陈林华22.1.1二次函数的概念.ppt
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22.1.1二次函数,节日的喷泉给人带来喜庆,你是否注意过水流所经过的路线?
它会与某种函数有联系吗?
运动场上飞舞的跳绳,奥运赛场腾空的篮球,基础回顾什么叫函数?
在某变化过程中的两个变量x、y,当变量x在某个范围内取一个确定的值,另一个变量y总有唯一的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系。
对于上述变量x、y,我们把y叫x的函数。
x叫自变量,y叫自变量的函数。
目前,我们已经学习了那几种类型的函数?
二次函数,函数知多少,(下学期),正方体的六个面是全等的正方形,设正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为,问题1:
y=6x2,1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积s与半径r之间的关系式.2.n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式.,随堂练习,S=2r2+2r2即S=4r2,即,多边形的对角线数d与边数n有什么关系?
问题3:
由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有个顶点,从一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可以作条对角线.,n,(n-3),因为像线段MN与NM那样,连接相同两顶点的对角线是同一条对角线,所以多边形的对角线总数,M,N,即,问题3:
某工厂一种产品现在的产量是20件,计划今后两年增加产量。
如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示?
这种产品的原产量是20件,一年后的产量是件,再经过一年后的产量是件,即两年后的产量为,式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系,对于x的每一个值,y都有唯一的一个对应值,即y是x的函数。
即,y=20(x+1),y=20x+40x+20,20(1+x),20(1+x)(1+x),函数有什么共同点?
观察:
y=6x2,在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的。
定义:
一般地,形如y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a0)的函数叫做二次函数。
其中x是自变量,a为二次项系数,ax2叫做二次项,b为一次项系数,bx叫做一次项,c为常数项。
(1)等号左边是变量y,右边是关于自变量x的,(3)等式的右边最高次数为,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项。
注意:
(2)a,b,c为常数,且,(4)x的取值范围是任意实数。
整式。
a0.,2,(5)函数的右边是一个整式,二次函数的一般形式:
yax2bxc(其中a、b、c是常数,a0)二次函数的特殊形式:
当b0时,yax2c当c0时,yax2bx当b0,c0时,yax2,(一般式),1、说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项,
(1)y=-x2+58x-112,
(2)y=x2,2、指出下列函数y=ax+bx+c中的a、b、c,
(1)y=-3x2-x-1,(3)y=x(1+x),
(2)y=5x2-6,看谁反应快,1.解:
设宽为X,面积为y,则y=2x22.解:
y=2(1-x)2,P41第1,2题,2.解:
y=2(1-x)2.,2.解:
y=2(1-x)2.,2.解:
y=(30+x)(20+x)整理得y=x2+50x+600.,P29第2题,例题讲解,例1、下列函数中,哪些是二次函数?
若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。
(1)y=3(x1)+1
(2)y=x+(3)s=32t(4)y=(x+3)x(5)y=x(6)v=8r,解:
y=3(x-1)+1=3(x2-2x+1)+1=3x2-6x+3+1即,y=3x2-6x+4,是二次函数.,二次项系数:
一次项系数:
常数项:
3,-6,4,不是二次函数.,(3)s=3-2t是二次函数.,二次项系数:
一次项系数:
常数项:
-2,0,3,(4)y=(x+3)-x=x2+6x+9-x2即,y=6x+9,不是二次函数.,二次项系数:
一次项系数:
常数项:
8,0,0,不是二次函数.,(6)v=8r,是二次函数.,随堂练习,4.函数y=(m-n)x2+mx+n是二次函数的条件是()Am,n是常数,且m0Bm,n是常数,且n0Cm,n是常数,且mnDm,n为任何实数,BC,C,思考:
2.二次函数的一般式yax2bxc(a0)与一元二次方程axbxc0(a0)有什么联系和区别?
你知道吗,联系
(1)等式一边都是ax2bxc且a0
(2)方程ax2bxc=0可以看成是函数y=ax2bxc中y=0时得到的.,区别:
前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0,知识运用,m22m-1=2m+10m=3,例2:
m取何值时,函数y=(m+1)x+(m-3)x+m是二次函数?
解:
由题意得,一次函数y=kx+b(k0),其中包括正比例函数y=kx(k0),二次函数y=ax2+bx+c(a0),小结:
现在我们学习过的函数有:
可以发现,这些函数的名称都形象地反映了函数表达式与自变量的关系。
想一想,例题讲解,解:
(1)当m27=1且m+30即m=时是正比例函数。
(2)当m27=2且m+30即m=3时是二次函数。
易错题,已知函数y=(n-1)x+(n-2n-3)x-n-1
(1)当n为何值时,y是x的一次函数?
