九年级二次函数与一元二次方程重点题.docx
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九年级二次函数与一元二次方程重点题
《二次函数》中考题集二次函数与一元二次方程
解答题
91.(2010•佛山)
(1)请在坐标系中画出二次函数y=x2﹣2x的大致图象;
(2)根据方程的根与函数图象的关系,将方程x2﹣2x=1的根在图上近似的表示出来(描点);
(3)观察图象,直接写出方程x2﹣2x=1的根.(精确到0.1)
92.(2008•贵阳)利用图象解一元二次方程x2+x﹣3=0时,我们采用的一种方法是:
在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=﹣x+3,两图象交点的横坐标就是该方程的解.
(1)填空:
利用图象解一元二次方程x2+x﹣3=0,也可以这样求解:
在平面直角坐标系中画出抛物线y= _________ 和直线y=﹣x,其交点的横坐标就是该方程的解.
(2)已知函数y=﹣
的图象(如图所示),利用图象求方程
﹣x+3=0的近似解.(结果保留两个有效数字)
93.(2007•丽水)小明在复习数学知识时,针对“求一元二次方程的解”,整理了以下的几种方法,请你按有关内容补充完整:
复习日记卡片
内容:
一元二次方程解法归纳时间:
2007年6月×日
举例:
求一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个解
方法一:
选择合适的一种方法(公式法、配方法、分解因式法)求解
解方程:
x2﹣x﹣1=0.
解:
方法二:
利用二次函数图象与坐标轴的交点求解如图所示,把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是二次函数y= _________ 的图象与x轴交点的横坐标,即x1,x2就是方程的解.
方法三:
利用两个函数图象的交点求解
(1)把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是一个二次函数y= _________ 的图象与一个一次函数y= _________ 图象交点的横坐标;
(2)画出这两个函数的图象,用x1,x2在x轴上标出方程的解.
94.(2006•宁波)利用图象解一元二次方程x2﹣2x﹣1=0时,我们采用的一种方法是:
在直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=2x+1,两图象交点的横坐标就是该方程的解.
(1)请再给出一种利用图象求方程x2﹣2x﹣1=0的解的方法;
(2)已知函数y=x3的图象(如图):
求方程x3﹣x﹣2=0的解.(结果保留2个有效数字)
95.(2005•三明)已知二次函数y=x2+px+q(p,q为常数,△=p2﹣4q>0)的图象与x轴相交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且A,B两点间的距离为d,例如,通过研究其中一个函数y=x2﹣5x+6及图象(如图),可得出表中第2行的相关数据.
(1)在表内的空格中填上正确的数;
(2)根据上述表内d与△的值,猜想它们之间有什么关系?
再举一个符合条件的二次函数,验证你的猜想;
(3)对于函数y=x2+px+q(p,q为常数,△=p2﹣4q>0)证明你的猜想.聪明的小伙伴:
你能再给出一种不同于(3)的正确证明吗?
我们将对你的出色表现另外奖励3分.
y=x2+px+q
p
q
△
x1
x2
d
y=x2﹣5x+6
﹣5
6
1
2
3
1
y=x2﹣
x
﹣
y=x2+x﹣2
﹣2
﹣2
3
96.(2009•漳州)阅读材料,解答问题.
利用图象法解一元二次不等式:
x2﹣2x﹣3>0.
解:
设y=x2﹣2x﹣3,则y是x的二次函数.∵a=1>0,∴抛物线开口向上.
又∵当y=0时,x2﹣2x﹣3=0,解得x1=﹣1,x2=3.
∴由此得抛物线y=x2﹣2x﹣3的大致图象如图所示.
观察函数图象可知:
当x<﹣1或x>3时,y>0.
∴x2﹣2x﹣3>0的解集是:
x<﹣1或x>3.
