高考数学一轮复习第九章计数原理与概率随机变量及其分布第61讲离散型随机变量及其分布列实战演练理.docx
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高考数学一轮复习第九章计数原理与概率随机变量及其分布第61讲离散型随机变量及其分布列实战演练理
2019年高考数学一轮复习第九章计数原理与概率随机变量及其分布第61讲离散型随机变量及其分布列实战演练理
1.(xx·全国卷Ⅰ)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元,在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(1)求X的分布列;
(2)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?
解析:
(1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而
P(X=16)=0.2×0.2=0.04;
P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;
P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;
P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;
P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;
P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;
P(X=22)=0.2×0.2=0.04.
所以X的分布列为
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04
(2)由
(1)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值为19.
(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:
元).
当n=19时,
E(Y)=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4040.
当n=20时,
E(Y)=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4080.
可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.
2.(xx·四川卷)某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;
(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和数学期望.
解析:
(1)由题意,知参加集训的男、女生各有6名.
参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为
=
.
因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-
=
.
(2)根据题意,X的可能取值为1,2,3.
P(X=1)=
=
,P(X=2)=
=
,P(X=3)=
=
.
所以X的分布列为
Y
1
2
3
P
因此,X的数学期望为
E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=1×
+2×
+3×
=2.
3.(xx·陕西卷)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:
T/分钟
25
30
35
40
频数/次
20
30
40
10
(1)求T的分布列与数学期望E(T);
(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区作一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.
解析:
(1)由统计结果可得T的频率分布为
T/分钟
25
30
35
40
频率
0.2
0.3
0.4
0.1
以频率估计概率得T的分布列为
T
25
30
35
40
P
0.2
0.3
0.4
0.1
从而E(T)=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分钟).
(2)设T1,T2分别表示往、返所需时间,T1,T2的取值相互独立,且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.
P(A)=P(T1+T2≤70)=P(T1=25,T2≤45)+P(T1=30,T2≤40)+P(T1=35,T2≤35)+P(T1=40,T2≤30)=0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.
4.(xx·天津卷改编)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列.
解析:
(1)由已知,有P(A)=
=
.
所以,事件A发生的概率为
.
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
P(X=k)=
(k=1,2,3,4).所以,随机变量X的分布列为
Y
1
2
3
4
P
2019年高考数学一轮复习第二十一章概率统计21.2相互独立事件n次独立重复试验的模型及二项分布讲义
考点一 相互独立事件
1.(xx课标Ⅰ改编,4,5分)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为 .
答案 0.648
2.(xx湖南,18,12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球.在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.
(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;
(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.
解析
(1)记事件A1={从甲箱中摸出的1个球是红球},
A2={从乙箱中摸出的1个球是红球},
B1={顾客抽奖1次获一等奖},
B2={顾客抽奖1次获二等奖},
C={顾客抽奖1次能获奖}.
由题意,得A1与A2相互独立,A1与A2互斥,B1与B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1+A2,C=B1+B2.
因为P(A1)==,P(A2)==,
所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=×=,
P(B2)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)
=P(A1)P()+P()P(A2)
=P(A1)[1-P(A2)]+[1-P(A1)]P(A2)
=×+×=.
故所求概率为P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=+=.
(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由
(1)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为,所以X~B.
于是P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
X的数学期望为E(X)=3×=.
3.(xx山东,18,12分)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分,如图,甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D,某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:
回球一次,落点在C上记3分,在D上记1分,其他情况记0分.对落点在A上的来球,队员小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为;对落点在B上的来球,小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A,B上各一次,小明的两次回球互不影响.求:
(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;
(2)两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列与数学期望.
解析
(1)记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3),
则P(A3)=,P(A1)=,P(A0)=1--=;
记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3),
则P(B3)=,P(B1)=,P(B0)=1--=.
记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”.
由题意得,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3,
由事件的独立性和互斥性,得
P(D)=P(A3B0+A1B0+A0B1+A0B3)
=P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3)
=P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)+P(A0)P(B3)
=×+×+×+×=,
所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.
(2)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6,
由事件的独立性和互斥性,得
P(ξ=0)=P(A0B0)=×=,
P(ξ=1)=P(A1B0+A0B1)=P(A1B0)+P(A0B1)=×+×=,
P(ξ=2)=P(A1B1)=×=,
P(ξ=3)=P(A3B0+A0B3)=P(A3B0)+P(A0B3)=×+×=,
P(ξ=4)=P(A3B1+A1B3)=P(A3B1)+P(A1B3)=×+×=,
P(ξ=6)=P(A3B3)=×=.
