高等数学2期末复习题与答案可编辑修改word版.docx
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高等数学2期末复习题与答案可编辑修改word版
《高等数学》2期末复习题一、填空题:
1.函数z=+ln(3-x2-y2)的定义域是1≦
X^2+Y^2<3.
2.设z=(1+x)y,则∂z=
∂y
(1+x)yln(1+x).
3.函数z=ln(1+x2+y2)在点(1,2)的全微分dz
=1dx+2dy
(1,2)33
4.设f(x+y,xy)=x2+y2,则f(x,y)=.
设f(x+y,y)=x2-y2,则f(x,y)=.
x
5.设z=eusinv
而u=xy
v=x+y
则∂z=
∂y
exy[xsin(x+y)+cos(x+y)]
6.函数
z=x2+y2
在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,2+
)的方向
导数是1+2
22y1
7.改换积分次序⎰0dy⎰y2f(x,y)dx=;⎰0dy⎰y-1
f(x,y)dx=.
8.若L是抛物线
y2=x上从点A(1,-1)到点B(1,1)的一段弧,则⎰xydx=
L
9.微分方程(1+e2x)dy+ye2xdx=0的通解为.二、选择题:
1.
lim
(x,y)→(2,0)
tan(xy)y
等于()(上下求导)
A.2,B.1
2
C.0D.不存在
2.函数z=
的定义域是(D)
A.{(x,y)x≥0,y≥0}
C.{(x,y)y≥0,x2≥y}
B.{(x,y)x2≥y}
D.{(x,y)x≥0,y≥0,x2≥y}
3.∂f(x,y)|
∂x
(x0,y0)
=(B)
A.lim
∆x→0
f(x0+∆x,y0+∆y)-f(x0,y0)
∆x
B.lim
∆x→0
f(x0+∆x,y0)-f(x0,y0)
∆x
C.lim
∆x→0
f(x0+∆x,y0+∆y)-f(x0+∆x,y0)
∆x
D.lim
∆x→0
f(x0+∆x,y0)
∆x
5.
设z=F(x2+y2),且F具有导数,则∂z+∂z=(D)
∂x∂y
A.2x+2y;B.(2x+2y)F(x2+y2);
C.(2x-2y)F'(x2+y2);D.(2x+2y)F'(x2+y2).
6.曲线
x=acost,y=asint,z=amt,在
t=处的切向量是(D)
4
A.(1,1,2)
B.(-1,1,2)
C.(1,1,
2m)
D.(-1,1,
2m)
7.对于函数f(x,y)=x2+xy
,原点(0,0)
(A)
A.是驻点但不是极值点B.不是驻点C.是极大值点D.是极小值点
8.设I=⎰⎰5
D
x2+y2-1dxdy,其中D是圆环1≤x2+y2≤4所确定的闭区域,
则必有()
A.I大于零B.I小于零C.I等于零D.I不等于零,但符号不能确定。
9.已知L是平面上不包含原点的任意闭曲线,若曲线积分
,则a等于().
A-1B1C2D-2
⎰L
xdx-aydy=0
x2+y2
10.若L为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段,则曲线积分⎰L(x+y)ds=()
A.0B.1C.D.2
11.设D为x2+y2≤2y,则⎰⎰f(x2+y2)dxdy=()
D
A.⎰0
dy⎰0
f(x2
+
y2
)dx;B.
0d⎰0
f(r2)
rdr;
2sin
C.d
f(r2)
rdr;D.⎰
dx⎰
f(x2+y2)dy.
12.微分方程ex(y'+y)=1的通解为()
A.yex=c;B.ye-x=x+c;C.y=(x+c)e-x;D.y=cxe-x
13.()是微分方程y'+y'=e-x在初始条件y
x=0=1,y'x=0=-1下的特解.
A.y=c-cxe-x;B.y=-xe-x;C.y=1-2xe-x;D.y=1-xe-x.
12
三、计算题:
1.设z=
f(exsiny,x3+y3),求
∂z及∂z,其中f具有一阶连续偏导数.
∂x∂y
⎧x+y=u+v
2.
⎩
设⎨xsinv=ysinu,求
∂u,∂v
∂x∂x
3.求旋转抛物面
z=x2+y2-1在点(2,1,4)处的切平面及法线方程。
4.求函数f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x的极值
5.计算⎰⎰D
半闭区域.
xy2dxdy,其中D是由圆周
x2+y2=4
及y轴所围成的右
6.计算⎰⎰D
形闭区域.
e-y2dxdy,其中D是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角
7.计算⎰⎰⎰Ωxdxdydz
,其中Ω是三个坐标面与平面
x+y+z=1
所围成的区域.
