《信号与系统引论》郑君里版第一章课后答案解析.docx
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《信号与系统引论》郑君里版第一章课后答案解析
第
1-1分别判断图1-1所示各波形是连续时间信号还是离散时间信号,
若是离散时间信
丰f(t)
4
3
1
2
-——
1
—
k
3,4值
只取1,2,
0
t
(b)
⑴
f(t)
图1-2
解信号分类如下:
(a)连续信号(模拟信号);
(b)连续(量化)信号;
(c)离散信号,数字信号;
(d)离散信号;
(e)离散信号,数字信号;
(f)离散信号,
数字信号。
1-2分别判断下列各函数式属于何种信号?
(重复1-1题所示问)
(1)eatsin(t);
(2)enT;
(3)cos(n);
(4)sin(n。
)(o为任意值);
2
(5)1。
2
解
由1-1题的分析可知:
(1)连续信号;
(2)离散信号;
(3)离散信号,数字信号;
(4)离散信号;
(5)离散信号。
1-3分别求下列各周期信号的周期T:
(1)cos(10t)cos(30t);
(2)ej10t;
2
(3)[5sin(8t)];
(4)
(1)nu(tnT)u(tnTT)(n为整数)。
n0
解判断一个包含有多个不同频率分量的复合信号是否为一个周期信号,需要考察各分量信号的周期是否存在公倍数,若存在,则该复合信号的周期极为此公倍数;若不存在,则该复合信号为非周期信号。
(1)对于分量cos(10t)其周期Ti;对于分量cos(30t),其周期T2。
由于一
5155
为人、T2的最小公倍数,所以此信号的周期
(4)由于
图1-3
1-4对于教材例1-1所示信号,由f(t)求f(-3t-2),但改变运算顺序,先求f(3t)或先求
f(-t),
讨论所得结果是否与原例之结果一致。
图1-4
图1-5
(式中to,a都为正值)?
1-5已知f(t),为求f(toat)应按下列那种运算求得正确结果
(1)f
『(at)左移to;
(2)f
『(at)右移to;
(3)f
『(at)左移®;
a
(4)f
『(at)右移
a
f(atato),所以采用此种运
解
(1)因为f(at)左移to,得到的是fa(tto)
算不行。
1-6绘出下列各信号的波形:
1
(1)1-sin(t)sin(8t);
(2)1sin(t)sin(8t)。
1
解
(1)波形如图1-6所示(图中f(t)1-sin(t)sin(8t))2
卓f(t)
(2)波形如图所示1-7(图中f(t)1sin(t)sin(8t))
1-7绘出下列各信号的波形:
4
(1)u(t)u(tT)sin(—t);
4
(2)u(t)2u(tT)u(t2T)sin(t)。
4T
解sin(〒t)的周期为-。
4
(1)波形如图1-8(a)所示(图中u(t)u(tT)sin(t))。
在区间0,T,内,包
4
u(t)2u(tT)u(t2T)sin(t))。
在区间T,2T
1-8试将教材中描述图1-15波形的表达式(1-16)和(1-17)改用阶越信号表示。
解表达式(1-16)为
这是一个分段函数。
若借助阶越信号,则可将其表示为
表达式(1-17)为
借助阶越信号,可将其表示为
t1at1at1a(tt)
f()d-(1e)[u(t)u(tto)]—(1e)-[1e(0)]u(tt。
)
aaa
1(aeat)u(t)-[1ea(tto)]u(tt°)
aa
1-9粗略绘出下列各函数式的波形图:
(1)
f(t)
(2et)u(t);
(2)
f(t)
t2t
(3e6e)u(t);
(3)
f(t)
(5et5e3t)u(t);
(4)
f(t)
etcos(10t)[u(t1)u(t2)]
图1-9
(1)信号波形如图1-9(a)所示
(2)信号波形如图1-9(b)所示
(3)信号波形如图1-9(c)所示
(4)信号波形如图1-9(d)所示。
在区间[1,2]包含cos(10t)的5个周期
解(a)由图1-10(a)可写出
1
1t(2t0)
2
1
f(t)12(0t2)
0(其它)
于是f(t)1号[u(t2)u(t2)]
(b)由图1-10(b)可写出
0
(t
0)
1
(0t
1)
f(t)
2
(1t
2)
3
t
2
于是f(t)
[u(t)
u(t1)]2[u(t1)u(t2)]3u(t2)u(t)u(t1)u(t2)
实际上,可看作三个阶越信号u(t),u(t1),u(t2)的叠加,见图1-11,因而可直接
图1-11
f(t)u(t)u(t1)u(t2)
(c)由图1-10(a)可写出
