711 角的推广秋数学 必修 第三册 人教B版新教材改题型.docx
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711角的推广秋数学必修第三册人教B版新教材改题型
第七章三角函数
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
喜帕恰斯
早期对于三角函数的研究可以追溯到古代.古希腊三角术的奠基人是公元前2世纪的喜帕恰斯,他按照古巴比伦人的做法,将圆周分为360等份(即圆周的弧度为360度,与现代的弧度制不同).对于给定的弧度,他给出了对应的弦的长度数值,这个记法和现代的正弦函数是等价的.喜帕恰斯实际上给出了最早的三角函数数值表.然而古希腊的三角学基本是球面三角学,这与古希腊人研究的主体是天文学有关.梅涅劳斯在他的著作《球面学》中使用了正弦来描述球面的梅涅劳斯定理.古希腊三角学与天文学的结合在埃及的托勒密时代达到了高峰,托勒密在《数学汇编》中计算了36度角和72度角的正弦值,还给出了计算和角公式与半角公式的方法.托勒密还给出了所有0度到180度的所有整数和半整数弧度对应的正弦值.
[读图探新]——发现现象背后的知识
伦敦眼
伦敦眼(英
文名:
TheLondonEye),全称英国航空伦敦眼(TheBritishAirwaysLondonEye)又称千禧之轮,坐落在伦敦泰晤士河畔,是世界第四大摩天轮,是伦敦的地标之一,也是伦敦最吸引游人的观光点之一.伦敦眼总高度135米(443英尺).伦敦眼共有32个乘坐舱,因舱内外用钢化玻璃打造,所以设有空调系统.每个乘坐舱可载客约25名,回转速度约为每秒0.26米,即一圈用时30分钟.
问题1:
伦敦眼转一圈需用时30分钟,这就叫周期现象,那么周期为多少呢?
问题2:
当游客坐伦敦眼达到最高点时,伦敦美景尽收眼底,总高度135米对应于三角函数的哪些量?
链接:
(1)周期为30分钟;
(2)游客达到最高点与最低点时,分别对应了三角函数的最大值与最小值.
7.1 任意角的概念与弧度制
7.1.1 角的推广
课标要求
素养要求
1.结合实例,了解角的概念的推广及其实际意义.
2.理解象限角的概念,并掌握终边相同角的含义及其表示.
在角的概念推广过程中,经历由具体到抽象,重点提升学生的数学抽象、直观想象素养.
教材知识探究
周日早晨,小明起床后,发现自己的闹钟停在5:
00这一刻,他立即更换了电池,调整到了正常时间6:
30,并开始正常的学习.
问题 小明在调整闹钟时间时,时针与分针各转过了多少度?
提示 时针转了-45°,分针转了-540°.
1.角的概念 现在所学的角的概念与初中的不同,初中是从静止的角度阐述的
一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角,这两条射线分别称为角的始边和终边.
2.角的分类 注意正角、负角的旋转方向
类型
定义
图示
正角
按逆时针方向旋转而成的角
负角
按顺时针方向旋转而成的角
零角
当射线没有旋转,称为零角
3.角的加减运算的几何意义
设α、β是任意两个角,把角α的终边旋转角β,这时终边所对应的角是α+β.把角α的终边旋转角-β,这时终边所对应的角是α-β.
4.象限角
角的顶点与坐标原点重合,角的始边落在x轴的正半轴上.这时,角的终边在第几象限,就把这个角称为第几象限角,如果终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限.
5.终边相同的角 终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同
所有与α终边相同的角组成一个集合,这个集合可记为S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.即集合S的每一个元素的终边都与α的终边相同,k=0时对应元素为α.,教材拓展补遗
[微判断]
1.经过1小时,时针转过30°.(×)
提示 因为时针顺时针旋转,所以时针转过-30°.
2.终边与始边重合的角是零角.(×)
提示 终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z).
3.第一象限角都是锐角.(×)
提示 390°为第一象限角,但不是锐角.
4.钝角是第二象限角.(√)
5.第三象限的角一定比第一象限的角大.(×)
提示 例如-120°为第三象限角,60°为第一象限角,故错误.