8.
⎰
计算(2x-y+4)dx+(3x+5y-13)dy,其中L为圆x2+y2=25的正向边界。
L
9.计算曲线积分
(y3+x)dy+(x3+y)dx,
⎰
L
其中L是从O(0,0)沿上半圆
x2+y2=2x
到A(2,0).
10.验证:
在整个xoy面内,4sinxsin3ycosxdx-3cos3ycos2xdy是某个函数的全微分,并求出这样的一个函数.
11.求微分方程(x2+1)y'+2xy=4x2
的通解.
12.求解微分方程的特解:
(y2-3x2)dy+2xydx=0,y(0)=1
13.解微分方程
yy'-(y')2+(y')3=0
.
四、应用题:
1.用钢板制造一个容积为V的无盖长方形水池,应如何选择水池的长、宽、高
才最省钢板.
2.已知矩形的周长为24cm,将它绕其一边旋转而构成一圆柱体,试求所得圆柱体体积最大时的矩形面积.
3.求抛物线y2=4x与曲线y=2x所围成的闭区域的面积.
4.
求抛物面z=6-x2-y2与锥面z=所围成的立体的体积.
一、填空题:
高等数学2期末复习题答案
1、{(x,y)1≤x2+y2<3}
2、(1+x)yln(1+x)
3、1dx+2dy
33
4、x2
-2y;
x2(1-y)1+y
5、exy
[xsin(x+y)+cos(x+y)]
6、1+2
(注:
方向导数∂f
∂l
=
1
(x0,y0)
fx(x0,y0)cos+fy
(x0,y0)cos)
4
x
7、⎰0dx⎰x
2
f(x,y)dy;
01+x
⎰⎰
-1dx0
f(x,y)dy+⎰0dx⎰0
f(x,y)dy
0
8、4(注:
⎰xydx=⎰x(-x)dx+⎰1xxdx=4)9、y2(1+e2x)=C
5L105
二、选择题:
1、A;2.D;3.B;4.缺5.D;6.D;7.A;8.A;9.A;10.C;
11.C;12.C;13.D
三、计算题:
1.解:
令u=exsiny,v=x3+y3,则
∂z=∂z⋅∂u+∂z⋅∂v=∂zexsiny+∂z3x2=exsiny⋅f'+3x2⋅f'
∂x∂u∂x∂v∂x∂u∂v12
∂z=∂z⋅∂u+∂z⋅∂v=∂zexcosy+∂z3y2=excosy⋅f'+3y2⋅f'
∂y∂u∂y∂v∂y∂u∂v12
2.解:
两方程分别两边对x求偏导数,注意u,v是关于x,y的二元函数,得
⎧1=∂u+∂v⎧∂u+∂v=1
⎪∂x∂x
即⎪∂x∂x
⎨∂v
sinv+xcosv
=ycosu∂u
⎨∂u
ycosu
-
xcosv∂v
=sinv
⎩⎪∂x∂x⎪⎩∂x∂x
这是以∂u,∂v为未知量的二元线性方程组。
∂x∂x
11
当J=
ycosu-xcosv
=-(xcosv+ycosu)≠0时,有
∂u=11=
xcosv+sinv,
∂xsinv
-xcosv
xcosv+ycosu
∂v=
11=-
sinv-ycosu
∂xycosu
sinv
xcosv+ycosu
3.解:
旋转抛物面z=x2+y2-1在点(2,1,4)处的切向量
n=(2x,2y,-1)(2,1,4)=(4,2,-1)
于是,所求切平面方程为
4(x-2)+2(y-1)-(z-4)=0,即
4x+2y-z-6=0
法线方程为
x-2=y-1=z-4
⎧∂f
4.
⎨
解:
解方程组⎪∂x
∂f
42-1
=3x2+6x-9=0
,
⎪=-3y2+6y=0
⎪⎩∂y
得四个驻点P1(1,0),P2(1,2),P3(-3,0),P4(-3,2).又
fx'x'=6x+6,
fx'y'=0,
fy'y=-6y+6.
