完备版版高职专升本第二章导数及其应用习题及答案docx.docx
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应用数学习题集
第二章导数及其应用
一.选择题
1
.若f(x)在x0
处可导,则以下结论错误的是(
D
)。
A
f(x)在x0
处有极限;
B
f(x)在x0处连续;
C
f(x)在x0
处可微;
D
f'(x)
lim
f(x)必成立。
x
x
2
.若f(x)在x0
处可导,则(
B
)是错误的。
(02-03电大试题)
A函数f(x)在点x0处有定义;
B
limf(x)
A,但A
f(x0);
x
x0
C函数f(x)在x0
处连续;
D
函数f(x)在x0处可微。
3
.f(x)在x0
处不连续,则
f(x)在x0
处(
A
)
A必不可导;
B有时可导;
C必无定义;
D必无极限。
4
.函数f(x)=|2x|在x=0
处的导数(
D
)。
A
等于0;
B
等于2;
C等于-2;
D
不存在。
5
.函数f(x)=|sinx|
在点x=0
处的导数(
D
)。
A
等于-1;
B
等于0;
C等于1
;
D
不存在。
6.yln|x|,则y’=(B
)。
A
1
;
B
1;
C
1;
D
1。
|x|
x
x
|x|
7
.曲线y=sinx
在点(0,0)
处的切线方程是(
C
)。
Ay=2x
By
1x
Cy=x
Dy=-x
2
8
.f(x)
xcosx,则f"(x)=(
D
)。
(02-03
电大试题)
A
cosx+xsinx
B
cosx-xsinx
C
2sinx+xcosx
D-2sinx-xcosx
9
.函数中在[1,e]上满足Lagrange
定理条件的函数是(
B
)。
Ay=ln(lnx)
;
By=lnx
;
Cy=
1
;
Dy=ln(2-x)。
lnx
10.若f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)
内可导,Lagrange
定理的结论是至少存在一点ξ,
使(
A)。
1
A
f'()
f(b)
f(a)
;
B
f'(
)
;
ba
f(b)
f(a)。
C
f(b)
f(a)
f'()(ba);
D
f'(
)
11.f'(x0)
0,则x0是函数f(x)的(
D)。
(02-03
电大试题)
A.极大值点;
B.最大值点;
C.极小值点;
D.驻点。
12.x0是连续函数
f(x)在(a,b)
内的极小值点,则(
C
)。
A必有f'(x0)
0;
B
f'(x0)
必不存在;
Cf'(x0)
0或f'(x0)不存在;
Dx∈(a,b)
时,必有f(x)
f(x0)。
13.y=arctane
x,则dy=
(
C)。
A
ex
;
B
1
;
C
exdx
;
D
dx
。
1e2x
1e2x
1e2x
1e2x
14.设f(x)
x
cosx2,则f'(x)=(
C
)。
A1-sinx
2;
B1+sinx
2;
C1-sinx
2·2x;
D(1-sinx
2)·2x。
15.设f(t)
t
,则f'(t)=(
B
)。
t2
1
A
1;B
t2
1
;
C
3t2
1
;D
t2
1。
2t
(t2
1)2
(t2
1)2
t2
1
16.limax
xa
(a
0)的值是(
D
)。
xa
x
a
A0;
B1;C∞;
Daa(lna1)。
17.若x1
与x2分别是函数
f(x)在(a,b)
内的一个极大点和一个极小点,则(
D)必成立。
Af(x1)
f(x2);
B
f'(x1)
f'(x2)0;
C
对x∈(a,b)
,
f
x
f
(
x1
),
f(x)
f(x2)
;D
f'(x1)
、
f'(x2)
可能为
0,也可能不存在。
()
18
若lim
f(x)
f(x0)
1,则f(x0)一定是f(x)的(D
)。
(xx0)
2
xx0
A最大值;
B极小值;
C最小值;
D极大值。
二.填空题:
1.已知f(x)=lnx,则lim
0
ln(xx)
lnx=
1
。
x
x
x
2
2
.若函数y
ln
3,则y’=0。
3
.曲线y=x
3+4
在点(0,4)
处的切线平行于
x轴。
4
.抛物线y=x2在点(1/2,1/4)
处的切线的倾斜角是
45°。
5
.已知f(x)=x·sinx,则f"()=2
。
6
.方程exy
xy所确定的隐函数的导数
dy=
y。
dx
x
7
.若函数f(x)在x=0处可微,则limf(x)=
f(0)
。
x
0
8
.dln(sinx)=cotxdx。
9
.dln(cosx)=
tanxdx。
10
.d(sinex)
excosexdx。
11
.半径为x的金属圆片,面积为S(x)。
加热后半径伸长了△x,应用微分方法求出△
S≈S’(x)△x
。
12
.lim
lnx
0
。
e
x
x
13
.函数y=arctan(x
2+1)的递增区间是(0,
)。
14
.函数y=ln(2x
4+8)的递减区间是(
0)
。
15
.函数y=sinx-x
在其定义域内的单调性是
单调减少。
16
.极值存在的必要条件:
如果
f(x)在点x0处取得极值且在点
x0处可导,则f(x)
0。
17
.若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)
内f
'(x)
0,则函数的最小值为f(b)。
18
.设函数y
f(x)二阶可导,若f'(x0)
0、f"(x0)0,则f(x0)是f(x)的极大值。
19
.已知生产某种产品的成本函数为
C(q)
80
2q,则产量q
