高中数学 第二章 函数 21 函数 214 函数的奇偶性教案 新人教B版必修1.docx
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高中数学第二章函数21函数214函数的奇偶性教案新人教B版必修1
2019-2020年高中数学第二章函数2.1函数2.1.4函数的奇偶性教案新人教B版必修1
教学分析
本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的.教材沿用了处理函数单调性的方法,即先给出几个特殊函数的图象,让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识,然后利用表格探究数量变化特征,通过代数运算,验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立,最后在这个基础上建立了奇(偶)函数的概念.因此教学时,充分利用信息技术创设教学情境,会使数与形的结合更加自然.
三维目标
1.理解函数的奇偶性及其几何意义,培养学生观察、抽象的能力,以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力.
2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质,掌握判断函数的奇偶性的方法,渗透数形结合的数学思想.
重点难点
教学重点:
函数的奇偶性及其几何意义.
教学难点:
判断函数的奇偶性的方法与书写过程格式.
课时安排
1课时
导入新课
思路1.同学们,我们生活在美的世界中,有过许多对美的感受,请大家想一下有哪些美呢?
(学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……)今天,我们就来讨论对称美,请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢?
(学生举例,再在屏幕上给出一组图片:
喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志)生活中的美引入我们的数学领域中,它又是怎样的情况呢?
下面,我们以麦当劳的标志为例,给它适当地建立直角坐标系,那么大家发现了什么特点呢?
(学生发现:
图象关于y轴对称.)数学中对称的形式也很多,这节课我们就同学们谈到的与y轴对称的函数展开研究.
思路2.结合轴对称与中心对称图形的定义,请同学们观察图形,说出函数y=x2和y=x3的图象各有怎样的对称性?
引出课题:
函数的奇偶性.
推进新课
①如下图所示,观察下列函数的图象,总结各函数之间的共性.
②那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢?
填写下面两表,你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征?
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)=x2
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)=|x|
③请给出偶函数的定义?
④偶函数的图象有什么特征?
⑤函数f(x)=x2,x∈[-1,2]是偶函数吗?
⑥偶函数的定义域有什么特征?
⑦观察函数f(x)=x和f(x)=
的图象,类比偶函数的推导过程,给出奇函数的定义和性质?
活动:
教师从以下几点引导学生:
①观察图象的对称性.
②学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后,教师指出:
这样的函数称为偶函数.
③利用函数的解析式来描述.
④偶函数的性质:
图象关于y轴对称.
⑤函数f(x)=x2,x∈[-1,2]的图象关于y轴不对称;对定义域[-1,2]内x=2,f(-2)不存在,
即其函数的定义域中任意一个x的相反数-x不一定也在定义域内,即f(-x)=f(x)不恒成立.
⑥偶函数的定义域中任意一个x的相反数-x一定也在定义域内,此时称函数的定义域关于原点对称.
⑦先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称,再列表格观察自变量互为相反数时,函数值的变化情况,进而抽象出奇函数的概念,再讨论奇函数的性质.
给出偶函数和奇函数的定义后,要指明:
(1)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;
(2)由函数的奇偶性定义,可知函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称);(3)具有奇偶性的函数的图象的特征:
偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称;(4)可以利用图象判断函数的奇偶性,这种方法称为图象法,也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性,这种方法称为定义法;(5)函数的奇偶性是函数在定义域上的性质是“整体”性质,而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质是“局部”性质.
讨论结果:
①这两个函数之间的图象都关于y轴对称.
②填表如下.
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)=x2
9
4
1
0
1
4
9
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)=|x|
3
2
1
0
1
2
3
这两个函数的解析式都满足:
f(-3)=f(3);
f(-2)=f
(2);
f(-1)=f
(1).
可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数,它们对应的函数值相等,也就是说对于函数定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x).
③设函数y=g(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-x∈D,且g(-x)=g(x),
则这个函数叫做偶函数.
④偶函数的图象关于y轴对称.
⑤不是偶函数.
⑥偶函数的定义域关于原点轴对称.
⑦设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x),则这个函数叫做奇函数.奇函数的图象关于原点中心对称,其定义域关于原点轴对称.
思路1
例1判断下列函数是否具有奇偶性:
(1)f(x)=x+x3+x5;
(2)f(x)=x2+1;
(3)f(x)=x+1;(4)f(x)=x2,x∈[-1,3].
解:
(1)函数f(x)=x+x3+x5的定义域为R,当x∈R时,-x∈R.
因为f(-x)=-x-x3-x5=-(x+x3+x5)=-f(x),
所以函数f(x)=x+x3+x5是奇函数.
(2)函数f(x)=x2+1的定义域为R,当x∈R时,-x∈R.