(1)观察图象,直接写出一元二次不等式:
x2﹣2x﹣3<0的解集是 _________ ;
(2)仿照上例,用图象法解一元二次不等式:
x2﹣1>0.(大致图象画在答题卡上)
97.(2005•滨州)(Ⅰ)请将下表补充完整;
判别式
△=b2﹣4ac
△>0
△=0
△<0
二次函数
y=ax2+bx+c(a>0)的图象
一元二次方程
ax2+bx+c=0(a>0)的根
有两个不相等的实数根
x1=
,
x2=
,
(x1<x2)
有两个相等的实数根
x1=x2=﹣
无实数根
使y>0的x的取值范围
x<x1或x>x2
不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集
x≠﹣
不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集
(Ⅱ)利用你在填上表时获得的结论,解不等式﹣x2﹣2x+3<0;
(Ⅲ)利用你在填上表时获得的结论,试写出一个解集为全体实数的一元二次不等式;
(Ⅳ)试写出利用你在填上表时获得的结论解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)时的解题步骤.
《二次函数》中考题集
二次函数与一元二次方程
参考答案与试题解析
解答题
91.(2010•佛山)
(1)请在坐标系中画出二次函数y=x2﹣2x的大致图象;
(2)根据方程的根与函数图象的关系,将方程x2﹣2x=1的根在图上近似的表示出来(描点);
(3)观察图象,直接写出方程x2﹣2x=1的根.(精确到0.1)
考点:
图象法求一元二次方程的近似根.4383398
分析:
(1)确定顶点坐标和与x轴y轴交点,作出图形;
(2)方程x2﹣2x=1的根就是二次函数y=x2﹣2x的函数值为1时的横坐标x的值;
(3)观察图象可知图象交点的横坐标即为方程的根.
解答:
解:
(1)如下图,
y=x2﹣2x=(x﹣1)2﹣1,
作出顶点,作出与x轴的交点,图象光滑.
(2)正确作出点M,N;
(3)写出方程的根为﹣0.4,2.4.
点评:
此题考查二次函数的图象与性质,二次函数与一元二次方程的关系.
92.(2008•贵阳)利用图象解一元二次方程x2+x﹣3=0时,我们采用的一种方法是:
在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=﹣x+3,两图象交点的横坐标就是该方程的解.
(1)填空:
利用图象解一元二次方程x2+x﹣3=0,也可以这样求解:
在平面直角坐标系中画出抛物线y= x2﹣3 和直线y=﹣x,其交点的横坐标就是该方程的解.
(2)已知函数y=﹣
的图象(如图所示),利用图象求方程
﹣x+3=0的近似解.(结果保留两个有效数字)
考点:
图象法求一元二次方程的近似根.4383398
分析:
(1)一元二次方程x2+x﹣3=0可以转化为x2﹣3=﹣x,所以一元二次方程x2+x﹣3=0的解可以看成抛物线y=x2﹣3与直线交点的横坐标;
(2)函数y=﹣
的图象与直线y=﹣x+3的交点的横坐标就是方程
﹣x+3=0的近似解.
解答:
解:
(1)x2﹣3;
(2)图象如图所示:
由图象可得,方程
﹣x+3=0的近似解为:
x1=﹣1.4,x2=4.4.
点评:
对于含有一个未知数的方程,我们可以借助学过的几种类型的函数的图象的交点近似地求解.
93.(2007•丽水)小明在复习数学知识时,针对“求一元二次方程的解”,整理了以下的几种方法,请你按有关内容补充完整:
复习日记卡片
内容:
一元二次方程解法归纳时间:
2007年6月×日
举例:
求一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个解
方法一:
选择合适的一种方法(公式法、配方法、分解因式法)求解
解方程:
x2﹣x﹣1=0.
解:
方法二:
利用二次函数图象与坐标轴的交点求解如图所示,把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是二次函数y= 的图象与x轴交点的横坐标,即x1,x2就是方程的解.
方法三:
利用两个函数图象的交点求解
(1)把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是一个二次函数y= 的图象与一个一次函数y= 图象交点的横坐标;
(2)画出这两个函数的图象,用x1,x2在x轴上标出方程的解.
考点:
图象法求一元二次方程的近似根.4383398
分析:
本题是用二次函数看一元二次方程的一个典型题型,通过三种方法的解题发现,一元二次方程即可以用常规方法解,又可以函数的角度解;用函数方法解题,也有多种方法,如可看作求函数y=x2﹣x﹣1图形与x轴交点的横坐标,也可看作求一个一次函数与一个二次函数图象的交点横坐标.
解答:
解:
(1)∵a=1,b=﹣1,c=﹣1,
∴b2﹣4ac=5.
∴
.
