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中学数学课程论第二章作业
中学数学课程论85页第二章
1.从外国数学课程百年发展史出发,阐述社会发展对数学课程的推动作用。
答:
一、20世纪以前的课程
文艺复兴运动之后,为了适应时代变化和社会需要,西方(特别是英国)对教育逐步实行改革,逐渐增加了解剖学、植物学、天文学、地质学、阿拉伯语、几何和古代史等新课程。
对数学的重视程度也大大提高。
整个19世纪中,资本主义生产力迅速发展,科学技术成果得到广泛应用,社会进步对劳动者的文化水平要求有了很大提高。
改革成为教育的主题。
民主的推进,自由、平等思想的深入人心,自然科学的新发展,使得宗教对学校的影响越来越小。
公民教育的思想受到推崇,提出了提高公民素质、社会进步和实用性等教育目的。
语言、艺术、数学、科学等课程受到重视,良好行为和道德规范教育贯穿整个学校教育过程。
社会的变化“使越来越多的教育家们开始怀疑古典课程以及长期以来强调智力训练的重要性”。
科学运动的最终结果——逐步确立了现代课程模式:
学术课程和非学术课程相结合。
科目选择——强调了基本而重要的学科,如语文、数学、自然科学、社会科学等。
思维训练的观念被使用新的思想模式和科学探索所取代。
人们越来越多地认识到——课程相互关联而不是各自独立,课程内容应随着社会的改变而改变;关注学生的兴趣和需要至关重要。
学校教育的进步主义时代拉开了帷幕。
二、数学教育近代化运动
19世纪被誉为科学的世纪,各门科学相继成熟,科学成为社会生活的重要组成部分,理论科学正转变为技术科学,科学的技术化和社会化成为这个科学世纪的最突出特征。
由科学发展带来的社会巨变成为推动数学课程大变革的根本动力。
欧洲近代科学发展中,数学一直扮演着举足轻重的角色,这种角色可以追溯到近代科学方法论的开创者伽利略(Galileo)、牛顿(Newton)的科学研究。
近代科学的“数学化”特征,科学界对自然的数学结构的真理性的深信不疑,使人们充分认识到数学的根本重要性——极大地推动了数学的发展,使数学课程改革成为关注焦点,社会各界特别是精英们对数学课程改革和数学教育的普及给予了极大期待。
数学领域不断扩展并相互交融,原有的数学理论向纵深发展并更加抽象,新的数学理论与方法又层出不穷,数学应用的范围也更趋广泛。
与之形成鲜明对照的是中学数学课程的内容仍然只是传统的算术、代数、几何、三角等,已经严重落后于数学的发展,数学家们对此感受尤为深切。
数学课程近代化运动就在这样的历史背景下展开。
这一运动的领衔人物是集数学家、教育家于一身的克莱茵和贝利。
3、数学教育现代化运动
20世纪50年代后期开始大规模数学课程改革。
⑴“冷战”时期对精英人才的需求
⑵数学教育中存在着一些亟待解决的问题
⑶20世纪数学的飞速发展
反映在两个方面:
一方面,电子计算机的出现不仅要有数理逻辑、算法语言的知识,而且算法(特别是追求算法的合理性以及比较不同算法的效率)、离散数学(如组合数学、布尔代数、差分方程、图论)等的重要性将得到加强;另一方面,现代数学飞速发展,布尔巴基学派提出“结构主义”思想,认为数学大厦建立在三个最基本的结构(即代数结构、顺序结构和拓扑结构)上,导致数学的抽象化、公理化、结构化程度越来越高,数学应用也越来越广泛。
数学的新发展要求从根本上改造数学教学大纲。
⑷心理学理论的发展
⑸高等学校数学教育的发展
长期以来,大学数学的基础都是数学分析,认为数学主要用于物理和工程。
近来的显著变化:
第一,在技术和物理中应用的数学工具大大扩充,不仅包括传统的“数学物理方程”,而且还包括泛函分析中相当精深的内容和概率论、数理统计等;第二,数学“扩张”到了生物学、医学、经济学、语言学、法律和考古学等过去很少甚至根本没有想到运用数学方法的领域中。