50时,该产品的平均成本为3.6
。
20
.微分近似计算函数值公式
f(x
x)
f(x)
f'(x)x。
三、解答题:
1.求函数y
1
1
的导数。
x
1
x
1
解:
因为y
1
x
1
2
,所以
1
1
x1
x
3
y'
2(
1)
2
。
(1
x)2
(1x)2
2.求函数
y
lnx
的导数。
sinx
(lnx)'sinx
lnx(sinx)'
1sinxlnxcosx
xlnxcosx
解:
y'
x
sinx
sin2
x
sin2x
。
xsin2x
3.求函数y
xex
cosx的导数。
解:
y'
excosx
xexcosxxexsinx
ex(cosxxcosx
xsinx)。
4.求方程
解:
曲线
yx2在点(3,9)处的切线方程。
yx2在点(3,9)处的切线的斜率为yx2在点(3,9)处的导数
因为y'|x
3
2x|x3
6,所以切线的方程为
y
9
6(x
3)
即
6x
y
9
0
5.求函数y
sin2
xcos2x的导数。
解:
y'
2sinx(sinx)'cos2xsin2
x(sin2x)2
2sinxcosxcos2x
2sin2
xsin2x
2sinx(cosxcos2x
sinxsinx2x)2sinxcos3x。
6.求函数y
lntanx的导数。
1
2
x
1
1
1
解:
y'
sec2
x
。
x
2
2
x
sinx
tan
2sin
cos
2
2
2
7.求函数
y
1
的导数。
cosn
x
nsinx
解:
y'
(cos
nx)'
ncos
n1x(cosx)'
。
cosn1x
8.利用对数求导法求函数
y(cosx)sinx的导数。
解:
两边取自然对数,得
lny
sinxlncosx
两边对x求导,得
4
y'
cosxlncosx
sinx
y
sinx
cosx
y'
y(cosxlncosx
sinxtanx)
(cosx)sinx(cosxlncosxsinxtanx)。
9.利用对数求导法求函数
y
(sinx)lnx的导数。
解:
两边取自然对数,得
lnylnxlnsinx
两边对x求导,得
y'
1lnsinx
lnx
cosx
y
x
sinx
y'
y
1lnsinx
lnxcotx(sinx)lnx1lnsinxlnxcotx
x
x
10.求方程xy
yx所确定的隐函数的导数
dy。
dx
解:
两边取自然对数,得
ylnx
xlny
两边对x求导,得
y'lnx
y1
lny
x
y'
x
y
整理,得
dy
y(xlny
y)
dx
x(ylnx
。
x)
11.求方程arctany
ln
x2
y2所确定的隐函数的导数
dy。
x
dx
解:
两边对x求导,得
1
y'xy
1
2x
2yy'
1
y
2
x2
x2y2
2x2y2
x
整理,得
dy
x
y
dx
x
。
y
12.求方程xey
yex所确定的隐函数的导数
dy。
解:
两边对x求导,得
dx
ey
xeyy'
y'ex
yex
5
整理,得
13.己知函数
dyeyyex
dxexxey
yxex,求y(n)。
解:
因为y'
ex
xex
ex(x
1),
y''ex(x1)ex
ex(x2),
y'''ex(x2)ex
ex(x3),
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
所以,
y
(n)
e
x
(
x
)
n
14.已知y(n
2)
x
,求y(n)。
lnx
lnx
x
1
解:
y
(n
1)
x
lnx
1
,
ln
2
x
ln2
x
1
ln2
x
(lnx
1)2lnx
1
2
lnx
y
(n)
x
x
ln4
x
。
xln3x
15.求函数y
arcsin
x的微分。
解:
dy
d(arcsin
x)
1
d(
x)
dx
1
2
。
x
x(1x)
16.求函数y
ecotx的微分。
解:
dy
d(ecotx)
ecotxd(cotx)
ecotxcsc2xdx。
17.半径为10cm
的金属圆片,加热后半径伸长了
0.05cm
,求所增加面积的精确值与近似值。
解:
S
(r
r)2
r2
2rr
(r)2,dSd(r2)2rdr。
当r10,dr
r
0.05时,
S
1.0025
,dS
。
即增加面积的精确值为
1.0025
,近似值为
。
18.判断函数f(x)
lnx在区间[1,e]上是否满足Lagrange
定理?
如果满足就求出定理中的。
解:
因为f(x)
lnx是初等函数,
f(x)在其定义域(0,
)内连续可导,所以f(x)在区间[1,e]上
连续,在区间(1,e)内可导,满足
Lagrange
定理条件。
因而在区间(1,e)内至少存在一点
,使得
f'()
1
lne
ln1
1
e
1
e
1
6
即e1。
19.利用L’Hospital法则求极限limxlnx。
xxlnx
xlnx
1
1
解:
lim
型
lim
x
x
xlnx
x
1
lnx
x
x
x
1
型
lim
1
。
lim
0
x
xlnx
x
x
lnx2
20.利用L’Hospital法则求极限lim
lntan5x。
x0
lntan8x
解:
limlntan5x
型
x0lntan8x
1
sec25x5
5lim
sin16x
5
16
lim
tan5x
1
x0
1
2
8x0
sin10x
8
10
tan8x
sec8x8
21.利用L’Hospital法则求极限limxx。
x
0
解:
l
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