∴原方程的解是x1=
,x2=
;
(2)x2﹣x﹣1;
(3)x2与x+1或x2﹣1与x等.
点评:
是一道“课题学习”,采用“学生复习日记卡片”的形式,针对一元二次方程解法的多样性的探究,在考查学生解题思维能力广阔性、深刻性的同时,还给学生提供了数学学习方法的样例,是对新教材现状难以考查学生学习过程、方法的一种新尝试.本题将代数、几何解法有机融合,借助数形结合,在考查学生学习方法探究归纳的同时,引导学生反思性学习,是一道亮点题型.
[常见错误]
方法一:
没有选择最优的方法,能直接用公式法而去用配方法求解,以至配方时移项、开平方的错误.
方法二、三:
对利用图象法求方程的近似解没有掌握,无法将一元二次方程转化为函数的图象的交点求解.方法二中填写或的错误结果;方法三随意拆成二个函数,但不能转化为规定的方程.
94.(2006•宁波)利用图象解一元二次方程x2﹣2x﹣1=0时,我们采用的一种方法是:
在直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=2x+1,两图象交点的横坐标就是该方程的解.
(1)请再给出一种利用图象求方程x2﹣2x﹣1=0的解的方法;
(2)已知函数y=x3的图象(如图):
求方程x3﹣x﹣2=0的解.(结果保留2个有效数字)
考点:
图象法求一元二次方程的近似根.4383398
分析:
(1)由范例可得应把x2﹣2x﹣1=0进行整理,也可得到x2﹣1=2x,那么可得y=x2﹣1和y=2x两图象交点的横坐标就是该方程的解.
(2)把方程x3﹣x﹣2=0整理得x3=x+2,那么可得y=x3和y=x+2两图象交点的横坐标就是该方程的解.
解答:
解:
(1)方法:
在直角坐标系中画出抛物线y=x2﹣1和直线y=2x,其交点的横坐标就是方程的解.
(2)在图中画出直线y=x+2与函数y=x3的图象交于点B,得点B的横坐标x≈1.5,
∴方程的近似解为x≈1.5.
点评:
本题考查用函数图象法求解一元二次方程或一元多次方程的解,关键是把一元二次方程或一元多次方程整理为两个函数的形式.
95.(2005•三明)已知二次函数y=x2+px+q(p,q为常数,△=p2﹣4q>0)的图象与x轴相交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且A,B两点间的距离为d,例如,通过研究其中一个函数y=x2﹣5x+6及图象(如图),可得出表中第2行的相关数据.
(1)在表内的空格中填上正确的数;
(2)根据上述表内d与△的值,猜想它们之间有什么关系?
再举一个符合条件的二次函数,验证你的猜想;
(3)对于函数y=x2+px+q(p,q为常数,△=p2﹣4q>0)证明你的猜想.聪明的小伙伴:
你能再给出一种不同于(3)的正确证明吗?
我们将对你的出色表现另外奖励3分.
y=x2+px+q
p
q
△
x1
x2
d
y=x2﹣5x+6
﹣5
6
1
2
3
1
y=x2﹣
x
﹣
y=x2+x﹣2
﹣2
﹣2
3
考点:
图象法求一元二次方程的近似根.4383398
专题:
压轴题.
分析:
(1)p为一次项系数;q为二次函数的常数项;△为b2﹣4ac;一根为常数项÷另一根;d为较大根于较小根之差;
(2)代入相关值后可得相关量之间的关系;
(3)令y=0,得出x1+x2=﹣p,x1•x2=q.继而推出d2=(|x1﹣x2|)2=△
解答:
解:
(1)易得第三行q=0,x1=0,d=
;第四行为p=1,△=9,x2=1;
(2)猜想:
d2=△.
例如:
y=x2﹣x﹣2中;p=﹣1,q=﹣2,△=9;
由x2﹣x﹣2=0得x1=2,x2=﹣1,d=3,d2=9,
∴d2=△;
(3)证明.令y=0,得x2+px+q=0,
∵△>0
设x2+px+q=0的两根为x1,x2,
则x1+x2=﹣p,x1•x2=q,
d2=(|x1﹣x2|)2=(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4x1•x2
=(﹣p)2﹣4q=p2﹣4q=△,
点评:
本题考查二次函数的性质的综合运用,需注意可根据具体的数值得到相应的量之间的关系.