对P(1,0),AC-B2>0,且A>0,则P(1,0)是函数的极小值点;
11
对P(1,2),AC-B2<0,则P(1,2)不是极值点;
22
对P(-3,0),AC-B2<0,则P(-3,0)不是极值点;
33
对P(-3,2),AC-B2>0,且A<0,则P(-3,2)是函数的极大值点.
44
于是,函数有极小值f(1,0)=1+3-9=-5,
极大值
f(-3,2)=-27-8+27+12+27=31.
5.
解:
利用极坐标变换,令x=rcos,y=rsin,则dxdy=rdrd,且D可表
示为:
0≤r≤2,
⎰⎰D
-≤≤.于是22
⎰⎰D
⎰0⎰
xy2dxdy=
rcos⋅r2sin2⋅rdrd=
r4dr
2cossin2d
-
2
=1r5
2
⋅1sin32
=64.
503
15
2
6.解:
三角形区域D由直线y=x,y=1及y轴围成,选择先对x积分,
⎰⎰e-y2dxdy=⎰1dy⎰ye-y2dx=⎰1ye-y2dy=-1e-y2
=1(1-e-1).
D000
202
(注:
此题也可以参看课本167页例2的解法)
7.解题过程见课本124页例1.
8.解:
P(x,y)=2x-y+4,Q(x,y)=3x+5y-13在L围成的圆域D:
x2+y2≤25上
全在连续的偏导数,∂P=-1,∂Q=3,从而∂Q-∂P=4.于是由格林公式,得
∂y∂x∂x∂y
⎰L(2x-y+4)dx+(3x+5y-13)dy=⎰⎰D4dxdy=4⎰⎰Ddxdy=4⋅25=100.
9.解:
P(x,y)=x3+y,
Q(x,y)=y3+x,有∂P=1=∂Q
在整个xoy平面上恒成
∂y∂x
立,所以曲线积分与路径无关,故可取x轴上线段OA作为积分路径.
OA的方程为y=0,且x从0变到2,dy=0,从而
(y3+x)dy+(x3+y)dx=
LOA
(y3+x)dy+(x3+y)dx
=⎰2x3dx=1x4
=4.
0
0
10.解:
P(x,y)=4sinxsin3ycosx,Q(x,y)=-3cos3ycos2x,有
∂P=4sinxcosx⋅3cos3y=6sin2xcos3y,
∂y
∂Q=-3cos3y⋅2(-sin2x)=6sin2xcos3y,
∂x
即有∂P=∂Q在整个
xoy平面上恒成立,因此在整个
xoy面内,
∂y∂x
4sinxsin3ycosxdx-3cos3ycos2xdy是某个函数的全微分.
取ARB为积分路径,其中各点坐标分别为A(0,0),R(x,0),B(x,y),得
=⎰-
(x,y)
u(x,y)(0,0)4sinxsin3ycosxdx3cos3ycos2xdy
=⎰AR4sinxsin3ycosxdx-3cos3ycos2xdy+⎰RB4sinxsin3ycosxdx-3cos3ycos2xdy
xyy
=⎰00dx+⎰0-3cos3ycos2xdy=-3cos2x⎰0cos3ydy
=-3cos2x⋅
1sin3y
30
=-sin3ycos2x.
11.解法一:
方程可改写为
y'+
2xy=
x2+1
4x2
x2+1
,这是一阶非齐次线性微分方程.
先求对应的齐次线性方程的通解.
由y'+2x
y=0,分离变量,得
dy=-
2xdx,两边积分,解得
y=C1.
x2+1
x2+1
yx2+1
用常数变易法,将
C1换成
C(x).即
y=C(x),
x2+1
y'=
1C'(x)-2xC(x).
x2+1(x2+1)2
代入原方程,化简得
C'(x)=4x2.故
C(x)=4x3+C.
3
于是方程的通解为y=
143+C).
x2+1(3x
解法二:
方程可改写为
y'+
2xy=
x2+1
4x2
.
x2+1
这是一阶非齐次线性微分方程,其中P(x)=
2xx2+1
Q(x)=
4x2
x2+1
.利用通解公式
y=e
-⎰P(x)dx
(⎰Q(x)e⎰P(x)dxdx+C)=e
-
2xdx
x+1(⎰
4x2
2
2xdx
ex+1
dx+C)
=14x22
x+1
143
x2+1[⎰x2+1⋅(x
+1)dx+C]=(x
x2+13
+C).