可得随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
6
P
所以数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×+4×+6×=.
4.(xx大纲全国,20,12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立.
(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;
(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.
解析 记Ai表示事件:
同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2,
B表示事件:
甲需使用设备,
C表示事件:
丁需使用设备,
D表示事件:
同一工作日至少3人需使用设备.
(1)D=A1·B·C+A2·B+A2··C,
P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=×0.52,i=0,1,2,(3分)
所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2··C)
=P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2··C)
=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P()P(C)
=0.31.(6分)
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,则
P(X=0)=P(·A0·)
=P()P(A0)P()
=(1-0.6)×0.52×(1-0.4)
=0.06,
P(X=1)=P(B·A0·+·A0·C+·A1·)
=P(B)P(A0)P()+P()P(A0)P(C)+P()P(A1)P()
=0.6×0.52×(1-0.4)+(1-0.6)×0.52×0.4+(1-0.6)×2×0.52×(1-0.4)=0.25,
P(X=4)=P(A2·B·C)=P(A2)P(B)P(C)=0.52×0.6×0.4=0.06,
P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25,
P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)
=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,(10分)
数学期望EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2.(12分)
教师用书专用(5)
5.(xx陕西理,19,12分)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.
(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;
(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列及数学期望.
解析
(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”,B表示事件“观众乙选中3号歌手”,
则P(A)==,P(B)==.
∵事件A与B相互独立,
∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为
P(A)=P(A)·P()
=P(A)·[1-P(B)]
=×=.
(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”,
则P(C)==,
∵X可能的取值为0,1,2,3,且取这些值的概率分别为
P(X=0)=P( )=××=,
P(X=1)=P(A)+P(B)+P(C)
=××+××+××=,
P(X=2)=P(AB)+P(AC)+P(BC)
=××+××+××=,
P(X=3)=P(ABC)=××=,
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
∴X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×==.
考点二 n次独立重复试验的模型及二项分布
1.(xx四川理,12,5分)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是 .
答案
2.(xx广东,13,5分)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p= .
答案
3.(xx陕西,19,12分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:
作物产量(kg)
300
500
概 率
0.5
0.5
作物市场价格(元/kg)
6
10
概 率
0.4
0.6
(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;
(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.
解析
(1)设A表示事件“作物产量为300kg”,B表示事件“作物市场价格为6元/kg”,由题设知P(A)=0.5,P(B)=0.4,
∵利润=产量×市场价格-成本,
∴X所有可能的取值为
500×10-1000=4000,500×6-1000=2000,
300×10-1000=2000,300×6-1000=800.
P(X=4000)=P()P()=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3,
P(X=2000)=P()P(B)+P(A)P()=(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5,
P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2,
所以X的分布列为
X
4000
2000
800
P
0.3
0.5
0.2
(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”(i=1,2,3),
由题意知C1,C2,C3相互独立,由
(1)知,
P(Ci)=P(X=4000)+P(X=2000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),
3季的利润均不少于2000元的概率为
P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512;
3季中有2季利润不少于2000元的概率为
P(C2C3)+P(C1C3)+P(C1C2)=3×0.82×0.2=0.384,
所以,这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为
0.512+0.384=0.896.
教师用书专用(4)
4.(xx四川,17,12分)一款击鼓小游戏的规则如下:
每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.
(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;
(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?
(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
解析
(1)X可能的取值为10,20,100,-200.
根据题意,有P(X=10)=××=,
P(X=20)=××=,
P(X=100)=××=,
P(X=-200)=××=.
所以X的分布列为
X
10
20
100
-200
P
(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i=1,2,3),
则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=.
所以,“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为
1-P(A1A2A3)=1-=1-=.
因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.
(3)X的数学期望为EX=10×+20×+100×-200×=-.
这表明,获得的分数X的均值为负.
因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.
三年模拟
A组 xx模拟·基础题组
考点一 相互独立事件
1.(xx江苏徐州铜山中学期中)某同学在上学路上要经过A,B,C三个有红绿灯的路口,已知他在A,B,C三个路口遇到红灯的概率依次是,,,遇到红灯时停留的时间依次是40秒,20秒,80秒,且在各个路口遇到红灯是相互独立的.