“应用数学”这个概念本身有了很大的扩展。
许多国家的大学开设了信息论、博弈论、动态规划、算法论、图论、线性规划等过去不曾有过的课程。
为升学做准备,中学应考虑适应大学数学课程革新的要求。
从美国兴起的这场数学教育改革运动,很快得到世界许多国家(我国等少数几个国家除外)的响应。
各国采取的途径不同,发展也很曲折。
几个发展阶段(大体):
⑴酝酿阶段
总结了克莱茵—贝利运动的思想,使教材教法近代化、心理化,实现数学各科的有机统一,理论与实践的统一。
具体地说
①脱离欧氏几何的形态,重视实验几何,强调几何的实用部分,用变换思想处理几何内容;②不过于重视数学的“形式陶冶”“置重心于应用方面”,养成“用数学方法去观察自然现象和社会现象”的能力;③使代数、几何、物理等有机统一起来,以使数学、物理和日常生活形成密切的联系;④以“函数观念”和“直观几何”作为数学的骨架。
这些思想为数学教育现代化做了一定准备。
至今还有参考价值。
⑵发动阶段
1958~1962年,在为数学教育现代化运动大造舆论的同时,着重实施了中学数学课程内容的改革。
许多国家成立了中学数学教材编辑机构,除出版新数学教材外,还出版了数十种中学数学教学书籍。
联合国教科文组织也召开专门的国际数学教育会议,对数学的普遍性、数学课程计划、教学法、教师培养和再教育等进行广泛讨论,并设立了国际情报中心,促进国际间课改情报的及时交流。
这些活动使数学教育现代化运动在世界范围迅速展开。
⑶实施阶段
1962~1970年,数学教育现代化运动全面实施。
改革的步子很大,改革的内容不但向下扩展到小学、幼儿园,向上扩展到大学,并波及其他学科。
1962~1970年,数学教育现代化运动全面实施。
改革的步子很大,改革的内容不但向下扩展到小学、幼儿园,向上扩展到大学,并波及其他学科。
各种方案并行,发展很不平衡。
有人形容这是“混乱、变动和广泛实验的时代”。
像美国这样的地方分权国家,各州的学校没有统一的课程,有些学生开始学习高等数学,但有些年龄更大的学生还在学习初等数学。
由于这次改革是以课程内容现代化为中心,所以一般称之为“数学教育现代化运动”,新的数学课程常被称为“新数学”(NewMathematics),也有称为“现代数学”,都是指用现代观点去处理数学内容。
和传统数学相比,“新数学”占了绝对优势,不过传统数学也没有完全被淘汰。
1963年夏,美国召开会议专门讨论今后数十年内中小学数学教育改革问题。
会议提出一个战略目标,到1990年,中学毕业生的数学水平要达到目前大学三年级的水平,除具备目前的数学知识外,还应掌握两年的数学分析,一学期的近世代数和一学期的概率论知识。
为此,会议提出必须从幼儿园开始进行改革,以便将整个内容加以重新组织形成一个整体。
1964年,马来西亚、新加坡、泰国也共同召开了数学教育改革讨论会。
特别值得一提的是,苏联的数学教学一向以稳健著称,但也于1965年成立了以苏联最著名数学家柯尔莫哥洛夫院士为首的苏联科学院和苏联教育科学院确定数学教学内容的委员会,负责制定4~10年级的数学教学新大纲。
1967年12月正式公布了“新数学教学大纲”。
1968、1969、1970年,日本分别制定了小学、初中、高中“新数学教学大纲”,编出了新教材,于1971、1972、1973年逐年在全国实施。
20世纪60年代后期,中小学数学教育的改革由最初的课程内容改革逐渐扩展到教学方法的改革。
师范学院的教学计划和课程内容也做了相应的改革。
对数学史、近代数学的基础概念和数学逻辑基础的教学都加强了。
四、回到基础
20世纪70年代,在对“新数学”的批判中,“回到基础”的呼声增强。
美国的数学教育国家委员会发布报告,慎提“NewMathematics”。