f(t)Esin〒t(0tT)
0(其它)
于是f(t)Esin—t[u(t)u(tT)]
T
1-11绘出下列各时间函数的波形图:
(1)tetu(t);
(2)e(t1)[u(t1)u(t2)];
(3)[1cos(t)][u(t)u(t2)];
(4)u(t)2u(t1)u(t2);
(5)sina(tt°);
a(tt°)'
(6)d[etsintu(t)]。
dt
解
(1)信号波形如图1-12(a)所示,图中f(t)tetu(t)
t1
costu(t)—cost
<24
所以该信号是衰减正弦波。
其波形如图1-12(f)所示,图中f(t)—[etsintu(t)]。
dt
1-12绘出下列各时间函数的波形图,注意它们的区间:
(1)t[u(t)u(t1)];
(2)tu(t1);
(3)t[u(t)u(t1)]u(t1);
(4)(t1)u(t1);
(5)(t1)[u(t)u(t1)];
(6)t[u(t2)u(t3)];
(7)(t2)[u(t2)u(t3)]
图1-13
(2)信号波形如图1-13(b)所示,图中f(t)tu(t1)。
(3)信号波形如图1-13(c)所示,图中f(t)t[u(t)u(t1)]u(t1)
(4)信号波形如图1-13(d)所示,图中f(t)(t1)u(t1)
(5)信号波形如图1-13(e)所示,图中f(t)
(t1)[u(t)u(t1)]
(6)信号波形如图1-13(f)所示,图中f(t)
t[u(t2)u(t3)]
(7)信号波形如图1-13(g)所示,图中f(t)
(t2)[u(t2)u(t3)]
1-13绘出下列各时间函数的波形图,注意它们的区别:
(1)
f1(t)
sin(
t)
u(t);
(2)
f2(t)
sin(
(t
to))u(t);
(3)
f3(t)
sin(
t)
U(tto);
(4)
f1(t)
sin(
(t
to))U(tto)
(c)
(d)
图1-14
(2)信号波形如图1-14(b)所示。
(3)信号波形如图1-14(c)所示。
(4)信号波形如图1-14(d)所示。
1-14应用冲激函数的抽样特性,求下列表示式的函数值:
(1)f(tto)(t)dt;
(2)f(tot)(t)dt;
(3)(tto)u(t])dt;
2
(4)(tto)u(t2to)dt;
(5)(ett)(t2)dt;
(6)(tsint)(tgdt;
(7)ejt[(t)(tto)]dto
解有冲激信号的抽样特性f(t)(tto)dtf(to)得
(1)f(tto)(t)dtf(to)
(2)f(tot)(t)dtf(to)
(3)
设to
0,则
(tto)u(t
》dtuto
toto
u1
22
(4)
设to
0,则
(tto)u(t
2to)dtu(t
o)o
(5)
(e
tt)(t
2
2)dte
2
(6)
(t
sint)(t
i)d,6
sin——
66
1
2
(7)
ej
t[(t)
(tto)]dt
1ejto
此题的(3)
、(4)两小题还可用另一种方法求解:
(3)
冲激
(tto)位于to处,阶越信号ut—
2
始于®,因而
2
(t
to)Ut
to
(tto)
2
则原式=
(tto)dt1
(4)冲激仍位于to,而U(t2to)始于2to,也就是说在to处,U(tto)0,因而
(tto)u(t2to)0
则原式=OdtO
1-15电容G和C2串联,以阶越电压源v(t)Eu(t)串联接入,试分别写出回路中的电流i(t),每个电容两端电压Vd(t)、Vc2(t)的表达式。
i(t)
+o口►
二GviLi(t)JiL2(t)
厂\[
v(t)i(t)丿5LiL2
丿丄\\
二C2
图1-15图1-16
解由题意可画出如图1-15所示的串联电路,两电容两端的电压分别为vC1(t),vC2(t),则回路电流
i(t)C1C2C1C2E(t)其中,C1C2为G、C2的串联等效电容值。
C1C2dtC1C2C1C2
再由电容的电流和电压关系,有
1tc2e
Vd(t)i(t)dt2u(t)
C1C1C2
Vc2(t)丁i(t)dtC^u(t)
C2C1C2
1-16电感L1与L2并联,以阶越电流源i(t)Iu(t)并联接入,试分别写出电感两端电
压v(t)、每个电感支路电流咕⑴、心⑴的表示式。
则电感两端电压
其中LlL2为Li、L2的并联等效电感值
LiL2
再由电感的电流和电压关系,有
iLi(t)-1tv(t)dtu(t)
L1L1L2
iL2(t)[七v(t)dt耳u(t)
L2L1L2
1-17分别指出下列各波形的直流分量等于多少?
