-533=166.
故X的分布列是
X012
P56
533
唐宋||或更早之前,针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目,其相应传授者称为“博士||”,这与当今“博士”含义已经相去甚远。
而对那些特别讲||授“武事”或讲解“经籍”者,又称“讲师”。
“教授”和“助教”均原为学官称谓。
前||者始于宋,乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者;||而后者则于西晋武帝时代即已设立了,主要协助||国子、博士培养生徒。
“助教”在古代不仅要作||入流的学问,其教书育人的职责也十分明晰。
唐代||国子学、太学等所设之“助教”一席,也是当||朝打眼的学官。
至明清两代,只设国子监(国子学)一科的“助教”,其身价不谓||显赫,也称得上朝廷要员。
至此,无论是“博士”“讲师”,还是“教授”“||助教”,其今日教师应具有的基本概念都具有了||。
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单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“||先死后活”吧。
让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些||假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名||言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。
这样,即巩固||了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培||养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果||。
唐宋或更早之前,针对“经学”“律学”“算学”和“书||学”各科目,其相应传授者称为“博士”,这与当今“博士”含义已经相去甚远||。
而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者,又称“讲师”。
“教授”和“助教”均||原为学官称谓。
前者始于宋,乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目||的讲授者;而后者则于西晋武帝时代即已设立了,主要协助国子、博||士培养生徒。
“助教”在古代不仅要作入流的学问,其教书育人的职责也十||分明晰。
唐代国子学、太学等所设之“助教”一席,也是当朝打眼的学官。
至明清两代||,只设国子监(国子学)一科的“助教”,其身价不谓显赫,也称得上朝廷要员。
至||此,无论是“博士”“讲师”,还是“教授”“助教”,其||今日教师应具有的基本概念都具有了。
于是E(X)=056+1533+2166=211,
D(X)=562||112+5339112+166201920.1||8.
所以X的期望值和方差值分别是211和0.18.
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