世界各国都在反思的基础上,提出了各种新的改革方案,修订或重新制定教学大纲或课程标准,编写相应的新教材。
在纠正数学教育现代化运动的偏差时,“回到基础”重新强调了基础知识的反复讲授和大量机械练习,没有达到真正提高数学教育质量的目的。
人们又把目光投向了问题解决。
五、问题解决
1977年,全美数学督导委员会提出“学习数学的根本目的是学会问题解决”。
1980年,NCTM发表《行动的议程——对80年代学校数学的建议》,提出“必须把问题解决作为80年代学校数学的核心”。
这一口号很快得到世界各国数学教育界的响应,由此掀起了问题解决研究热,并延续到20世纪90年代。
问题解决的研究主要集中在以下几方面:
一是各种数学问题的区分和研究,其中关于探索性问题和开放性问题的研究成为焦点;二是对解决问题的过程的研究,参与这方面研究的人员有认知心理学家、数学家、数学教育研究人员和数学教师,他们分别从认知心理学、数学、脑科学等不同角度出发对问题解决过程进行系统研究;三是将问题解决研究与数学教学联系在一起,使问题解决成为课程设计的一条主线和课堂教学的一个核心。
20世纪90年代前后各国相继推出新的数学课程标准,可看成是这一阶段研究的重要成果。
随着研究的深入,在问题解决教学实践中又出现了许多问题。
事实上,技巧不是数学思维,也不是数学应用,更不是用数学模型和思想去理解事物。
因此,为了使数学课程能真正反映问题解决和数学的思维,还有许多理论和实践工作要做。
在反思和检讨数学教育现代化运动的成败得失后,许多国家提出了新的改革方案,力图克服“新数学”课程的缺点,注意从实用出发精选传统内容,增加应用的新课题,以适应社会生产和科学技术发展的需要;同时强调数学课程更大的灵活性和多样性,以适应各类学生的不同要求。
六、“大众数学”运动
20世纪80年代以来,随着社会的进步,中等教育的普及,终身教育思想的兴起,基础教育的目的发生了变化:
从过去的主要为升学做准备转变到为学生提供今后得以发展和接受继续教育的基础。
科学技术的迅猛发展、信息技术在日常生活中的广泛应用,要求广大普通老百姓能更深入地理解数学。
同时,数学教育现代化运动以后,人们对数学教育改革进行了认真总结与反思。
数学的课程理论研究不断深入,教育观念也发生了深刻变化,教学内容和体系不断地改革。
但现实是:
一方面,数学教育改革在不断地更新花样,广大数学教育工作者试图破解提高教学质量、发展学生数学素养的难题;另一方面,数学教学质量却在持续下降。
这种现实引起人们的普遍忧虑。
在1983年华沙国际数学大会的数学教学会议上,达米洛夫(德国数学家)提出“大众数学”(MathematicsforAll)的思想,得到广泛响应并迅速被人们接受,在ICME-4上作为中心议题,专们交流“大众数学”的研究成果。
人们围绕“什么样的数学课程才符合大多数学生的要求?
”“应当如何建立这种课程?
”等进行广泛讨论。
这次会议的总结中认为,“大众数学”应是今后较长一段时间内数学教育的主要问题之一。
改革的主要特点:
从20世纪90年代前后开始的“大众数学”运动旨在发展学生的数学素养,促进学生自主地、主动地学习数学,提高教学质量。
本次数学课程改革的重点在课程目标和指导思想上。
各国的改革各有特点,但也有许多共性,反映了数学教育改革发展的主要倾向。
⑴面向全体学生,建立大众数学,以提高人的素质为主要目的,更多地考虑满足日常生活和就业的需要。
⑵强调数学知识的应用性。
⑶为满足学生的个性、兴趣爱好、能力的差异,降低数学课程的统一性,增加多样性和选择性。
⑷强调自主、探究、合作等学习方式。
改革进程中的调整