(1)全波整流f(t)sin(t);
(2)f(t)sin2(t);
(3)f(t)cos(t)sin(t);
(4)升余弦f(t)K[1cos(t)]。
2
解
(1)sin(t)的周期为一,sin(t)的周期为一,因而f(t)的直流分量
T
fDT0f(t)dt—0sin(t)dt—cos(t)|°——(11)—
211
(2)f(t)sin2(t)cos(2t)由于cos(2t)在一个周期内的平均值为0,因而
1
f(t)的直流分量fD-。
22
(3)f(t)的两个分量cos(t)和sin(t)的周期均为一,因而的周期也为一。
但
由于cos(t)和sin(t)在一个周期内的均值都为0,所以f(t)的直流分量fD0。
(4)f(t)与
(2)中f(t)类似,所以fDK,理由同
(2)。
1-18粗略绘出图1-17所示各波形的偶分量和奇分量
解(a)信号f(t)的反褶f(t)及其偶、奇分量fe(t)、fo(t)如图1-18(a)、(b)、
(b)因为f(t)是偶函数,所以f(t)只包含偶分量,没有奇分量,即
fe(t)f(t),fo(t)0
(c)信号f(t)的反褶f(t)及其偶、奇分量fe(t)、fo(t)如图1-19(a)、(b)、
(c)所示。
(d)信号f(t)的反褶f(t)及其偶、奇分量fe(t)、fo(t)如图1-20(a)、(b)、(c)
图1-20
1-19绘出下列系统的仿真框图:
-J
(1)一r(t)a°r(t)b°e(t)S—e(t);
dtdt
d2dd
(2)pr(t)a1—r(t)a°r(t)b°e(t)d二e(t)。
dtdtdt
解
(1)选取中间变量q(t),使之与激励满足关系:
a°q(t)e(t)①
dt
将此式改写成°型e(t)a°q(t),易画出如图1-21(a)所示的方框图。
再将①代
dt
入原微分方程,有
r'(t)a°r(t)b°[q'(t)a°q(t)]d[q"(t)a°q'(t)]b°q'(t)dq"(t)a。
b°q(t)dq'(t)
对比两边,可以得到q(t)与r(t)之间的关系式:
r(t)boq(t)dq'(t)
将此关系式在图1-21(a)中实现,从而得到系统的仿真框图,如图1-21(b)所示
图1-21
(2)方法同
(1)。
先取中间变量q(t),使q(t)与e(t)满足:
q"(t)ag'(t)a°q(t)e(t)
将②式代入原微分方程后,易看出q(t)与r(t)满足:
r(t)b°q(t)dq'(t)
将②、③式用方框图实现,就得到如图1-22所示的系统仿真框图
bi
ao
图1-22
1-20判断下列系统是否为线性的、时不变的、因果的?
(1)r(t)讐;
dt
(2)r(t)e(t)u(t);
(3)r(t)sin[e(t)]u(t);
(4)r(t)e(1t);
(5)r(t)e(2t);
2
(6)r(t)e(t);
t
(7)r(t)e()d;
5t
(8)r(t)e()d
解
(1)由于
ei(t)r't)
dt
de2(t)
e2(t)D(t)
dt
而C1e1(t)C2e2(t)C1r1(t)C2r2(t)C1-^L(^r2(t)C2
dtdt
所以系统是线性的。
当e(t)r(t)吏®,而激励为e(tt。
)时,响应为
dt
de(tto)
dt
de(tt0)r(tto)
d(tto)
所以系统是时不变的。
由r(t)空®可知,响应r(t)只与此时的输入e(t)有关,与这之前或之后的输入都无dt
关,所以系统是因果的。
(2)由于
8(t)n(t)e(t)u(t)
e2(t)D(t)e2(t)u(t)
而C1e1(t)C2e2(t)C1e1(t)u(t)C2e2(t)u(t)Cgt)C2r2(t)
所以系统是线性的。
由于当e't)u(t1)u(t1)时,口⑴u(t)u(t1)
而e^t)e1(t1)u(t)u(t2)时,Q(t)u(t)u(t2)n(t1),
即当激励延迟1个单位时,响应并未延迟相同的时间单位,所以系统是时变的。
由r(t)e(t)u(t)可知,系统只与激励的现在值有关,所以系统是因果的。
(3)由于
e(t)R(t)sin[e(t)]u(t)
e2(t)D(t)sin[e2(t)]u(t)
而
Gei(t)C2e2(t)r(t)sinGei(t)u(t)C2e2(t)u(t)
Gn(t)C2D(t)Gsin[e(t)]u(t)C2sin[e2(t)]u(t)
所以系统是非线性的。
当激励为0(tto)时,响应r(t)sin[e1(t)]u(t)sin[©(tt°)]u(tt。
)r(tt。
)所以系统是时变的。