[微训练]
1.与-457°角的终边相同的角的集合是( )
A.{α|α=457°+k·360°,k∈Z}
B.{α|α=97°+k·360°,k∈Z}
C.{α|α=263°+k·360°,k∈Z}
D.{α|α=-263°+k·360°,k∈Z}
解析 由于-457°=-1×360°-97°=-2×360°+263°,故与-457°角的终边相同的角的集合是{α|α=-457°+k·360°,k∈Z}={α|α=263°+k·360°,k∈Z}.
答案 C
2.-378°是第________象限角.
解析 -378°=-360°-18°,因为-18°是第四象限角,所以-378°是第四象限角.
答案 四
[微思考]
1.角的概念推广后角的范围有怎样的变化?
提示 角的概念推广后,角度的范围不限于0°~360°,而是任意的角,包括正角、负角与零角.
2.终边相同的角相等吗?
相等的角终边相同吗?
提示 当角的始边相同时,若角相等,则终边相同,但若角终边相同,则不一定相等.
题型一 任意角的概念辨析
任意角的构成要素:
①顶点②始边③终边④旋转方向⑤旋转圈数
例1
(1)在下列说法中:
①0°~90°的角是第一象限角;
②第二象限角大于第一象限角;
③钝角都是第二象限角;
④小于90°的角都是锐角.
其中说法错误的序号为________.
(2)如图,射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处,再按顺时针方向旋转820°至OC处,则β=________.
解析
(1)①0°角不属于任何象限,所以①不正确.
②120°是第二象限角,390°是第一象限角,显然390°>120°,所以②不正确.
③钝角α的范围是90°<α<180°,显然是第二象限角,所以③正确.
④锐角的集合是{α|0°<α<90°},小于90°的角也可以是零角或负角,所以④不正确.
(2)∠AOC=60°+(-820°)=-760°,β=-760°+720°=-40°.
答案
(1)①②④
(2)-40°
规律方法 判断角的概念问题的关键与技巧
(1)关键:
正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.
(2)技巧:
判断一种说法正确需要证明,而判断一种说法错误只要举出反例即可.
【训练1】 写出图
(1),
(2)中的角α,β,γ的度数.
解 图
(1)中,α=360°-30°=330°;
图
(2)中,β=-360°+60°+150°=-150°;
γ=360°+60°+(-β)=360°+60°+150°=570°.
题型二 终边相同的角的表示及应用
在终边相同的角的表示中,k·360°可以理解为按一定方向转动的圈数,k取正整数时,按逆时针转,k取负整数时,按顺时针转,k=0时,没有转动.
【例2】 写出终边落在直线y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来.
解 直线y=x与x轴的夹角是45°,在0°~360°范围内,终边在直线y=x上的角有两个:
45°,225°.因此,终边在直线y=x上的角的集合:
S={β|β=45°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°,k∈Z}
={β|β=45°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=45°+(2k+1)·180°,k∈Z}={β|β=45°+n·180°,n∈Z}.
∴S中适合-360°≤β<720°的元素是:
45°-2×180°=-315°;45°-1×180°=-135°;
45°+0×180°=45°;45°+1×180°=225°;
45°+2×180°=405°;45°+3×180°=585°.
规律方法 解答本题关键是找到0°~360°范围内,终边落在直线y=x的角:
45°,225°,再利用终边相同的角的关系写出符合条件的所有角的集合,如果集合能化简的还要化成最简.
【训练2】 写出与α=-1910°终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式-720°≤β<360°的元素β写出来.
解 由终边相同的角的表示知,与角α=-1910°终边相同的角的集合为{β|β=k·360°-1910°,k∈Z}.
∵-720°≤β<360°,
即-720°≤k·360°-1910°<360°(k∈Z),
∴3
≤k<6
(k∈Z).故取k=4,5,6.
k=4时,β=4×360°-1910°=-470°;
k=5时,β=5×360°-1910°=-110°;
k=6时,β=6×360°-1910°=250°.