因为f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x),
所以f(x)=x2+1是偶函数.
(3)函数f(x)=x+1的定义域是R,当x∈R时,-x∈R.
因为f(-x)=-x+1=-(x-1),-f(x)=-(x+1),
所以f(-x)≠-f(x),f(-x)≠f(x).
因此,f(x)=x+1既不是奇函数也不是偶函数.
(4)因为函数的定义域关于原点不对称,存在3∈[-1,3],而-3[-1,3],所以f(x)=x2,x∈[-1,3]既不是奇函数也不是偶函数.
点评:
在奇函数与偶函数的定义中,都要求x∈D,-x∈D,这就是说,一个函数不论是奇函数还是偶函数,它的定义域都一定关于坐标原点对称.如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称,那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的前提条件,即这个函数既不是奇函数也不是偶函数.
函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围,对定义域内任意x,其相反数-x也在函数的定义域内,此时称为定义域关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:
①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;
②确定f(-x)与f(x)的关系.
③作出相应结论:
若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;
若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.
变式训练
判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x4;
(2)f(x)=x5;
(3)f(x)=x+
;
(4)f(x)=
.
活动:
学生思考奇偶函数的定义,利用定义来判断其奇偶性.先求函数的定义域,并判断定义域是否关于原点对称,如果定义域关于原点对称,那么再判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x).
解:
(1)函数的定义域是R,对定义域内任意一个x,
都有f(-x)=(-x)4=x4=f(x),
所以函数f(x)=x4是偶函数.
(2)函数的定义域是R,对定义域内任意一个x,都有f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x),
所以函数f(x)=x5是奇函数.
(3)函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),对定义域内任意一个x,都有f(-x)=-x+
=-(x+
)=-f(x),
所以函数f(x)=x+
是奇函数.
(4)函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),
对定义域内任意一个x,
都有f(-x)=
=
=f(x),所以函数f(x)=
是偶函数.
例2研究函数y=
的性质并作出它的图象.
解:
已知函数的定义域是x≠0的实数集,即{x∈R|x≠0}.
由函数的解析式可以推知:
对任意的x值,对应的函数值y>0,函数的图象在x轴的上方;函数的图象在x=0处断开,函数的图象被分为两部分,且f(-x)=f(x),这个函数为偶函数;当x的绝对值变小时,函数值增大得非常快,当x的绝对值变大时,函数的图象向x轴的两个方向上靠近x轴.由以上分析,以x=0为中心,在x轴的两个方向上对称地选取若干个自变量的值,计算出对应的y值,列出x,y的对应值表:
x
…
-3
-2
-1
-
…
0
…
1
2
3
…
y
…
1
4
…
不存在
…
4
1
…
在直角坐标系中,描点、连成光滑曲线,就得到这个函数的图象,如下图所示.由图象可以看出,这个函数在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数.
点评:
当函数y=f(x)不是基本初等函数时,通常利用其性质来画其图象,即根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性来估计其图象的特点.
变式训练
画出函数y=
的图象.
解:
函数定义域是{x|x≠0},值域是{y|y≠0},因此其图象与两坐标轴均无交点.
又∵f(-x)=
=-
=-f(x).
∴函数y=
是奇函数,其图象关于原点对称.
利用描点法画出函数y=
在(0,+∞)上的图象,再作出该部分关于原点的对称图象,这两部分合起来就是函数y=
的图象.
如下图所示.
思路2
例1判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=x2,x∈[-1,2];
(2)f(x)=
;
(3)f(x)=
+
.
活动:
学生思考奇偶函数的定义和函数的定义域的求法.先判断函数的定义域是否关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.在(4)中注意定义域的求法,对任意x∈R,有
>
=|x|≥-x,则
+x>0.则函数的定义域是R.
解:
(1)因为它的定义域[-1,2]不关于原点对称,函数f(x)=x2,x∈[-1,2]既不是奇函数又不是偶函数.
(2)因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1},并不关于原点对称,函数f(x)=
既不是奇函数又不是偶函数.
(3)∵x2-4≥0且4-x2≥0,
∴x=±2,
即f(x)的定义域是{-2,2}.
∵f
(2)=0,f(-2)=0,
∴f
(2)=f(-2),f
(2)=-f
(2).
∴f(-x)=-f(x),且f(-x)=f(x).
∴f(x)既是奇函数也是偶函数.
点评:
本题主要考查函数的奇偶性.
定义法判断函数奇偶性的步骤是
(1)求函数的定义域,当定义域关于原点不对称时,则此函数既不是奇函数也不是偶函数,当定义域关于原点对称时,判断f(-x)与f(x)或-f(x)是否相等;
(2)当f(-x)=f(x)时,此函数是偶函数;当f(-x)=-f(x)时,此函数是奇函数;(3)当f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x)时,此函数既是奇函数又是偶函数.