由r(t)sin[e(t)]u(t)可知,响应只与激励的现在值有关,所以系统是因果的
(4)
由于
e1(t)
r1(t)e1(1
t)
e2(t)
r2(t)e2(1
t)
而
C1e1(t)C2e2(t)
r(t)C1e1(1t)C2e2(1t)C1r1(t)C2r2(t)
所以系统是线性的。
由于当e1(t)u(t)u(t1.5)时,r1(t)u(t0.5)u(t1)
而当e2(t)e1(t0.5)u(t0.5)u(t2)时,r2(t)u(t1)u(t0.5)r1(t0.5)
所以系统是时变的。
令r(t)e(1t)中t0,则有,说r(0)e
(1)明响应取决于将来值(0时刻输出取决
于1时刻输入)
,所以系统是非因果的
(5)
由于
e1(t)
r1(t)
e1(2t)
e2(t)
r2(t)
e2(2t)
而
C1e1(t)C2e2(t)C1e1(2t)C2e2(2t)
C1r1(t)C2r2(t)
所以系统是线性的
由于当e1(t)u(t)u(t1)时,r1(t)u(t)u(t0.5)
而当e2(t)e1(t1)u(t1)u(t2)r2(t)u(t0.5)u(t1)r1(t1)所以系统是时变的。
对于r(t)e(2t),令t1,有r
(1)e
(2),即响应先发生,激励后出现,所以系统是
非因果的。
(6)
由于
e1(t)
r1(t)
e12(t)
e2(t)
r2(t)
e22(t)
而
C1e1(t)C2e2(t)r(t)C1e1(t)C2e2(t)
C1r1(t)C2r2(t)
所以系统是非线性的
Q
由于e1(t)r1(t)e12(t)2
e2(t)e1(tt0)r2(t)e12(tt0)r1(tt0)
所以系统是时不变的。
由r(t)e2(t)知,(7)由于
所以系统是时不变的。
t
由r(t)e()d可知,t时刻的输出只与t时刻以及t时刻之前的输入有关,所以系
统是因果的
(8)由于
5t
e1(t)r1(t)e1()d
5t
e2(t)r2(t)e2()d
所以系统是时变的
5
e()d
5t
对于r(t)e()d,令t1,有r
(1)
即输出与未来时刻的输入有关,所以系统是非因果的
1-21判断下列系统是否是可逆的。
若可逆,给出它的逆系统;若不可逆,指出使该系统产生系统输出的两个输入信号。
(1)r(t)e(t5);
(2)
r(t)
e(t);dt
(3)
r(t)
t
e()d
(4)
r(t)
e(2t)o
解
(1)该系统可逆,且其逆系统为r(t)e(t5)
(2)该系统不可逆,因为当,e't)G,e2(t)C2,(CiC2且均为常数)时,
口⑴Q(t),即不同的激励产生相同的响应,所以系统不可逆。
(3)该系统可逆。
因为微分运算与积分运算式互逆的运算,所以其逆系统为
d
r(t)—e(t)。
dt
(4)该系统可逆,且其逆系统为r(t)e(^)o
1-22若输入信号为,为使输出信号中分别包含以下频率成分:
(1)cos(2ot);
(2)cos(3ot);(3)直流。
请你分别设计相应的系统(尽可能简单的)满足此要求,给出系统输出与输入的约束关系式。
讨论这三种要求有何共同性、相应的系统有何共同性。
解
(1)若系统的输入、输出具有约数关系r(t)e(2t)
则当此系统的输入信号为cos(ot)时,输出信号中会包含cos(2ot)o
(2)若系统的输入、输出具有约数关系r(t)e(3t)
则当此系统的输入信号为cos(ot)时,输出信号中会包含cos(3ot)o
(3)若系统的输入、输出具有约数关系r(t)e(t)C(C为非零常数)
则当此系统的输入信号为cos(ot)时,输出信号中会包含直流成分。
三个小题中,输入信号均为cos(ot),而输出信号中分别包含cos(2ot),cos(3ot)和直流频率成分,说明新的频率分量产生,也就是说信号cos(ot)经系统传输后,产生了新的频率成分,此为三种要求的共同性。
因此在设计系统中,要考虑改变输入信号的频率或增加新的频率成分,此为三个系统的共性。
1-23有一线性时不变系统,当激励e1(t)u(t)时,响应n(t)eatu(t),试求当激励6(t)(t)时,相应的响应D(t)表达式。
(假定起始时刻系统无储能。
)
解因为起始时刻系统无储能,所以响应就是零状态响应。
坯时
dt
有LTI系统的微分性质,即若当激励为e(t)时产生的响应为r(t),则当激励为产生的响应为瞠,有
dt
e(t)u(t)ri(t)eatu(t)
at
e2(t)(t)r2(t)d[eaeatu(t)eat(t)(t)aeatu(t)
dt
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