题型三 象限角的判定
例3
(1)已知下列各角:
①-120°;②-240°;③180°;④495°.其中是第二象限角的是( )
A.①②B.①③C.②③D.②④
(2)已知α为第三象限角,则
是第几象限角?
(1)解析 -120°为第三象限角,①错误;-240°=-360°+120°,∵120°为第二象限角,∴-240°也为第二象限角,故②正确;180°为轴线角;495°=360°+135°,∵135°为第二象限角,
∴495°为第二象限角,故④正确.故选D.
答案 D
(2)解 因为α为第三象限角,
所以k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z,
所以k·180°+90°<
<k·180°+135°,k∈Z,
当k为偶数时,记k=2n,n∈Z,
n·360°+90°<
<n·360°+135°,n∈Z,
所以
终边在第二象限,
当k为奇数时,记k=2n+1,n∈Z,
n·360°+270°<
<n·360°+315°,n∈Z,
所以
终边在第四象限.
综上可知,
是第二象限角或第四象限角.
规律方法 判断象限角的步骤
(1)当0°≤α<360°时,直接写出结果;
(2)当α<0°或α≥360°时,将α化为k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°),转化为判断角β所属的象限.
【训练3】 在0°~360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角.
(1)-150°;
(2)650°;(3)-950°15′.
解
(1)因为-150°=-360°+210°,所以在0°~360°范围内,与-150°角终边相同的角是210°角,它是第三象限角.
(2)因为650°=360°+290°,所以在0°~360°范围内,与650°角终边相同的角是290°角,它是第四象限角.
(3)因为-950°15′=-3×360°+129°45′,所以在0°~360°范围内,与-950°15′角终边相同的角是129°45′角,它是第二象限角.
题型四 区域(间)角的表示
例4
已知,如图所示.
①分别写出终边落在OA,OB位置上的角的集合;
②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
包括边界用实线表示,不包括边界用虚线表示
解 ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α=90°+45°+k·360°,k∈Z}={α|α=135°+k·360°,k∈Z},终边落在OB位置上的角的集合为{α|α=-30°+k·360°,k∈Z}.
②由图可知,阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于-30°到135°之间的角组成的集合,故可表示为{α|-30°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}.
【迁移1】 如图所示,写出终边落在阴影部分的角的集合.
解 在0°~360°范围内、阴影部分(包括边界)表示的范围是:
150°≤α≤225°,则满足条件的角α为
{α|k·360°+150°≤α≤k·360°+225°,k∈Z}.
【迁移2】 如图所示,写出终边落在阴影部分的角的集合.
解 由图可知满足题意的角的集合为{β|k·360°+60°≤β≤k·360°+105°,k∈Z}∪{k·360°+240°≤β≤k·360°+285°,k∈Z}
={β|2k·180°+60°≤β≤2k·180°+105°,k∈Z}∪{β|(2k+1)·180°+60°≤β≤(2k+1)·180°+105°,k∈Z}
={β|n·180°+60°≤β≤n·180°+105°,n∈Z},
即所求的集合为{β|n·180°+60°≤β≤n·180°+105°,n∈Z}.
规律方法 表示区域角的三个步骤
第一步:
先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.