变式训练
1.函数f(x)=2x2+x4,x∈[a,1+a]是偶函数,则实数a=________.
答案:
-
2.判断下列函数的奇偶性.
(1)y=x2,x∈[-1,1);
(2)y=x3+
;
(3)y=
.
答案:
(1)非奇非偶函数;
(2)奇函数;(3)偶函数.
例2已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数,对定义域内的任意x1、x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时f(x)>0,f
(2)=1,
(1)求证:
f(x)是偶函数;
(2)求证:
f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(3)试比较f(-
)与f(
)的大小.
分析:
(1)转化为证明f(-x)=f(x),利用赋值法证明f(-x)=f(x);
(2)利用定义法证明单调性,证明函数单调性的步骤是“去比赛”;(3)利用函数的单调性比较它们的大小,利用函数的奇偶性,将函数值f(-
)和f(
)转化为同一个单调区间上的函数值.
(1)证明:
令x1=x2=1,得f
(1)=2f
(1),∴f
(1)=0.
令x1=x2=-1,得f
(1)=f[-1×(-1)]=f(-1)+f(-1),∴2f(-1)=0.
∴f(-1)=0.∴f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x).
∴f(x)是偶函数.
(2)证明:
设x2>x1>0,则
f(x2)-f(x1)=f(x1·
)-f(x1)=f(x1)+f(
)-f(x1)=f(
).
∵x2>x1>0,∴
>1.∴f(
)>0,即f(x2)-f(x1)>0.
∴f(x2)>f(x1).
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(3)解:
由
(1)知f(x)是偶函数,则有f(-
)=f(
).
由
(2)知f(x)在(0,+∞)上是增函数,则f(
)>f(
).∴f(-
)>f(
).
点评:
本题是抽象函数问题,主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用.判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法,比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较.其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值.
变式训练
已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x、y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).
(1)求f
(1)、f(-1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由.
分析:
(1)利用赋值法,令x=y=1得f
(1)的值,令x=y=-1,得f(-1)的值;
(2)利用定义法证明f(x)是奇函数,要借助于赋值法得f(-x)=-f(x).
解:
(1)∵f(x)对任意x、y都有f(x·y)=yf(x)+xf(y),
∴令x=y=1时,有f(1·1)=1·f
(1)+1·f
(1).∴f
(1)=0.
∴令x=y=-1时,有f[(-1)·(-1)]=(-1)·f(-1)+(-1)·f(-1).∴f(-1)=0.
(2)是奇函数.
∵f(x)对任意x、y都有f(x·y)=yf(x)+xf(y),
∴令y=-1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1).
将f(-1)=0代入得f(-x)=-f(x),
∴函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数.
1.设函数y=f(x)是奇函数.若f(-2)+f(-1)-3=f
(1)+f
(2)+3,则f
(1)+f
(2)=__________.
解析:
∵函数y=f(x)是奇函数,∴f(-2)=-f
(2),f(-1)=-f
(1).
∴-f
(2)-f
(1)-3=f
(1)+f
(2)+3.∴2[f
(1)+f
(2)]=-6.∴f
(1)+f
(2)=-3.
答案:
-3
2.f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a=__________,b=__________.
解析:
∵偶函数定义域关于原点对称,∴a-1+2a=0.∴a=
.
∴f(x)=
x2+bx+1+b.又∵f(x)是偶函数,∴b=0.
答案:
0
3.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
解析:
f(6)=f(4+2)=-f(4)=-f(2+2)=f
(2)=f(2+0)=-f(0).
又f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0.∴f(6)=0.
答案:
B
问题:
利用图象讨论基本初等函数的奇偶性.
探究:
利用判断函数的奇偶性的方法:
图象法,可得
正比例函数y=kx(k≠0)是奇函数;
反比例函数y=
(k≠0)是奇函数;
一次函数y=kx+b(k≠0),当b=0时是奇函数,当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数;
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当b=0时是偶函数,当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数.
本节主要学习了函数的奇偶性,判断函数的奇偶性通常有两种方法,即定义法和图象法,用定义法判断函数的奇偶性时,必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称.
课本本节练习B 1、2.
单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点,而本节设计的题目不多,因此,在实际教学中,教师可以利用课余时间补充,让学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质.在教学设计中,注意培养学生的综合应用能力,以便满足高考要求.
奇、偶函数的性质
(1)奇偶函数的定义域关于原点对称;奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.
(2)奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个x都必须成立.