实践表明,过分强调“问题解决”导致了数学基础不落实,严重影响了教学质量;过分强调数学应用,不但破坏了数学的系统性,而且还由应用情境的复杂、混乱导致了学习困难;过分强调学生兴趣爱好,与数学学习过程内涵的艰巨性、数学思维过程的复杂性等产生严重冲突;过分的多样性和选择性导致数学课程缺乏可资遵循的标准,实际教学出现极大的随意性,导致数学教学整体水平下降;过分强调学生自主建构,造成学习目标不明确,并且与学生的学习能力产生矛盾,时间浪费在与数学本质无关的细枝末节上,学习效率和效果都极不理想;合作交流活动的组织存在较大困难,在没有精心设计的教学情境中的合作交流,会导致学生不知所措,交流的内容远离主题,并且会导致学生的依赖心理,责任心和独立思考能力下降,“强调合作学习、问题解决和数学应用削弱了个人责任和掌握基本计算技能的重要性”(NCTM,1998);而学习评价的无据可循、主观权重过大导致随意性,评价的信度大大下降。
美国在世纪之交又提出,要平衡基本技能、概念理解和问题解决,重新强调基础知识的重要性,强调读、写、算等基本技能的训练,尽可能使学生获得系统的数学知识,同时把问题解决调整为数学教育的过程目标之一。
2.查阅数学史的有关文献,阐述F·克莱茵提出“把函数概念放到教学的中心地位”课程思想的数学背景。
答:
19世纪是科学的世纪,各门科学相继成熟,科学成为社会生活的重要组成部分,理论科学正转变为技术科学,科学的技术化和社会化成为这个科学世纪的最突出特征。
由科学发展带来的社会巨变成为推动数学课程大变革的根本动力。
欧洲近代科学发展中,数学一直扮演着举足轻重的角色,这种角色可以追溯到近代科学方法论的开创者伽利略(Galileo)、牛顿(Newton)的科学研究。
伽利略最先倡导并实践了“实验+数学”的方法。
按照直观理解、数学演绎、实验证明三个阶段展开自己的科学研究,即:
面对研究对象,通过直观隔离出一些标准样本将它们完全翻译成数学上容易处理的量由这些量通过数学演绎推出其它一些现象用实验来验证这些现象是否确实如此。
这就是将自然数学化。
全部近代物理学都是建立在自然的数学化基础上的。
19世纪,伽利略的科学研究方法被广泛应用到物理学、化学、天文学、生物学、医学等各个领域,得到无数的研究成果。
麦克斯韦(Maxwell)是英国物理学家,通过数学推理得出关于电磁场的麦克斯韦方程,并从理论上证明电磁波的存在(20多年后赫兹(Hertz)在实验中观察到)。
勒维烈(LeVerrier))是法国天文学家,通过数学计算准确预言了海王星的质量、轨道和现在位置的确定,使海王星成为“数学家笔尖上的发现”。
孟德尔(Mendel))是把“实验+数学”的方法应用到遗传问题的研究中,成功地发现了遗传定律,开创了生物学研究的新纪元。
反面教材——英国科学的衰弱与“微积分发明优先权之争使英国科学界与欧洲大陆隔绝交往,导致数学停滞不前”有关。
近代科学的“数学化”特征,科学界对自然的数学结构的真理性的深信不疑,使人们充分认识到数学的根本重要性——极大地推动了数学的发展,使数学课程改革成为关注焦点,社会各界特别是精英们对数学课程改革和数学教育的普及给予了极大期待。
社会的变化“使越来越多的教育家们开始怀疑古典课程以及长期以来强调智力训练的重要性”。
19世纪末20世纪初的教育科学运动:
心理学和教育界开展了一场科学运动,杜威的教育观念、格式塔心理学(关注儿童的整体)、行为主义学习理论、知识迁移理论以及进步主义运动等,都在这一时期如雨后春笋般涌现。
科学运动的最终结果——逐步确立了现代课程模式:
学术课程和非学术课程相结合。
科目选择——强调了基本而重要的学科,如语文、数学、自然科学、社会科学等。
思维训练的观念被使用新的思想模式和科学探索所取代。
人们越来越多地认识到——课程相互关联而不是各自独立,课程内容应随着社会的改变而改变;关注学生的兴趣和需要至关重要。
学校教育的进步主义时代拉开了帷幕。
19世纪末20世纪初的教育科学运动——确立了现代课程模式,促使“作为一个研究领域的课程的诞生”。