第二步:
按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β,写出最简区间{x|α 第三步: 起始、终止边界对应角α,β再加上360°的整数倍,即得区域角集合. 【训练4】 已知集合A={α|k·180°+30°<α 求: (1)A∩B; (2)A∪B. 解 在直角坐标系中,分别画出集合A,B所包含的区域,结合图形可知, A∩B={θ|30°+k·360°<θ<45°+k·360°,k∈Z}, A∪B={γ|k·360°-45°<γ 一、素养落地 1.通过本节课的学习,学会利用图形描述建立形与数的联系,提升学生的数学抽象、直观想象素养. 2.在高中阶段用转角,即“运动”的观点理解角的概念,要注意“旋转方向”决定角的“正负”,“旋转量”决定角的“绝对值大小”. 3.关于终边相同角的认识 (1)一般地,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和. 注意: ①α为任意角; ②k·360°与α之间是“+”号,k·360°-α可理解为k·360°+(-α); ③k∈Z这一条件不能少. (2)相等的角终边一定相同;终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数多个,它们相差360°的整数倍. 二、素养训练 1.已知α是第二象限角,则180°-α是( ) A.第一象限角B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角 解析 由α是第二象限角可得,90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z. 所以180°-(90°+k·360°)>180°-α>180°-(180°+k·360°),即90°-k·360°>180°-α>-k·360°(k∈Z),所以180°-α为第一象限角.故选A. 答案 A 2.已知α是锐角,那么2α是( ) A.第一象限角B.第二象限角 C.小于180°的正角D.第一或第二象限角 解析 ∵0°<α<90°,∴0°<2α<180°,∴2α是小于180°的正角.故选C. 答案 C 3.若角α满足180°<α<360°,角5α与α有相同的始边,且又有相同的终边,那么角α=________. 解析 由于5α与α的始边和终边相同,所以这两角的差应是360°的整数倍,即5α-α=4α=k·360°,k∈Z.又180°<α<360°,所以k=3,则α=270°. 答案 270° 4.如图所示,写出终边落在阴影部分的角的集合. 解 设终边落在阴影部分的角为α,角α的集合由两部分组成. ①{α|k·360°+30°≤α≤k·360°+105°,k∈Z}. ②{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+285°,k∈Z}. ∴角α的集合应当是集合①与②的并集: {α|k·360°+30°≤α≤k·360°+105°,k∈Z} ∪{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+285°,k∈Z} ={α|2k·180°+30°≤α≤2k·180°+105°,k∈Z} ∪{α|(2k+1)180°+30°≤α≤(2k+1)180°+105°,k∈Z} ={α|2k·180°+30°≤α≤2k·180°+105°或(2k+1)·180°+30°≤α≤(2k+1)180°+105°,k∈Z} ={α|n·180°+30°≤α≤n·180°+105°,n∈Z}. 基础达标 一、选择题 1.下列说法中正确的是( ) A.第二象限的角都是钝角 B.第二象限角大于第一象限的角 C.若角α与角β不相等,则α与β的终边不可能重合 D.若角α与角β的终边在一条直线上,则α-β=k·180°(k∈Z) 解析 A错误,495°=135°+360°是第二象限的角,但不是钝角; B错误,α=135°是第二象限角,β=360°+45°是第一象限的角,但α<β; C错误,α=360°,β=720°,则α≠β,但二者终边重合; D正确,α与β的终边在一条直线上,则二者的终边重合或相差180°的整数倍,故α-β=k·180°(k∈Z). 答案 D 2.与-468°角的终边相同的角的集合是( ) A.{α|α=k·360°+456°,k∈Z} B.{α|α=k·360°+252°,k∈Z} C.{α|α=k·360°+96°,k∈Z} D.{α|α=k·360°-252°,k∈Z} 解析 因为-468°=-2×360°+252°,所以252°角与-468°角的终边相同,所以与-468°角的终边相同的角为k·360°+252°,k∈Z,故选B. 答案 B 3.如图,终边落在直线y=±x上的角α的集合是( ) A.{α|α=k·360°+45°,k∈Z} B.{α|α=k·180°+45°,k∈Z} C.{α|α=k·180°-45°,k∈Z} D.{α|α=k·90°+45°,k∈Z} 答案 D 4.若α是第四象限角,则180°-α是( ) A.第一象限角B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角 解析 可以给α赋一特殊值-60°,则180°-α=240°,故180°-α是第三象限角. 