(1)求这名同学在第三个路口C首次遇到红灯的概率;
(2)记这名同学因遇到红灯停留的总时间为X秒,求X的概率分布与期望E(X).
解析
(1)设这名同学在第三个路口C首次遇到红灯为事件M,
因为事件M等于事件“这名同学在第一个路口A和第二个路口B都没有遇到红灯,在第三个路口C遇到红灯”,所以P(M)=××=.
答:
这名同学在第三个路口C首次遇到红灯的概率为.
(2)X的所有可能取值为0,20,40,60,80,100,120,140(单位:
秒).
P(X=0)==;
P(X=20)=××=;
P(X=40)=××=;
P(X=60)=××=;
P(X=80)=××=;
P(X=100)=××=;
P(X=120)=××=;
P(X=140)=××=.
所以X的分布列为
X
0
20
40
60
80
100
120
140
P
所以E(X)=0×+20×+40×+60×+80×+100×+120×+140×=秒.
2.(苏教选2—3,二,2,3,变式)学生语、数、英三科考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率分别为0.9,0.8,0.85,求一次考试中,
(1)三科成绩均未获得第一名的概率;
(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率.
解析 分别记该学生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A,B,C,则A、B、C两两相互独立且P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.85.
(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用表示.
P()=P()P()P()
=[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]
=(1-0.9)(1-0.8)(1-0.85)
=0.003.
即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.
(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用BC+AC+AB表示.
由于事件BC,AC和AB两两互斥,
根据概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式,可知所求的概率P(BC)+P(AC)+P(AB)
=P()P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)P()
=[1-P(A)]P(B)P(C)+P(A)[1-P(B)]P(C)+P(A)·P(B)[1-P(C)]
=(1-0.9)×0.8×0.85+0.9×(1-0.8)×0.85+0.9×0.8×(1-0.85)=0.329.
即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.
考点二 n次独立重复试验的模型及二项分布
3.(苏教选2—3,二,5,变式)袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球,从A中摸出一个红球的概率为,从B中摸出一个红球的概率为p.
(1)从A中有放回地摸球,每次摸出一个,共摸5次.
求:
①恰好有3次摸到红球的概率;
②仅在第一次,第三次,第五次摸到红球的概率;
(2)若A,B两袋中球数之比为1∶2,将A,B中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是,求p的值.
解析
(1)①所求概率P1=××=10××=.
②所求概率P2=×=.
(2)设袋子A中有m个球,则袋子B中有2m个球,
由题意知,=,得p=.
B组 xx模拟·提升题组
(满分:
30分 时间:
15分钟)
解答题(共30分)
1.(xx南京、盐城高三第一次模拟)某年级星期一至星期五每天下午排3节课,每天下午随机选择1节作为综合实践课(上午不排该课程),张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程.
(1)求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率;
(2)设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X,求X的分布列与数学期望E(X).
解析
(1)这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率P=1-=.
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,5,由题意得X~B,P(X=k)=·,k=0,1,2,3,4,5.
则P(X=0)=·=,
P(X=1)=··=,
P(X=2)=··=,
P(X=3)=··=,
P(X=4)=··=,
P(X=5)=·=,
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
P
所以X的数学期望E(X)=0×+×1+×2+×3+×4+×5=.或E(X)=5×=
2.(xx江苏如皋高三上学期教学质量调研(三),23)已知两个城市之间由7条网线并联,这7条网线能够通过的信息量分别为1,2,2,2,3,3,3,现从中任选三条网线,设能够通过的信息总量为X,若能够通过的信息总量不小于8,则可以保持线路通畅.
(1)求线路通畅的概率;
(2)求线路通过信息量的概率分布及数学期望.
解析
(1)记“线路通畅”为事件A,则事件A包含X=8和X=9两个事件,且它们互斥,
P(X=8)==,P(X=9)==,
所以P(A)=P(X=8)+P(X=9)=+=.
(2)X的所有可能取值为5,6,7,8,9,
则P(X=5)==,
P(X=6)===,
P(X=7)==,
P(X=8)==,
P(X=9)==.
所以X的分布列为
X
5
6
7
8
9
P
故E(X)=5×+6×+7×+8×+9×=.
C组 xx模拟·方法题组
方法 独立重复试验及二项分布
一名学生骑自行车去上学,
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- 高考 数学 一轮 复习 第九 计数 原理 概率 随机变量 及其 分布 61 离散 实战 演练
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