从20世纪20年代开始——课程理论获得真正的发展。
《课程与教学的基本原则》——泰勒(Taylor),1949年出版(中译本1994年出版,人民教育出版社),课程的基础教材,使课程学取得长足进步。
提出了课程和教学的四要素:
教育目的、学习经验、组织方法、评价。
数学课程近代化运动——教育科学运动在数学学科内的反映。
数学发展的内在动力对数学教育改革的推动作用:
整个19世纪中,为了解决一系列数学自身产生的、长期悬而未决的问题,特别是高于四次的代数方程的根式求解问题、欧几里得几何中平行公理的证明问题、牛顿—莱布尼茨微积分算法的逻辑基础问题等,一代代数学家做出了持续努力,终于迎来柳暗花明。
伽罗瓦(Galois)引进群的概念和思想导致代数学的对象、内容和方法的深刻变革。
非欧几何的发明导致各种新而又新的几何学的产生,并进一步发现了各种几何学的内在一致性,以《爱尔朗根纲领》(克莱茵,1872)《几何基础》(希尔伯特(Hilbert),1899)为标志,而且希尔伯特提出的选择和组织公理体系的原则,即相容性、独立性、完备性,及其形式化公理方法,成为现代数学甚至某些物理领域中普遍应用的科学方法。
在严格基础上重建微积分获得成效,导致集合论的创立,分析工具应用于其它数学分支形成了解析数论等新的数学分支,与物理的结合表现在用数学方法求解电学、电磁学中的重要问题,使偏微分方程成为数学物理的代名词。
数学领域不断扩展并相互交融,原有的数学理论向纵深发展并更加抽象,新的数学理论与方法又层出不穷,数学应用的范围也更趋广泛。
与之形成鲜明对照的是中学数学课程的内容仍然只是传统的算术、代数、几何、三角等,已经严重落后于数学的发展,数学家们对此感受尤为深切。
数学课程近代化运动就在这样的历史背景下展开。
这一运动的领衔人物是集数学家、教育家于一身的克莱茵和贝利。
克莱茵是德国数学家、数学教育家,数学教育国际委员会创始人之一。
在几何、代数、函数论、理论物理和数学史等众多领域作出了重要贡献。
《高观点下的初等数学》提出数学的意义、内容、教材和方法等,必须根据时代发展要求不断进行改革;必须结合近代数学和教育学的新进展,重新认识初等数学。
他“希望把函数概念放到教学的中心地位,因为在过去两个世纪的一切数学概念中,凡用到数学思想的地方,函数概念总起着主导作用。
我们要尽快把这个概念引入教学,不断使用作图法,用XY系统来表示函数关系,而且事实上这种表示法今天在数学的一切实际应用中已被认为是自然而然的事。
为了使这种改革成为可能,我们希望取消许多传统教学内容,即使这些内容本身可能很有趣,但从它们在现代文化中的地位来看,意义却并不重要。
无论如何,强烈发展空间观念始终是首要考虑。
不过达到了高级阶段就应该把教学远远推进到微积分初步上去,使自然科学家或保险专家在上学时就掌握对他们不可或缺的工具。
”克莱茵的这些思想,不仅在当时数学教育改革中起了积极作用,而且至今也有参考价值。
F.克莱因在1904年的哥丁根演讲中,主张函数概念必须成为数学教学中心,以后它变更为“函数的思想方法”这样一种口号而广泛渗透开来。
在1904年自然科学家布列斯劳会议上的讲话中,F.克莱因曾对“大学教师只注重一般教育学就可以了,而完全没有必要再去注意数学教育的方法”这种论调表示遗憾。
按照这次会议,他写了在1905年米兰会议上公布的数学教学要目,后以《米兰纲领》而著称其要点是:
(1)教材的选择、排列应适于学生心理的自然发展;
(2)融合数学各分科,密切与其他各学科的关系;(3)不过分强调形式的训练,使用方面也应置为重点,以便充分发展学生对自然界和人类社会诸现象进行数学观察的能力;(4)为达到此目的,应将培养成函数思想和空间观察能力作为数学教学的基础。
3.数学教育现代化运动中提出的数学课程内容改革的要点有哪些?