答案 C 5.已知角α与角β的终边关于y轴对称,则α与β的关系为( ) A.α+β=k·360°,k∈Z B.α+β=k·360°+180°,k∈Z C.α-β=k·360°+180°,k∈Z D.α-β=k·360°,k∈Z 解析 法一 (特值法): 令α=30°,β=150°,则α+β=180°. 法二 (直接法): 因为角α与角β的终边关于y轴对称,所以β=180°-α+k·360°,k∈Z,即α+β=k·360°+180°,k∈Z. 答案 B 二、填空题 6.已知0°<α<360°,α的终边与-60°角的终边关于x轴对称,则α=________. 答案 60° 7.在-180°~360°范围内,与1985°角终边相同的角为______. 解析 ∵1985°=185°+5×360°,1985°=-175°+6×360°, ∴在-180°~360°范围内与1985°角终边相同的角有-175°,185°两个. 答案 -175°,185° 8.已知角α,β的终边关于y轴对称,若α=30°,则β=________. 解析 ∵30°与150°的终边关于y轴对称, ∴β的终边与150°角的终边相同. ∴β=150°+k·360°,k∈Z. 答案 150°+k·360°,k∈Z 三、解答题 9.在与角-2019°终边相同的角中,求满足下列条件的角. (1)最小的正角; (2)最大的负角; (3)-720°~720°内的角. 解 (1)∵-2019°=-6×360°+141°, ∴与角-2019°终边相同的最小正角是141°. (2)∵-2019°=-5×360°+(-219°), ∴与角-2019°终边相同的最大负角是-219°. (3)∵-2019°=-6×360°+141°, ∴与-2019°终边相同也就是与141°终边相同. 由-720°≤k·360°+141°<720°,k∈Z,解得: k=-2,-1,0,1.代入k·360°+141°依次得: -579°,-219°,141°,501°. 10.已知角x的终边落在图示阴影部分区域,写出角x组成的集合. 解 (1){x|k·360°-135°≤x≤k·360°+135°,k∈Z}. (2){x|k·360°+30°≤x≤k·360°+60°,k∈Z}∪ {x|k·360°+210°≤x≤k·360°+240°,k∈Z} ={x|2k·180°+30°≤x≤2k·180°+60°或(2k+1)·180°+30°≤x≤(2k+1)·180°+60°,k∈Z} ={x|n·180°+30°≤x≤n·180°+60°,n∈Z}. 能力提升 11.设集合A={α|α=45°+k·180°,k∈Z}∪{α|α=135°+k·180°,k∈Z},集合B={β|β=45°+k·90°,k∈Z},则( ) A.A∩B=∅B.AB C.BAD.A=B 解析 对于集合A, α=45°+k·180°=45°+2k·90° 或α=135°+k·180°=45°+90°+2k·90° =45°+(2k+1)·90°. ∵k∈Z,∴2k表示所有的偶数,2k+1表示所有的奇数, ∴集合A={α|α=45°+n·90°,n∈Z}, 又集合B={β|β=45°+n·90°,n∈Z}, ∴A=B.故选D. 答案 D 12.若α是第一象限角,问-α,2α, 是第几象限角? 解 ∵α是第一象限角,∴k·360°<α (1)-k·360°-90°<-α<-k·360°(k∈Z), ∴-α所在区域与(-90°,0°)范围相同,故-α是第四象限角. (2)2k·360°<2α<2k·360°+180°(k∈Z), ∴2α所在区域与(0°,180°)范围相同, 故2α是第一、二象限角或终边在y轴的正半轴上的角. (3)k·120°< 法一 (分类讨论)当k=3n(n∈Z)时, n·360°< ∴ 是第一象限角; 当k=3n+1(n∈Z)时,n·360°+120°< 是第二象限角; 当k=3n+2(n∈Z)时,n·360°+240°< 是第三象限角. 综上可知: 是第一、第二或第三象限角. 法二 (几何法)如图,先将各象限分成3等份,再从x轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上1,2,3,4,因为α是第一象限角,则标有1的区域即为 终边所落在的区域,故 为第一、第二或第三象限角. 创新猜想 13.(多选题)下列说法中正确的是( ) A.终边落在第一象限的角为锐角 B.锐角是第一象限角 C.钝角为第二象限角 D.角α与-α的终边关于x轴对称 解析 终边落在第一象限的角不一定是锐角,如400°的角是第一象限角,但不是锐角,故A的说法是错误的;同理第二象限角不一定是钝角,但钝角一定是第二象限角. 答案 BCD 14.(多空题)与2000°角终边相同的角中,最小正角为__________,最大负角为__________. 解析 2000°=5×360°+200°=6×360°-160°,所以与2000°角终边相同的角中,最小正角为200°,最大负角为-160°. 答案 200° -160°
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