(3)f(-x)=f(x)f(x)是偶函数,f(-x)=-f(x)f(x)是奇函数.
(4)f(-x)=f(x)f(x)-f(-x)=0,f(-x)=-f(x)f(x)+f(-x)=0.
(5)两个奇函数的和(差)仍是奇函数,两个偶函数的和(差)仍是偶函数.
奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数,奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数;如果函数y=f(x)和y=g(x)的奇偶性相同,那么复合函数y=f[g(x)]是偶函数,如果函数y=f(x)和y=g(x)的奇偶性相反,那么复合函数y=f[g(x)]是奇函数,简称为“同偶异奇”.
(6)如果函数y=f(x)是奇函数,那么f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)上具有相同的单调性;如果函数y=f(x)是偶函数,那么f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)上具有相反的单调性.
(7)定义域关于原点对称的任意函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和,即f(x)=
+
.
(8)若f(x)是(-a,a)(a>0)上的奇函数,则f(0)=0;
若函数f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=f(|x|)=f(-|x|);
若函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数,则有f(x)=0.
2019-2020年高中数学第二章函数2.1.2函数的表示方法自我小测新人教B版必修1
1.下列图形是函数y=-|x|(x∈[-2,2])的图象的是( )
2.已知f=+,则f(x)等于( )
A.x2-x+1,x≠0B.+,x≠0
C.x2-x+1,x≠1D.1++,x≠1
3.函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数,a=f(-1.01),b=f(-1),c=f(1.5),则a,b,c的大小关系是( )
A.a<b<cB.b<a=cC.a=b<cD.a<b=c
4.已知f(x)=则f的值为( )
A.2B.4C.6D.8
5.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程.若纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下列四个选项中较符合该学生到校的图象的是( )
6.对a,b∈R,记max{a,b}=函数f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x∈R)的最小值是( )
A.0B.C.D.3
7.已知一个函数的部分对应关系由下表给出:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
则此函数的解析式可能为__________.
8.若定义运算a⊙b=则函数f(x)=x⊙(2-x)的值域是__________.
9.已知实数a≠0,函数f(x)=若f(1-a)=f(1+a),则a的值为__________.
10.已知函数f(x)=
(1)画出函数的图象;
(2)求f
(1),f(-1)的值.
分析:
分别作出f(x)在x>0,x=0,x<0上的图象,合在一起即得函数f(x)的图象.
11.某市住宅电话通话费为前3分钟0.20元(不足3分钟按3分钟计),以后每分钟0.10元(不足1分钟按1分钟计).
(1)在平面直角坐标系内,画出一次通话在6分钟内(包括6分钟)的通话费y(元)关于通话时间t(分钟)的函数图象;
(2)如果一次通话t分钟(t>0),写出通话费y(元)关于通话时间t(分钟)的函数关系式(可用<t>表示不小于t的最小整数).
参考答案
1.答案:
B
2.解析:
设=t,则x=,t≠1,
则f(t)=
+t-1=t2-t+1,t≠1.
所以f(x)=x2-x+1,x≠1.
答案:
C
3.解析:
a=[-1.01]=-2,b=[-1]=-1,c=[1.5]=1,
所以a<b<c.
答案:
A
4.解析:
由已知,得f=f+1=f+1=f+2=f+2=3×+2+2=2.
答案:
A
5.解析:
由题意知学生离学校越来越近,故排除选项A,C;又由于开始跑步,后来步行,所以体现在图象上是先“陡”后“缓”,故选D.
答案:
D
6.解析:
函数f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x∈R)的图象如图所示(实线部分),由图象可得,其最小值为.因此选C.
答案:
C
7.答案:
f(x)=x-1(答案不唯一)
8.解析:
由题意,得f(x)=
函数f(x)的图象如图所示.
由图象得函数f(x)的值域是(-∞,1].
答案:
(-∞,1]
9.解析:
当a>0时,f(1-a)=2(1-a)+a=2-a,
f(1+a)=-(1+a)-2a=-3a-1.
∵f(1-a)=f(1+a),
∴2-a=-3a-1,解得a=-(舍去).
当a<0时,f(1-a)=-(1-a)-2a=-a-1,
f(1+a)=2(1+a)+a=2+3a.
∵f(1-a)=f(1+a),∴-a-1=2+3a,解得a=-.
综上,a的值为-.
答案:
-
10.解:
(1)f(x)的图象如图所示.
(2)f
(1)=12=1,f(-1)=-=1.
11.解:
(1)函数图象如图所示.
(2)由
(1)知,话费与时间t的关系是分段函数.
当0<t≤3时,话费为0.20元;当t>3时,话费应为(0.20+<t-3>×0.10)元.
故y=
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