(2)当n为何值时,y是x的二次函数?
解:
(1)由n-1=0,n-2n-3=0解得n=1,n-1且n3当n=1时,y是x的一次函数
(2)由n-10,得n1.当n1时,y是x的二次函数,一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园,和墙垂直的一边长为Xm,菜园的面积为Ym2,求y与x之间的函数关系式,并说出自变量的取值范围。
当x=12m时,计算菜园的面积。
xm,ym2,xm,(40-2x)m,解:
由题意得:
Y=x(40-2x),即:
Y=-2x2+40x,(0x20),当x12m时,菜园的面积为:
Y=-2x2+40x-2122+4012192(m2),生活问题数学化,若函数y=x2m+n2xm-n+3是以x为自变量的二次函数,求m、n的值。
2m+n=2m-n=1,m=1n=0,2m+n=1m-n=2,m=1n=-1,2m+n=2m-n=2,m=4/3n=-2/3,2m+n=2m-n=0,m=2/3n=-4/3,2m+n=0m-n=2,m=2/3n=2/3,
(1)y=2x+1,
(2)y=-x-4,(5)y=-4x,(6)y=ax+1,(4)y=5x2,其中,一次函数有_,那么一次函数的一般形式是_,观察下列函数:
y=kx+b(k0),1.2.5,1.函数y=x+1,自变量是_,自变量的次数是_,y是x的_函数.,2.函数s=-2t-4,自变量是_,自变量的次数是_,s是t的_函数.,写出下列函数的表达式,1.圆的半径是r(cm)时,面积s(cm2)与半径之间的关系_,自变量是_,它的最高次数是_.,2.正方形的边长为a,如果边长增加2,新图形的面积s与a之间的函数关系式为_自变量是_,它的最高次数是_.,x,1,一次,一次,t,1,S=r2,S=(a+2)2,2,2,r,a,3.再看函数y=(x+1)2-4,自变量是_,自变量的最高次数是_,这些函数和以前学得函数有什么不同?
x,2,这些函数都是二次函数.,一元二次方程的一般形式:
(a,b,c是常数),我们把形如y=ax+bx+c(其中a,b,c是常数,a0)的函数叫做二次函数,a0,但b,c可以等于0X的最高次数是2次是整式,分母不含有未知数,根号里不含有未知数。
共有两个未知数变量X,y,1.下列函数中,哪些是二次函数?
是,不是,是,不是,先化简后判断,y-x2x,yx2-2x+1-x2,=-2x+1,巩固新知,2.下列函数关系式中,是二次函数的是()A.B.C.D.,y=2x,y=mx2,y=(a2+1)x2-ax+a(a是常数),D,3.下列函数关系式中,二次函数有()个.,y=(x+2)2-4x,y=(3x-1)2-9x2,y=ax2+bx+c,A.1个B.2个C.3个D.4个,B,4.把函数化成一般形式,写出各项系数。
y=(5x+7)(x-3)+2x-5=5x2-8x-21+2x-5=5x2-6x-26它是二次函数,二次项系数及常数项分别是5,-6,-26,解:
y=(5x+7)(x-3)+2x-5,巩固新知,5.指出下列函数的二次项系数,一次项系数,常数项分别是多少?
y=2(x-2)2+8x,y=-2-3x2,-3,0,-2,0,0,2,0,8,我们把形如y=ax+bx+c(其中a,b,c是常数,a0)的函数叫做二次函数,二次项:
ax2,一次项:
bx,一次项系数:
二次项系数:
a,b,c,常数项:
我们把形如y=ax+bx+c(其中a,b,c是常数,a0)的函数叫做二次函数,a0,但b,c可以等于0X的最高次数是2次是整式,分母不含有未知数,根号里不含有未知数。
共有两个未知数变量X,y,1.若y=(a2-1)x2是二次函数则,a的取值范围是_,能力提高,a1,2.关于x的函数是二次函数,求m的值.,注意:
二次函数的二次项系数不能为零,能力提高,如果它是二次函数,则m+1应该_0m2-m=_,所以m=_,2,2,3.若函数为二次函数,求m的值。
解:
因为该函数为二次函数,则,解
(1)得:
m=4或-1,解
(2)得:
所以m=4,
(2)它是一次函数?
(3)它是正比例函数?
(1)它是二次函数?
如果函数y=(k-3)+kx+1是二次函数,则k的值一定是_,敢于创新,0,如果函数y=+kx+1是二次函数,则k的值一定是_,0,3,知识的升华,已知函数
(1)k为何值时,y是x的一次函数?
(2)k为何值时,y是x的二次函数?
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- 陈林华 22.1 二次 函数 概念
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