答:
20世纪50年代后期开始大规模数学课程改革。
从美国兴起的这场数学教育改革运动,很快得到世界许多国家(我国等少数几个国家除外)的响应。
各国采取的途径不同,发展也很曲折。
数学课程内容改革的要点有:
⑴结构化——统一化。
以集合—关系—映射—运算、群—环—域—向量空间的代数结构为主线,把中学数学建成统一的数学。
⑵公理化——抽象化。
把集合论初步知识和公理化方法引入中学数学教材。
⑶现代化——通俗化。
增加近、现代数学内容,使用近、现代数学语言和符号;通俗化便于学生接受,利用生活中的事例作模型,帮助学生理解。
⑷几何代数化。
打破欧氏几何体系,重代数、轻几何,大量删减传统几何内容,用各种方法取代欧氏几何。
⑸精简传统数学内容。
被精简的传统数学内容,几何学最多,其次是开方、根式、无理函数和三角方程等。
⑹教学手段现代化。
计算器(机)既能帮助运算,又提供了辅助教学的现代化手段,它和数值分析、概率论、数理统计及函数的学习相结合,使数学教学出现了新面貌。
⑺教学方法多样化。
研究电化教学、程序教学和个别化教学,提倡“发现法”,教学方法趋向多样化。
三种课改类型:
第一种类型,始于美国,逐步波及英国及欧共体国家,他们的教材力求具备上述所有特点。
美国的《统一的现代数学》,60年代英国的SMP教材,比利时的Papy的课本,都是这一类型的代表。
第二种类型,基本上保留中学数学教材的传统体系,加进一些近、现代数学内容,如集合、映射、变换、向量、矩阵等,保留着代数、几何的分科。
对欧氏几何做了必要的精简,用新方法处理。
苏联的中学数学课本可作为这一类型的代表。
低三种类型,介于前两者之间的“中间型”。
它打破了单科独进的传统教学方式,将中学数学内容重新组合,增加概率、统计等新内容,混合编写为统一的新教材。
日本的中学数学课本就是这种类型的代表。
4.新中国成立以来,我国数学课程改革经历了哪几个主要阶段?
这几个阶段的主要特点各是什么?
答:
新中国成立以来,我国数学课程改革经历了6个主要阶段:
第一阶段(1949~1951年),改编、选用旧教材,包括老解放区课本,其中许多是西方的译本。
第二阶段(1952~1957年),翻译、改编苏联教材,先照搬苏联教材,然后再“中国化”。
第三阶段(1957~1966年),编写符合中国实际的教材的第一次探索与实践,1963年前后编写出版的教材具有重视基础知识、基本技能训练,科学性、思想性和系统性较强等特点,初步形成了具有中国特点的数学教材编写方式。
第四阶段(1966~1976年),“文化大革命”时期的教材,各地方自行编写教材。
第五阶段(1977~1988年),拨乱反正与改革开放初期编写统编教材,这一阶段主要是为了适应“教育要面向现代化,面向世界,面向未来”的要求,在继承“文化大革命”之前教材编写优良传统的基础上,以“精简、增加、渗透”为指导方针,编写适应改革开放需要的教材。
第六阶段(1989~2000年)编写与实施九年义务教育相适应的教材,这一阶段主要是为了适应“公民教育”的需要,强调“大面积提高教学质量”,为提高国民素质打基础,小学、初中教材初步实现“多样化”。
这几个阶段的主要特点有:
a.全面学习苏联,照搬苏联课程教材
1952年,为适应建国初期的政治形势,数学课程以当时苏联的数学教学大纲、数学教材为蓝本,通过编译、改编的方式,颁布和出版了《小学算术教学大纲(草案)》《中学数学教学大纲(草案)》及其相应的教材,我国课程教材完全进入“一纲一本”的时代,其主要特点是
⑴强调知识的系统性和严密性,知识面窄,理论深,代数中无理数和几何中无公度线段的阐述,以及二者的配合堪称典型。
⑵重视函数,小学就要求“理解数量和数量间的相依关系”,学习如何依已知数的变化而变化;初中各年级都要“注意那些数和数之间的相依关系”,以使学生打下学习函数的基础;高中学习基本初等函数。
⑶大量减少教学内容,没有解析几何、概率统计,把苏联中小学10年学习的内容拉长为12年。
⑷教材内容的安排,算术重复学习,学7年(苏联是6年);中学代数与几何采用直线式,与三角共学5年(苏联是4年)。
⑸在教学上,强调理解,要求学生“自觉地”掌握数学知识,不仅要知道是什么和怎么做,而且还要知道为什么。
⑹重视应用,小学要求“以算术课及其课外作业全部时间的一半左右来学习解答应用题”,应用题的选材“不应只以日常生活需要的范围为限,还可以加入些必须用特殊算法来解答的应用题。
”中学要求“应用数学知识去解决实际问题。
”
b.建设适合中国国情的课程教材的初次探索
“照搬”外国经验,存在严重的教条主义,受到批判。
为了纠正偏差,解决数学教材知识面窄、内容少、程度低的问题,从1957年开始,教育部决定调
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