96.(2009•漳州)阅读材料,解答问题.
利用图象法解一元二次不等式:
x2﹣2x﹣3>0.
解:
设y=x2﹣2x﹣3,则y是x的二次函数.∵a=1>0,∴抛物线开口向上.
又∵当y=0时,x2﹣2x﹣3=0,解得x1=﹣1,x2=3.
∴由此得抛物线y=x2﹣2x﹣3的大致图象如图所示.
观察函数图象可知:
当x<﹣1或x>3时,y>0.
∴x2﹣2x﹣3>0的解集是:
x<﹣1或x>3.
(1)观察图象,直接写出一元二次不等式:
x2﹣2x﹣3<0的解集是 ;
(2)仿照上例,用图象法解一元二次不等式:
x2﹣1>0.(大致图象画在答题卡上)
考点:
二次函数与不等式(组).4383398
专题:
阅读型.
分析:
(1)由x2﹣2x﹣3=0得x1=﹣1,x2=3,抛物线y=x2﹣2x﹣3开口向上,y<0时,图象在x轴的下方,此时﹣1<x<3;
(2)仿照
(1)的方法,解出图象与x轴的交点坐标,根据图象的开口方向及函数值的符号,确定x的范围.
解答:
解:
(1)﹣1<x<3;
(2)设y=x2﹣1,则y是x的二次函数,
∵a=1>0,
∴抛物线开口向上.
又∵当y=0时,x2﹣1=0,
解得x1=﹣1,x2=1.
∴由此得抛物线y=x2﹣1的大致图象如图所示.
观察函数图象可知:
当x<﹣1或x>1时,y>0.
∴x2﹣1>0的解集是:
x<﹣1或x>1.
点评:
解答此题的关键是求出图象与x轴的交点,然后由图象找出当y<0或y>0时,自变量x的范围,本题锻炼了学生数形结合的思想方法.
97.(2005•滨州)(Ⅰ)请将下表补充完整;
判别式
△=b2﹣4ac
△>0
△=0
△<0
二次函数
y=ax2+bx+c(a>0)的图象
一元二次方程
ax2+bx+c=0(a>0)的根
有两个不相等的实数根
x1=
,
x2=
,
(x1<x2)
有两个相等的实数根
x1=x2=﹣
无实数根
使y>0的x的取值范围
x<x1或x>x2
不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集
x≠﹣
不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集
(Ⅱ)利用你在填上表时获得的结论,解不等式﹣x2﹣2x+3<0;
(Ⅲ)利用你在填上表时获得的结论,试写出一个解集为全体实数的一元二次不等式;
(Ⅳ)试写出利用你在填上表时获得的结论解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)时的解题步骤.
考点:
二次函数与不等式(组).4383398
专题:
压轴题;开放型.
分析:
解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)实质上就是求抛物线图象在x轴上方时,自变量的取值范围,抛物线开口方向及与x轴的交点情况就决定了函数值什么情况下大于0,即ax2+bx+c>0.
解答:
解:
(Ⅰ)
判别式
△=b2﹣4ac
△>0
△=0
△<0
二次函数
y=ax2+bx+c(a>0)的图象
一元二次方程
ax2+bx+c=0(a>0)的根
使y>0的x的取值范围
x≠﹣
全体实数
不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集
x<x1或x>x2
全体实数
不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集
x1<x<x2
无解
无解
(Ⅱ)由原不等式,得x2+2x﹣3>0,∵△=4+12>0,
解方程x2+2x﹣3=0,得不相等的两个实数根分别为x1=﹣3,x2=1,
∵a=1>0,∴原不等式的解集为:
x<﹣3或x>1;
(若画出函数y=x2+2x﹣3的图象,并标出与x轴的交点坐标而得解集的,同样可以)
(Ⅲ)如x2+x+1>0等,(只要写出满足要求的一个一元二次不等式即可);
(Ⅳ)
(1)先把二次项系数化为正数;
(2)求判别式的值;
(3)求方程ax2+bx+c=0的实数根;
(4)写出一元二次不等式的解集.
点评:
主要考查了二次函数的性质与一元二次不等式之间的关系,以及图象与x轴的位置关系.这些性质和规律要求掌握.
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- 九年级 二次 函数 一元 二次方程 点题