12.课本212页第8题第
(1)小题。
x2
xdxx
解:
原方程可写成
1-3
y2
+2
ydy
=0.令u=,即
y
x=yu,有
dx=u+ydu,则原方程成为
dydy
1-3u2+2u(u+ydu)=0,分离变量,得
dy
2uu2-1
du=dy.两边积分,得u2-1=Cy.
y
代入u=x并整理,得通解
y
x2-y2=Cy3.
由初始条件x=0,y=1,得
C=-1.于是所求特解为
y3=y2-x2.
13.解题过程见课本212页例5.
四、应用题:
1.
解法一:
设水池的长、宽、高分别是x,y,z.已知xyz=V,从而高z=V,水
xy
池表面的面积
S=xy+2(xz+yz)=xy+2V(1+1)
xy
S的定义域D={(x,y)0 这个问题就是求二元函数S在区域D内的最小值. ⎧∂S=y+2V(-1)=y-2V =0, ⎪∂xx2x2 ∂S 解方程组⎨ ⎪=x+2V(- 1)=x-2V=0. 在区域D内解得唯一得驻点 (32V,32V). ⎪⎩∂yy2y2 根据实际问题可知最小值在定义域内必存在,因此可断定此唯一驻点就是最小 值点.即当长,宽均为,高为时,水池所用材料最省. 2 解法二: 设水池的长、宽、高分别是x,y,z.已知xyz=V,水池表面的面积 S=xy+2(xz+yz) S的定义域 D={(x,y,z) x>0,y>0,z>0}.此题就是求函数 S=xy+2(xz+yz)在约束条件xyz=V下的最小值. 构造拉格朗日函数 L=xy+2(xz+yz)+(xyz-V). 解方程组 ⎧∂L=y+2z+yz=0,即xy+2xz+xyz=0 (1) ∂x ⎪=x+2z+xz=0,即xy+2yz+xyz=0 (2) ⎪∂y ∂L ⎨ ⎪=2x+2y+xy=0,即2xz+2yz+xyz=0(3) ⎪∂z ∂L ⎪ ⎪ ⎪=xyz-V=0.(4) ⎩∂ 比较 (1), (2),(3)式,得x=y=2z,代入(4)式中,有x3=2V,即x=. 33 于是,x,y,z只有唯一一组解ç 2V,2V,. 2 ⎝⎭ 由问题的实际意义最小值在定义域内必存在.因此,函数S在其唯一驻点 33 2V,2V, 2 ⎪处必取得最小值. ⎝⎭ 故当长方形水池的长,宽,高分别是 2.解题过程见课本98页例4. 3.利用二重积分求闭区域的面积 32V,32V, 2 时所用材料最省. 解: 所求区域的面积为 A=⎰⎰D dxdy,其中D为抛物线y2=4x与曲线y=2x 所围成的闭区域.两曲线交于两点(0,0),(1,2).选择先对x积分,于是, A=⎰⎰ dxdy=⎰ y dy⎰2dx= 1⎰2 (2y-y2)dy=1⨯4=1. 2 D0y20 4 433 4.利用三重积分计算立体的体积. 解法一: 所求立体的体积为 V=⎰⎰⎰Ωdxdydz,其中Ω是抛物面 z=6-x2-y2与锥面z= 所围成的立体. 利用直角坐标计算.由 z=6-x2-y2与z= 消去z,解得 =2,即Ω在xoy面上的投影区域D为圆域x2+y2≤4.于是 Ω={(x,y,z)≤z≤6-(x2+y2),x2+y2≤4}. 因此V=⎰⎰⎰Ωdxdydz=⎰⎰Ddxdy⎰ y2) dz =⎰⎰D [6-(x2+y2)- x2+y2]dxdy (用极坐标) =⎰2d⎰2(6-r2-r)⋅rdr=2(3r2-1r4-1r3)=32. 004303 解法二: 所求立体的体积为 V=⎰⎰⎰Ω dxdydz,其中Ω是抛物面z=6-x2-y2与 锥面z= 所围成的立体. 利用柱面坐标计算.由z=6-x2-y2与z= 消去z,解得 =2,即Ω在xoy面上的投影区域D为圆域x2+y2≤4.于是,在柱面坐标变换下 Ω={(r,,z)r≤z≤6-r2,0≤r≤2,0≤≤2}. 因此V=⎰⎰⎰Ωdxdydz=⎰0 26-r2 d0drr rdz =2⎰2r⋅(6-r2-r)dr=2(3r2-1r4-1
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